Архимед

Архимед

Сергей ЖИТОМИРСКИЙ

Текст издания:

Сергей Викторович Житомирский. Архимед: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1981.

Памяти Ивана Николаевича Веселовского

Введение

Сохранившиеся труды Архимеда, в основном математические, составляют целый том. Достижения ученого в области математики огромны. Он решил задачи об определении объема цилиндра и шара, объемов частей параболоидов вращения, был основоположником изучения спиралей, решил проблему квадратуры круга, вычислив довольно узкие границы, между которыми заключено число я. Архимед ввел в математику физическую задачу об определении положения центра тяжести плоских и пространственных фигур и для многих случаев решил ее. Он применил в геометрии метод «мысленного взвешивания», значительно развил предложенный греческим ученым Евдоксом «метод исчерпывания», позволивший исследовать свойства кривых второго порядка.

Однако научное творчество Архимеда не ограничено математикой. Он основоположник статики, гидростатики и математической физики вообще, выдающийся астроном и замечательный инженер. Именно этим сторонам деятельности великого ученого древности и посвящена настоящая книга.

Из трудов Архимеда в указанных областях сохранилось очень мало. В III в. н.э. греческий математик Папп Александрийский писал: «Архимед составил только одно механическое сочинение, а именно об устройстве небесного глобуса, не найдя из других предметов ничего, достойного сочинения». Видимо, Архимед не описывал и своих физических опытов, которые несомненно производил. Мало сведений осталось и о его астрономических работах.

Тем не менее многие результаты, полученные Архимедом в области механики и астрономии, восстановлены благодаря трудам исследователей его творчества.

Образ ученого, видевшего в математике не одну лишь игру возвышенного ума, а средство познания физических законов и орудие для решения сложных инженерных задач, близок нашему времени.

 

Свидетельства истории

Глава 1

Архимед в произведениях античных авторов

Известно, что он активно участвовал в обороне родных ему Сиракуз и созданные им машины сделали город неприступным; что он погиб при взятии города… Византийский хронист конца XII в. Цеци, рассказывая о захвате Сиракуз,… Сам Архимед в одной из работ о результатах определения расстояний до Луны и Солнца приводит значения этих расстояний,…

Путь ученого

Наиболее ранними из сохранившихся сочинений Архимеда оказались четыре его геометрические работы, написанные в виде посланий в Александрию некоему… В следующем знаменитом сочинении – «О шаре и цилиндре», где решаются задачи… Далее следует группа произведений, связанная с приложением математики к физическим проблемам. Это сочинения «О…

Сиракузы

Сиракузы были одним из крупнейших городов эллинистического мира. История родины Архимеда не была мирной. Плодородная Сицилия долгое время являлась… В эпоху, предшествующую Архимеду, произошло возвышение Сиракуз при правлении… Наиболее красочное из уцелевших описаний Сиракуз принадлежит Цицерону, хотя он описывает город, уже более сотни лет…

Плутарх об Архимеде

Тем не менее рассказ Плутарха интересен не только как один из немногих уцелевших источников сведений об Архимеде, но и как свидетельство…

Архимед-физик

Архимеда справедливо считают основоположником математической физики. С его именем связывается введение понятия центра тяжести, открытие законов… Архимед первым подошел к решению физических задач с широким применением… В своих трудах Архимед изучал только силы, которые с точки зрения аристотелевой механики вызывают «естественные»…

Центр тяжести

Герон и Папп приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к… Архимедовы определение центра тяжести и теорему о его существовании мы… Определение центра тяжести формулируется так: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная…

Закон рычага

Но более серьезную разработку этих проблем Архимед предпринял позже в сочинении «О равновесии плоских фигур», состоящем из двух частей. В первой… «Сделаем следующие допущения: 1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают…

Гидростатика

Замечательно, что роль аксиомы здесь берет на себя физическая модель «идеальной жидкости». «Предположим, – пишет Архимед, – что жидкость имеет такую… Первым выводом является доказательство того, что «поверхность всякой жидкости,… Трудно представить себе более ясные и четкие формулировки поведения в воде плавающих тел. Но возникает вопрос:…

