Педагогическая и общественная деятельность. Учитывая научные и педагогические заслуги Петровского, в 1933-м году он был назначен профессором Московского университета. Надо сказать, что это весьма примечательный факт человек в возрасте всего тридцати двух лет, шесть лет назад закончивший университет, становится профессором этого университета.
В истории науки найдется очень немного подобных примеров, особенно учитывая, что Петровский стал профессором всемирно известного и главного в России университета. В 1935-м году утвержден без защиты диссертации доктором физико-математических наук. В 1939-м году Петровский стал деканом механико-математического факультета МГУ. Петровский не оставлял работу и в самое трудное для страны время, то есть в годы Великой Отечественной войны.
Он прилагал все усилия к тому, чтобы не допустить развала университета, пытался сохранить кадры и продолжать подготовку высококвалифицированных специалистов, которые особенно были нужны в годы войны, соединяя принципиальную твердость в отстаивании интересов порученного ему дела с широким человеческим вниманием к проблемам членов факультетского коллектива. Вся научная деятельность Петровского была связана с Академией Наук СССР. В 1943-м году Петровский был избран членом-корреспондентом, а в 1946-м году - действительным членом Академии Наук СССР, в 1949-1951-х годах занимал должность академика-секретаря Отделения физико-математических наук, с 1953-го года являлся членом Президиума Академии наук. В течение ряда лет он занимал пост заместителя директора Математического института имени академика В. А. Стеклова, после чего был избран академиком-секретарем физико-математического отделения Академии наук, являлся главным редактором двух ведущих математических журналов Математический сборник и Труды Математического института им. В. А. Стеклова.
Педагогическая деятельность Петровского проявилась в его работе на механико-математическом факультете Московского Университета.
С 1951-го года Петровский заведовал кафедрой дифференциальных уравнений мехмата. Петровский был талантливым педагогом как отмечает академик А. Н. Колмогоров его научные семинары всегда были центрами живой научной мысли, а их участники стали руководителями математических школ и направлений, по его учебникам обучаются студенты многих поколений.
Даже когда Петровский стал ректором, он не переставал читать лекции. Как сообщают свидетели, его лекции всегда были отмечены четким и изящным объяснением материала, готовностью лектора донести самую суть предмета. Вспоминает академик Н. Н. Моисеев о семинаре Петровского Соболева - Тихонова На том заседании, на котором мне довелось присутствовать, произошел эпизод, как мне сказали, достаточно характерный для того семинара. Докладчик доказывал нечто мудрное.
Как мне казалось, в аудитории никто ничего не понимал. Когда теорема была доказана, воцарилось неловкое молчание. Его нарушил академик Петровский Я не могу понять, почему - и он сформулировал вопрос. Ему ответил академик Соболев, по-моему больше ради того, чтобы поддержать докладчика Ну как же, Иван Георгиевич - он вышел к доске и повторил схему доказательства. Потом теорему понял, кажется, Тихонов. Во всяком случае, он е положительно прокомментировал. Дальше началось уже нечто комичное.
Вроде бы весь семинар, кроме Петровского и, конечно, меня вс уже понял и присутствующие начали хором объяснять Петровскому, в чем суть дела и как это вс просто И вообще - есть ли здесь что-либо такое, что трудно понимать Но Петровский упорно продолжал не понимать. Наконец, что-то невнятно говоря, пожимая плечами и как бы стесняясь своего непонимания, Петровский вышел к доске и построил пример, показывающий, что теорема элементарно неверна. Петровский написал учебники по трем основным курсам, прочитанным им на мехмате обыкновенным дифференциальным уравнениям, интегральным уравнениям, уравнениям с частными производными.
Как отмечают академики П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, эти книги, небольшие по объему, написаны под влиянием новых идей и концепций, характерных для московской математической школы. Также в составе сборника Избранные труды в 1987 году вышли Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия и Дифференциальные уравнения теории вероятности.
Книги Петровского оказали огромное влияние на преподавание этих предметов в нашей стране и за рубежом. Они много раз переиздавались и переведены на разные языки мира. Для многих математиков изучение этих книг положило начало их научным исследованиям, в особенности это относится к книге по уравнениям с частными производными, в которой уделяется внимание также и нерешенным проблемам. Книги Петровского стали настольными для всех, занимающихся дифференциальными уравнениями.
Как пишет академик О. Белоцерковский о Кратком курсе дифференциальных уравнений, книжка представляет собой образец, шедевр ясного изложения математики. За эти учебники в 1952-м году Петровский был удостоен Государственной премии.