ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1

ЛЕКЦИЯ N 2 • Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана для энергетической светимости R(Т). Итоги лекции N 2

ЛЕКЦИЯ N 3 • Проблема фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Итоги лекции N 3

ЛЕКЦИЯ N 4 • Боровская теория атома водорода. Спектры излучения атома водорода в теории Бора. Итоги лекции N 4

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ МИКРООБЪЕКТОВ

ЛЕКЦИЯ N 5 • Свойства фотонов. Неделимость фотона. Интерференция одиночных фотонов. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны. Итоги лекции N 5

ЛЕКЦИЯ N 6 • Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов. Дифракция единичных электронов. Волновая функция и волна де Бройля. Соотношения неопределенностей. Итоги лекции N 6

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ЛЕКЦИЯ N 7 • Уравнение Шредингера. Понятия об операторах физических величин. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Итоги лекции N 7

ЛЕКЦИЯ N 8 • Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа. Спектры атома водорода в теории Шредингера. Волновая функция основного состояния атома водорода. Итоги лекции N 8

ЛЕКЦИЯ N 9 • Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны. Физические основы периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Молекула. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов. Итоги лекции N 9

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ

ЛЕКЦИЯ N 10 • Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы. Итоги лекции N 10

ЛЕКЦИЯ N 11 • Электронный газ при Т > 0. Распределение Ферми-Дирака. Анализ функции f(E). Итоги лекции N 11

ЛЕКЦИЯ N 12 • Результаты квантовой теории электропроводности металла. Термоэлектронная эмиссия. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна. Итоги лекции N 12

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ЛЕКЦИЯ N 13 • Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы. Диэлектрики и полупроводники. Собственная проводимость полупроводников. Итоги лекции N 13

ЛЕКЦИЯ N 14 • Примесная проводимость полупроводников. Акцепторные примеси. Полупроводники p-типа. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод. Полупроводниковый триод (транзистор). Итоги лекции N 14

ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЛАЗЕРОВ

ЛЕКЦИЯ N 15 • Вводные сведения. Вынужденное (стимулированное) излучение. Состояние с инверсией населенности. Оптический резонатор. Способы создания инверсии населенности. Виды лазеров и их применение. Итоги лекции N 15

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

ЛЕКЦИЯ N 16 • Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число. Дефект масс и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы. Итоги лекции N 16

ЛЕКЦИЯ N 17 • Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба. Ядерный реактор. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций. Итоги лекции N 17

ЛЕКЦИЯ N 18 • Радиоактивность. Историческое введение. Закон радиоактивного распада. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом. Методы регистрации ионизирующих излучений. Итоги лекции N 18

§ 1. Краткие исторические сведения

Немецкий физик Макс Планк 14 декабря 1900 г. выступил на заседании Германского физического общества с докладом, в котором он сообщил о полученной им формуле распределения энергии (см. (2.1)) в спектре излучения абсолютно черного тела (см. § 3 настоящей лекции). Полученная им теоретическая зависимость хорошо описывала экспериментальные результаты.

14 декабря 1900 г. считают датой рождения квантовой физики.

При выводе своей формулы М. Планк сделал одно из важнейших физических открытий: он нашел новую универсальную постоянную, названную впоследствии постоянной Планка. Ее обозначают буквой h, в системе СИ постоянная Планка имеет следующее значение:

размерность постоянной Планка - джоуль, умноженный на секунду, носит название "действие", поэтому постоянную Планка называют также "квант действия".

С квантом действия Планк связал понятие "квант энергии", это наименьшая порция энергии, которую нагретое тело может либо излучить, либо поглотить. Величина кванта энергии

здесь v - частота колебаний электромагнитной волны, излучаемой телом.

Если вместо v использовать круговую частоту ω = 2πv (14.3.1.3), то энергия кванта ε = hω/2π. Величину

также называют постоянной Планка. Тогда энергия кванта

Альберт Эйнштейн, используя и развивая введенное М. Планком понятие о квантах энергии, ввел понятие "квант света", или фотон (от греческого photos - свет). Согласно Эйнштейну, энергия, излученная в виде кванта электромагнитной волны, не распределяется непрерывно во всевозрастающем объеме пространства, а движется в виде локализованного в малой области фотона, обладающего энергией ε = hv.

Эта гипотеза позволила Эйнштейну объяснить явление фотоэффекта (1905г.).