Определение удельного веса

Во время своего царствования в Сиракузах Гиерон после благополучного окончания всех своих мероприятий дал обет пожертвовать в какой-то храм золотую… После этого был сделан донос, что из короны была взята часть золота и вместо… Затем, исходя из своего открытия, он, говорят, сделал два слитка, каждый такого же веса, какого была корона, один из…

Оптика

В своем стремлении математически описать явления природы Архимед выделял задачи, наиболее поддающиеся геометрическому анализу. Поэтому занятия Архимеда в области геометрической оптики – «катоптрике», как ее называли прежде, можно считать закономерными.

Очень немного можно сказать о «катоптрике» Архимеда. От нее в позднем пересказе уцелела единственная теорема, в которой доказывается, что при отражении света от зеркала угол падения луча равен углу отражения. Свои оптические теории (как и механические) Архимед строил на основе аксиом. Одной из таких аксиом являлась обратимость хода луча – глаз и объект наблюдения можно поменять местами. Весь же круг вопросов «катоптрики» был очень широк. Перечисление проблем, которых касался Архимед в этой книге, мы находим у других авторов античного периода. Вот как об этих работах говорил Апулей: «Почему в плоских зеркалах предметы сохраняют свою натуральную величину, в выпуклых – уменьшаются, а в вогнутых – увеличиваются; почему левые части предметов видны справа и наоборот; когда изображение в зеркале исчезает и когда появляется; почему вогнутые зеркала, будучи поставлены против Солнца, зажигают поднесенный к ним трут; почему в небе видна радуга; почему иногда кажется, что на небе два одинаковых Солнца, и много другого подобного же рода, о чем рассказывается в объемистом томе Архимеда». Из других свидетельств следует, что Архимед изучал также и явление преломления лучей в воде.

С «катоптрикой» связана легенда о поджоге Архимедом римских кораблей во время осады Сиракуз. Что в ней вымысел и что, быть может, является отражением действительных событий, мы рассмотрим в отдельной главе.

Можно не сомневаться в том, что «катоптрика» Архимеда оказала большое влияние на последующее развитие оптики.

Влияние работ Архимеда на развитие физики

Предложенное Архимедом направление в науке – математическая физика, которую он провозгласил и в которой так много сделал, не была воспринята ни его… Архимеда знали как гениального математика, им восхищались, его изучали и… В какой-то мере в средние века на сочинениях Архимеда базировались работы ряда ученых Востока о взвешивании и…

Архимед-инженер

Глава 3

Слава Архимеда-инженера была внезапной и ошеломляющей, оставившей след в сознании всего эллинистического мира, перешагнувшей границы стран и столетий. Инженерный гений Архимеда проявился при драматических обстоятельствах осады Сиракуз весной 214 г. до н.э., когда Архимеду было уже за семьдесят. Эта победа над римлянами стала величайшим триумфом, который когда-либо выпадал на долю ученых.

Осада

«Римляне, взявшие Леонтины с первого же натиска, под действием только ужаса, – пишет Тит Ливий, – были вполне уверены, что в каком-нибудь месте они прорвутся в обширный, разбросанный по большому пространству город, и придвинули к стенам всю наличность осадных машин. И начатое с такой силой предприятие увенчалось бы успехом, если бы в то время не было одного человека. Этим человеком был Архимед».

Тита Ливия отделяют от эпохи Архимеда полтора столетия. Сохранилось описание осады, более близкое по времени. Его дал в своей «Всеобщей истории» греческий историк Полибий (201...120 г. до н.э.). К сожалению, «История» Полибия дошла до нас в отрывках, включенных в византийскую историческую хрестоматию XII в., содержащую подобранные по темам цитаты из сочинений разных историков. В хрестоматии есть и раздел «об осадах», в котором уцелел рассказ о штурме Сиракуз.

В своей «Всемирной истории», написанной примерно через пятьдесят лет после осады Сиракуз, Полибий рассказывает: «Начальники расположились станом невдалеке от города и решили, что сухопутное войско пойдет на приступ со стороны Гексапил(шестивратная башня в северной стене Сиракуз, куда входила леонтинская дорога), а флот – против Ахрадины(приморский район Сиракуз) у портика, именуемого Скитским, где стена тянется вдоль моря. Приготовив плетенки (переносные укрытия), метательные орудия и все прочее, нужное для осады, римляне надеялись благодаря многочисленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течение пяти дней и не дать неприятелю подготовиться. Но при этом они не приняли в расчет искусство Архимеда, не учли, что иногда один даровитый человек способен сделать больше, чем множество рук...

Архимед заготовил внутри города... такие средства обороны, что защитникам не было необходимости утруждать себя непредусмотренными работами на случай неожиданных способов нападения; у них заранее было все готово к отражению врага...

Итак, Аппий сделал попытку приблизиться к той части стены, которая с востока упирается в Гексапилы, а Марцелл с шестьюдесятью пятипалубными судами направился против Ахрадины. Находившиеся на каждом судне люди были вооружены луками, пращами и легкими дротиками, чтобы прогонять врага с зубцов стен. Вместе с тем римляне сняли у восьми пятипалубных судов весла – у одних с правой стороны, у других с левой, – связали суда попарно бортами, лишенными весел, и, действуя веслами только с наружных сторон, стали подводить к городской стене так называемые самбуки (штурмовые трапы, укрепленные на кораблях)....

Однако Архимед соорудил машины, которые могли выбрасывать снаряды на любое желаемое расстояние, Враги были еще далеко от города, когда Архимед из своих больших дальнобойных метательных машин стал поражать их корабли таким множеством тяжелых снарядов и стрел, что они никак не могли уберечься от них и оказались беспомощными и бездеятельными. Когда Архимед замечал, что снаряды попадают слишком далеко... он пускал в ход меньшие машины, соответственно нужному ему расстоянию...

Лишь только римляне начинали выставлять против города самбуки, осажденные тотчас же пускали в ход свои машины, находившиеся внутри городских стен и остававшиеся до этих пор незаметными для врага. Когда надо было пустить их в дело, они поднимались над бастионами и высовывали свои клювы далеко вперед от укреплений города. Одни несли на себе камни, весившие не менее десяти талантов (четверти тонны), другие – груды свинца. Как только самбуки приближались к стенам, осажденные, ослабляя при помощи канатов блоки, к которым «клювы» этих машин были подвешены, поворачивали их вправо или влево – туда, где это было нужно; затем открывались задвижки и из клюва падал на самбуки камень, который разбивал не только машину, но и корабль, на котором она стояла, подвергая находившихся на ней воинов величайшей опасности.

В распоряжении сиракузян были и другие машины; когда приближались вражеские корабли, покрытые специальными плетенками для защиты от стрел, бросаемых через отверстия в стенах, эти машины бросали камни такой величины, что находившиеся на носах кораблей принуждены были спасаться бегством. Кроме того, по приказу Архимеда опускалась железная лапа, привязанная к цепи. Этой лапой машинист, управлявший клювом машины, точно рулем корабля, захватывал нос корабля и затем опускал вниз другой конец машины, находившейся внутри городских стен. Он поднимал таким образом в воздух нос корабля и ставил корабль отвесно на корму, а затем закреплял неподвижно основание, а лапа и цепь отделялись при помощи каната. Непосредственным результатом этого было то, что корабли либо падали на бок, либо совершенно опрокидывались; еще чаще (так как носы падали с большой высоты в море) корабли совершенно наполнялись водой и погружались к ужасу тех, которые на них находились.

Марцелл оказался в очень тяжелом положении. Все его планы терпели крушение. Потери римлян были огромны, а осажденные глумились над всеми их усилиями...