В 1909-1910 гг. в лаборатории английского физика Эрнста Резерфорда были проведены исследования по рассеянию α-частиц тонким слоем вещества. Схема опыта изображена на следующем рисунке:

Рис. 1.1

α-частицы - это ядра атома гелия. Они испускаются кусочком радиоактивного вещества - радия. Свинцовая оболочка с узким отверстием позволяет сформировать узкий пучок α-частиц. Скорости α-частиц порядка 10⁷ м/с, они имеют положительный заряд, равный двум элементарным, и их масса более чем в семь тысяч раз превышает массу электрона. Сотрудники Резерфорда Э. Марсден и Х. Гейгер в 1909 г. обнаружили, что очень небольшая часть α-частиц (примерно 1/8000) рассеивается на угол θ > π/2, т.е. назад. Осмысливание этого факта привело в 1911 г. Э. Резерфорда к планетарной модели атома. Согласно этой модели в центре атома находятся очень маленькое ядро (r_я ~ 10^-15 м), в ядре сосредоточена почти вся масса атома. Заряд ядра положительный (оно-то и отталкивает летящие на него α-частицы). Отрицательно заряженные электроны движутся вокруг ядра подобно планетам солнечной системы. Расстояния, на которых находятся самые удаленные от ядра электронные орбиты, определяют размер атома. Этот размер имеет порядок 10^-10 м, т.е. весь атом больше своего ядра примерно в 100000 раз!

Атом в модели Резерфорда оказался неустойчивым. Как мы знаем, ускоренно движущаяся заряженная частица излучает электромагнитные волны. Криволинейное движение, даже при постоянной по модулю скорости, является ускоренным, следовательно, в планетарной модели электроны будут терять свою энергию. Как показывают расчеты, за время порядка 10^-8 с электроны упадут на ядро. Но весь наш опыт неопровержимо и весомо свидетельствует о стабильности атомов!

Проблемой теоретического описания атома заинтересовался датский физик Нильс Бор. Он в 1912 г. приезжает к Резерфорду и подробно знакомится с результатами его работ. В 1913 г. Н. Бор публикует работу "О строении атомов и молекул".

В этой работе Бор взял за основу модель атома Резерфорда и дополнил ее квантовыми представлениями, введенными М. Планком и развитыми А. Эйнштейном. Основу квантовой теории атома Бора составляют два его постулата, дополненные условием стационарности состояния атома. Эти два постулата мы приведем в лекции N 4, § 1.

Развитая Бором на основе этих постулатов теория атома водорода (26.4) позволила рассчитать спектр излучения этого атома. Результаты расчетов оказались в замечательном соответствии с имевшимися экспериментальными данными.

§ 2. Тепловое излучение

Излучение телами электромагнитных волн может происходить за счет различных видов энергии.

Тепловым называется электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счет его внутренней энергии (см. Ч. 4, лекция N 4, § 2). Все остальные виды излучения, возбуждаемые внешними источниками энергии, называются люминесценцией.

Тепловое излучение является единственным видом излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с окружающими телами. Это обусловлено тем, что с повышением температуры тел интенсивность теплового излучения растет.

Энергетическая светимость тела - это отношение энергии dE, испускаемой за время dt поверхностью dS излучающего тела по всем направлениям к величинам dS и dt:

По существу энергетическая светимость совпадает с интенсивностью излучения - средним по времени от вектора Пойнтинга, дающим плотность потока энергии электромагнитной волны.

При тепловом излучении энергетическая светимость R является функцией температуры T.

Спектральная плотность энергетической светимости r_λ (или испускательная способность тела) - это отношение энергетической светимости dR, взятой в бесконечно малом интервале длин волн dλ, к величине dλ:

Спектральная плотность энергетической светимости r_λ является функцией длины волны λ и температуры Т.

Другое название r_λ - испускательная способность.

Из (1.6) получим, что

значит

Электромагнитное излучение можно характеризовать частотой ω и ввести спектральную плотность энергетической светимости r_ω.

Спектральная плотность энергетической светимости r_ω - это отношение энергетической светимости dR, взятой в бесконечно малом интервале частот dω, к величине dω, т.е.:

r_ω является функцией частоты ω и температуры Т. Величину r_ω называют, также как и r_λ , испускательной способностью тела.

Величину r_ω чаще используют в теоретических исследованиях, а r_λ - в экспериментальных.

Из (1.9) получим, что:

значит

Величины λ и ω, как мы знаем, связаны соотношением λ = 2πc/ω (для электромагнитной волны в вакууме v = c). Связь dλ и dω получим дифференцированием этого равенства:

Знак "минус" указывает на то, что с ростом длины волны λ, круговая частота ω убывает.