Аппий с войском очутился в столь же трудном положении и потому совсем отказался от приступа. И действительно, находясь еще далеко от города, римляне сильно терпели от метательных машин Архимеда, ибо сиракузяне имели наготове множество превосходных и метких метательных орудий. Оно и понятно, так как Гиерон дал на них деньги, а Архимед изобрел и мастерски исполнил. Итак, когда римляне приближались к городу, одни из них были, как я говорил уже выше, непрерывно обстреливаемы через отверстия в стене, терпели урон и не могли продолжать наступление, другие, надеявшиеся пробиться вперед под защитой плетенок, гибли под ударами камней и бревен, падавших сверху.

Много бед причинили сиракузяне римлянам и теми машинами с железными лапами... Лапы эти поднимали воинов в полном вооружении и кидали их вниз... Аппий с товарищами возвратился на стоянку и устроил совещание с трибунами, на котором единогласно решили испытать все мыслимые средства, но отказаться от надежды взять Сиракузы приступом...

Марцелл, раздосадованный неудачами, вынужден был сделать попытку тайком, ночью подойти к городу на кораблях. Когда римляне подошли к берегу на расстояние выстрела, Архимед употребил другое средство против воинов, сражавшихся с судов. Он велел сделать в стене приблизительно на высоте человеческого роста отверстия, с наружной стороны имевшие ширину пальца в четыре; у отверстий изнутри стены он поставил стрелков с легкими скорпионами (самострелами), через отверстия обстреливал корабельных воинов и тем отнимал у них возможность что-нибудь сделать...

Римляне оставались под стенами города в течение восьми месяцев, и не было такой уловки или отважного дела, перед которым они остановились бы, но на приступ идти они уже ни разу не осмелились. Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело приспособленного к какому-либо специальному делу. Вот и теперь, располагая столь значительными силами сухопутными и морскими, римляне надеялись с первого же приступа взять город и сделали бы это, если бы кто-нибудь изъял из среды сиракузян одного этого старичка. Но он был, и римляне не решались даже идти на приступ».

Текст Полибия интересен во многих отношениях, тем более что его близость по времени к описанным событиям и авторитет Полибия как объективного историка позволяют считать описанные факты достоверными.

Во-первых, ясно, что Архимед являлся одним из непосредственных руководителей обороны. Власть в Сиракузах в это время принадлежала офицерам Ганнибала (Гиппократу и Эпикиду), но о них Полибий здесь и не упоминает. Двум римским полководцам – Марцеллу и Аппию противопоставлен Архимед, причем Архимед показан не только создателем системы обороны, но и ее организатором. Полибий это специально подчеркивает, употребляя выражение «по приказу Архимеда» или рассуждая о том, что римляне взяли бы город, если бы кто-нибудь изъял ученого из среды сиракузян.

Из рассказа Полибия явствует, что машинами для обороны города Архимед занимался задолго до того, как они пригодились. Эти машины поразили воображение современников. И не только машины. Полибия явно восхищает и удивляет глубокая, мы бы сказали, математическая продуманность обороны. Видимо, Архимед умел рассчитывать не только геометрические соотношения. Но сейчас основной интерес в тексте Полибия для нас представляет описание архимедовых машин.

Как уже говорилось, Диодор Сицилийский упоминал о «многих замечательных изобретениях» Архимеда, «известных всему миру». Но «список Диодора» не Л сохранился. В рассказе же Полибия этот перечень выглядит так:

1. метательные машины,

2. машины для сбрасывания камней и «груд свинца» на корабли,

3. машины с «железными лапами», опрокидывавшие корабли и хватавшие воинов,

4. применение бойниц, устроенных в теле крепостных стен.

Разберем по порядку эти названные Полибием архимедовы новшества.