Для соответствующих интервалов dλ и dω можно записать:

Заменив dλ на его выражения через dω и опуская знак "минус", получим:

Используя эти выражения можно перейти от r_λ к r_ω и обратно.

Поток излучения Ф - это отношение энергии dЕ, переносимой электромагнитным излучением через какую-либо поверхность ко времени переноса dt, значительно превышающему период электромагнитных колебаний. Поток излучения Ф - синоним понятия мощность излучения. Единица измерения потока - ватт.

Поглощательная способность тела a_ω - это отношение поглощаемого телом потока излучения dФ_ω' (или dФ_λ') в интервале частот dω (или длин волн dλ) к падающему на него потоку dФ_ω (или dФ_λ) в том же интервале dω (или dλ), т.е.:

Поглощательная способность тела a_ω (как и a_λ) - величины безразмерные (это следует из определения).

§ 3. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа.

Абсолютно черное тело - это тело, для которого поглощательная способность тождественно равна единице для всех частот или длин волн и для любой температуры, т.е.:

Из определения абсолютно черного тела следует, что оно должно поглощать все падающее на него излучение.

Понятие "абсолютно черное тело" - это модельное понятие. В природе абсолютно черных тел не существует, но можно создать устройство, являющееся хорошим приближением к абсолютно черному телу - модель абсолютно черного тела.

Модель абсолютно черного тела - это замкнутая полость с маленьким, по сравнению с ее размерами, отверстием (рис. 1.2). Полость изготавливают из материала, достаточно хорошо поглощающего излучение. Излучение, попавшее в отверстие, прежде чем выйти из отверстия, многократно отражается от внутренней поверхности полости.

При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате из отверстия выходит отраженный поток dФ", являющийся очень малой частью попавшего в него потока излучения dФ. В результате поглощательная способность отверстия в полости будет близка к единице.

Рис. 1.2

Если внутренние стенки полости поддерживать при температуре Т, то из отверстия будет выходить излучение, свойства которого будут очень близки к свойствам излучения абсолютно черного тела. Внутри полости это излучение будет находиться в термодинамическом равновесии с веществом полости.

По определению плотности энергии, объемная плотность энергии w(Т) равновесного излучения в полости - это:

где dЕ - энергия излучения в объеме dV. Спектральное распределение объемной плотности дается функциями u(λ,T) (или u(ω,T)), которые вводятся аналогично спектральной плотности энергетической светимости ((1.6) и (1.9)), т.е.:

Здесь dw_λ и dw_ω - объемная плотность энергии в соответствующем интервале длин волн dλ или частот dω.

Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной способности тела ((1.6) и (1.9)) к его поглощательной способности (1.14) одинаково для всех тел и является универсальной функцией частоты ω (или длины волны λ) и температуры Т, т.е.:

Очевидно, что поглощательная способность a_ω (или a_λ) для разных тел разная, то из закона Кирхгофа следует, что чем сильнее тело поглощает излучение, тем сильнее оно должно это излучение испускать. Так как для абсолютного черного тела a_ω ≡ 1 (или a_λ ≡ 1), то отсюда следует, что в случае абсолютночерного тела:

Иными словами, f(ω,T) либо φ(λ,T), есть не что иное как, спектральная плотность энергетической светимости (или испускательная способность) абсолютно черного тела.

Функция φ(λ,T) и f(ω,T) связаны со спектральной плотностью энергии излучения абсолютно черного тела следующими соотношениями:

где c - скорость света в вакууме.

Схема установки для опытного определения зависимости φ(λ,T) приведена на рисунке 1.3.

Рис. 1.3

Излучение испускается из отверстия замкнутой полости, нагретой до температуры Т, затем попадает на спектральный прибор (призменный или решеточный монохроматор), который выделяет излучение в интервале частот от λ до λ + dλ. Это излучение попадает на приемник, который позволяет измерить падающую на него мощность излучения. Поделив эту приходящуюся на интервал от λ до λ + dλ мощность на площадь излучателя (площадь отверстия в полости!), мы получим значение функции φ(λ,T) для данной длины волны λ и температуры Т. Полученные экспериментальные результаты воспроизведены на рисунке 1.4.

Рис. 1.4

Итоги лекции N 1

1. Немецкий физик Макс Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу, согласно которой электромагнитная энергия излучается порциями, квантами энергии. Величина кванта энергии (см. (1.2):

ε = hv,

где h=6,6261·10^-34 Дж·с - постоянная Планка, v - частота колебаний электромагнитной волны, излучаемой телом.