Метательные машины

Оборонительные машины ближнего действия

Во всем ли можно верить Полибию? С.Я. Лурье в своей книге «Архимед» высказывает к нему определенное недоверие именно в этом вопросе: «Рассказу о… И.Н. Веселовский, напротив, доверяет Полибию и отмечает, что создание машин… Идея применения «подъемных кранов» для целей обороны не принадлежит Архимеду. Витрувий приводит, например, следующую…

Бойницы в стенах

Из этого следует, что Архимед был не только механиком, но и строителем, причем строителем незаурядным. Бойницы сильно усложняют конструкцию стены, ведь в ее толще требуется… О том, что Архимед занимался строительным делом, свидетельствует и его не дошедшее до нас сочинение «Книга опор».…

Водоподъемный винт

В сочинении писателя II в. н.э. Атенея об удалении воды из трюма корабля сказано: «Ее отсасывал один человек при помощи изобретенного Архимедом… «Улитка» устроена просто, и изготовление ее по силам любому плотнику. Вот как… «Берут балку... и придают ей форму вала, обтесав по циркулю. На круглую поверхность наносят продольные и поперечные…

Другие механизмы Архимеда

Прежде всего, как уже говорилось, речь может идти об изобретении Архимедом многоступенчатого редуктора и червячной передачи – механизмов,… Действительно, триера весила около 200 т и, чтобы сдвинуть ее с места при… Следует, однако, отметить, что практического применения зубчатые редукторы в античную эпоху не нашли. Редуктор нужен…

Легенда о жгущих зеркалах

В 1747 г. французский натуралист и изобретатель Жорж Луи Бюффон писал: «История зажигательных зеркал Архимеда широко известна и знаменита. Он… Как бы то ни было, это изобретение попало в ряд других многочисленных открытий… Чтобы «обжаловать» приговор Декарта, нужно было располагать более сильными аргументами, чем различные доводы. Поэтому…

Источники легенды

Первые следы легенды обнаруживаются в литературе II в. н.э. Это упоминания, сделанные вскользь для украшения текста. Греческий сатирик Лукиан, в шутливой речи по поводу открытия бани, говорит о… Другое упоминание содержится в сочинении «О темпераменте» знаменитого римского ученого-медика Галена. Описывая пожар,…

Споры и опыты

Первым, кто взглянул на легенду о зеркалах, как на задачу, был, по-видимому, Анфимий. Он предложил совершенно правильное решение, но, вероятно, не… Реконструкция Анфимия в несколько искаженном виде стала известна в европейской… По-видимому, первая попытка реализовать предложение Анфимия принадлежит немецкому математику и филологу Афанасию…

Было или не было?

Но на чем основано предположение об ограниченном применении сиракузянами «лучевого оружия»? Количество подожженных кораблей источники не указывают,… Далее, упоминаемый в источниках радиус действия зеркал – дальность полета… Обратим еще внимание на то, что в источниках говорится о применении зеркал только против флота, хотя они могли…

Архимед-астроном

Тит Ливий, как уже говорилось, назвал Архимеда «единственным в своем роде наблюдателем неба и звезд». И хотя астрономические сочинения ученого до… Мы знаем всего о трех астрономических работах ученого. Во-первых, сам Архимед вскользь рассказал о своих измерениях углового диаметра Солнца и коснулся других…

Псаммит» и античная астрономия

«Псаммит» – одно из поздних произведений ученого, в котором он по существу пытался определить размеры солнечной системы (или, по представлениям того… «Как ты знаешь, – обращается Архимед к Гелону, – большинство астрономов… О каких системах мира говорит здесь Архимед?