Эта гипотеза позволила Планку решить проблему излучения абсолютно черного тела.

2. А Эйнштейн, развивая понятие Планка о квантах энергии ввел в 1905 г. понятие "квант света" или фотон. Согласно Эйнштейну квант электромагнитной энергии ε = hv движется в виде фотона, локализованного в малой области пространства. Представление о фотонах позволило Эйнштейну решить проблему фотоэффекта.

3. Английский физик Э. Резерфорд, основываясь на экспериментальных исследованиях, проведенных в 1909-1910 гг., построил планетарную модель атома. Согласно этой модели в центре атома расположено очень маленькое ядро (r_я ~ 10^-15 м), в котором сосредоточена почти вся масса атома. Заряд ядра положителен. Отрицательно заряженные электроны движутся вокруг ядра наподобие планет солнечной системы по орбитам, размер которых ~ 10^-10 м.

4. Атом в модели Резерфорда оказался неустойчивым: согласно электродинамике Максвелла электроны, двигаясь по круговым орбитам, должны непрерывно излучать энергию, в результате чего за время ~ 10^-8 с они должны упасть на ядро. Но весь наш опыт свидетельствует о стабильности атома. Так возникла проблема стабильности атома.

5. Решил проблему стабильности атома в 1913 г. датский физик Нильс Бор на основе выдвинутых им двух постулатов. В теории атома водорода, развитой Н. Бором, существенную роль играет постоянная Планка.

6. Тепловым называется электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет его внутренней энергии. Тепловое излучение может находиться в термодинамическом равновесии с окружающими телами.

7. Энергетическая светимость тела R - это отношение энергии dE, испускаемой за время dt поверхностью dS по всем направлениям, к dt и dS (см. (1.5)):

8. Спектральная плотность энергетической светимости r_λ (или испускательная способность тела) - это отношение энергетической светимости dR, взятой в бесконечно малом интервале длин волн dλ, к величине dλ (см. (1.6)):

9. Поток излучения Ф - это отношение энергии dЕ, переносимой электромагнитным излучением через какую-либо поверхность ко времени переноса dt, значительно превышающему период электромагнитных колебаний (см. (1.13)):

10. Поглощательная способность тела a_λ - это отношение поглощаемого телом потока излучения dФ_λ' в интервале длин волн dλ к падающему на него потоку dФ_λ в том же интервале dλ, (см. (1.14):

11. Абсолютно черное тело - это тело, для которого поглощательная способность тождественно равна единице для всех длин волн и для любой температуры, т.е.

Абсолютно черное тело - это модельное понятие.

12. Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной способности тела r_λ к его поглощательной способности а_λ одинаково для всех тели является универсальной функцией длины волны λ (или частоты ω) и температуры Т (см. (1.17)):

 

ЛЕКЦИЯ N 2

Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина

Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, чтобы теоретически получить зависимость φ(λ,Т) - спектральную плотность… Казалось, что ситуация ясна: при заданной температуре Т молекулы вещества… Однако, все попытки теоретиков получить на основе классической физики закон излучения абсолютно черного тела потерпели…

Закон Стефана-Больцманаи закон Вина

Интегрирование дает:

Проблема фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Проблема фотоэффекта

Такой фотоэффект называют внешним. Именно о нем мы будем говорить в этой главе. Есть еще и внутренний фотоэффект. (см. лекцию 13, § 2). В 1887 г. немецкий физик Генрих Герц обнаружил, что ультрафиолетовый свет,…

Проблема, как и в случае с излучением абсолютно черного тела, состояла в том, что теоретические предсказания, сделанные для фотоэффекта на основе классической физики (электродинамики Максвелла), противоречили результатам опытов. Интенсивность света I в классической электродинамике является плотностью потока энергии световой волны. Во-первых, с этой точки зрения, энергия, передаваемая световой волной электрону, должна быть пропорциональна интенсивности света. Опыт не подтверждает это предсказание. Во-вторых, в классической электродинамике нет никаких объяснений прямой пропорциональности кинетической энергии электронов, (mv2max)/2, частоте света v.