Числа Ипполита» и система мира Архимеда

Ипполит был римским епископом и вел активную литературную полемику с различными «ересями», причем часто и подробно цитировал своих противников.… Текст Ипполита, относящийся к Архимеду, можно условно разбить на три части. В… Во второй части Ипполит говорит об архимедовых размерах «сферы неподвижных звезд». «Периметр же зодиака он принял…

Числа Ипполита

Наконец, в последней части отрывка приводятся архимедовы расстояния от трех планет до Земли: «От орбиты Сатурна до Земли, – как он говорит, – будет… Эти числа представляются как бы «лишними», так как их, казалось бы, можно… Эти двенадцать чудом сохранившихся архимедовых чисел позволяют воссоздать хотя бы приблизительно облик «вселенной…

Небесный глобус Архимеда

Самое раннее упоминание о глобусе Архимеда относится к I в. до н.э. В диалоге знаменитого римского оратора Цицерона «О государстве» разговор между… В III в. н.э. о глобусе упоминает римский христианский писатель – Лактанций. Воспользовавшись глобусом как материалом…

Последние годы

Биографии Архимеда нет. Но сохранился рассказ римского писателя Тита Ливия о событиях в Сиракузах накануне осады города римлянами, его штурме и… Мы приведем здесь отрывки из XXIV книги «Истории» Тита Ливия и постараемся… Рассказ Ливия о сиракузских событиях начинается со смерти Гиерона, случившейся в 215 г. до н.э., т.е. на четвертом…

Заключение

Если окинуть взглядом разнообразную и плодотворную работу Архимеда, может показаться, что в своей деятельности ученый «разбрасывался», увлекаясь различными, не связанными между собой проблемами. Но несмотря на разнообразие задач, за которые брался Архимед, можно заметить между ними определенную связь. Например, занимаясь проблемами равновесия, Архимед выполнил целую серию работ, связанных с применением открытых им закономерностей. Придя к понятию центра тяжести при разработке методов строительных расчетов, он построил геометрическую теорию нахождения центров тяжести фигур и дал строгую формулировку законов равновесия. Разработанную теорию он применил на практике, создав многоступенчатые механические передачи и «железные лапы». Но эту же теорию он применил и в геометрии, решив с помощью «мысленного взвешивания» задачу об определении площади сложных фигур.

Геометрическое сочинение Архимеда «О спиралях» (в котором, кстати, впервые вводится кинематическое описание кривой) связано с созданием водоподъемной «улитки» (гидравлика) и червячной передачи (механика).

Таким образом, главным в творчестве Архимеда было стремление максимально раздвинуть рамки задачи вширь, одновременно доведя ее решение до геометрической строгости.

В астрономии Архимед предстает перед нами и как наблюдатель (определение видимого поперечника Солнца), и как теоретик (приведение результатов измерений к центру Земли), и как вычислитель (расчет межпланетных расстояний), и как механик (создание небесного глобуса). Теоретические занятия законами отражения света, возможно, привели к изобретению и постройке гелиоконцентратора, причем сама идея расчленения вогнутого зеркала на множество плоских элементов связана с заменой кривой вписанными и описанными многоугольниками, часто применявшейся Архимедом в геометрических доказательствах.

Такое сочетание математического таланта с практическим мышлением и организаторскими способностями встречается не так уж часто. Архимед является в истории науки яркой фигурой исследователя, слившего воедино теорию и практику, и он несомненно служил образцом и примером для многих поколений ученых.

Интересной особенностью характера Архимеда было его пристрастие к большим масштабам.

Архимед не был замкнутым ученым. Он стремился сделать свои достижения общеизвестными. Его любовь к эффектным демонстрациям хорошо проявлялась в эпизоде с передвижением вытащенного на берег корабля «силой одного человека». Видимо, и шедевр античной механики – небесный глобус – не имел другого назначения, кроме демонстрационного. Среди научных работ Архимеда есть и популяризаторская – «Псаммит». Об этом говорит и сама постановка задачи, и то, что система записи крупных чисел к этому времени уже была описана Архимедом в другой не дошедшей до нас книге.

Таким предстает перед нами Архимед – теоретик, исследователь, инженер, популяризатор науки.

Исторические личности, упоминаемые в книге

Агафокл (361...289 до н.э.) – сиракузский военачальник, ставший в 317 г. правителем города. Андронадор – сиракузский политик, опекун юного царя Сиракуз Гиеронима в… Анфимий из Тралл – византийский ученый VI в.; занимался математикой и оптикой, был скульптором и архитектором;…