§ 2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Согласно предположению Эйнштейна свет состоит из неделимых квантовэнергии величиной hv. Это предположение позволило ему очень просто разрешить проблему фотоэффекта. Применим к фотоэффекту закон сохранения энергии, считая свет потоком фотонов с энергией

В металле электрон находится в потенциальной яме. Для того, чтобы удалить электрон из металла, надо совершить работу против сил электростатического притяжения отрицательного электрона к положительному ионному остатку. Эта работа А называется работой выхода электрона из металла. Будем пока считать, что глубина потенциальной ямы равна этой работе А, впоследствии (см. рис. 12.1 и формулу (12.4)) мы внесем некоторые уточнения. Для разных металлов величина А разная. Меньше всего величина работы выхода у щелочных металлов, например, для цезия (Cs) А = 1,81 эВ. У цинка, который использовался в опытах Столетова, А = 4,24 эВ. Фотоны поглощаются поодиночке (если интенсивность света не достигает очень больших значений). Энергия фотона hv частично расходуется на работу выхода, оставшаяся часть (mv²_max)/2 уносится электроном, (см. рисунок 3.4).

Рис 3.4

Таким образом

Это и есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Если в этом уравнении заменить (mv²_max)/2 на еU_зад (см. (3.1)), то уравнение Эйнштейна будет иметь следующий вид:

Из последней формулы видно, что величина задерживающего напряжения U_зад прямо пропорциональна частоте света. Эту зависимость тщательно проверял в специально созданной установке американский физик Р. Милликен. "Я потратил десять лет моей жизни на проверку этого эйнштейновского уравнения 1905 г., - писал Милликен, - и вопреки всем моим ожиданиям я вынужден был в 1915 г. безоговорочно признать, что оно экспериментально подтверждено, несмотря на его несуразность, так как казалось, что оно противоречит всему, что мы знаем об интерференции света ". Последняя часть высказывания Р. Милликена связана с корпускулярно-волновым дуализмом микрочастиц, о котором мы поговорим позднее в лекциях N 5 и N 6.

Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта (3.3) следует, что если энергия фотона hv меньше работы выхода А, то фотоэффект невозможен. Граничная частота определяется равенством:

здесь v_кр - красная граница фотоэффекта.

Соответствующая частоте v_кр длина волны также называется красной границей фотоэффекта, т.к. v = c/λ , то для λ_кр имеем:

Название "красная граница" связано с тем, что длинноволновая часть видимого спектра, для которой максимальна длина волны λ и минимальна энергия фотонов, имеет красный цвет.

Итоги лекции N 3

2. Экспериментальные исследования фотоэффекта, приведенного в 1900-1904 гг., показали, что 1) энергия вылетевших из фотокатода электронов не зависит от интенсивности… 2) эта энергия прямо пропорциональна частоте v света, освещающего фотокатод.

Боровская теория атома водорода Спектр излучения атома водорода в теории Бора

Боровская теория атома водорода

Рис. 4.1. Заряд протона равен e, он положительный и равен по абсолютной величине заряду электрона, поэтому между ядром и…

Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.

Здесь me - масса электрона; v - его скорость. Число n называют главным… Так как , то с учетом этого обозначения условие квантования орбит будет иметь следующий вид:

Итоги лекции N 4

2. Проблема стабильности атома состояла в том, что в планетарной модели атома электрон, двигаясь по окружности, должен, из-за наличия ускорения,… 3. Проблемы эти были решены в 1913 г. Н. Бором на основе его двух… 1) существуют стационарные состояния атом, находясь в которых он не излучает электромагнитных волн. Условие…

Свойства фотонов. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны

Свойства фотонов

Фотон - это элементарная частица, квант электромагнитного излучения.

1.Скорость фотона всегда постоянна и равна скорости света в вакууме.

Масса фотона

Энергия фотона

  4. Импульс фотона

ЛЕКЦИЯ N 6

Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов.

Волновая функция. Соотношения неопределенностей

 

Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов

С фотонами связаны электромагнитные волны. Волны, для частиц с m ≠ 0 , о существовании которых догадался Л. де Бройль, носят название волн де… здесь p - импульс частицы.

Соотношения неопределенностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма квантовых объектов.

С учетом соотношения де Бройля (6.1) для и :

ЛЕКЦИЯ N 7

Уравнение Шредингера. Понятие об операторах физических величин. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Уравнение Шредингера

здесь - постоянная Планка; m - масса частицы; U - ее потенциальная энергия во…

Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция ψ = ψ(х) и…

Итоги лекции N 7

здесь - оператор Лапласа, в декартовой системе координат он имеет следующий вид: U - потенциальная энергия частицы во внешнем поле, которая может зависеть и от времени;

ЛЕКЦИЯ N 8

Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа. Спектры атома водорода в теории Шредингера. Волновая функция основного состояния атома водорода

 

§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода

В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома (4.3).

Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера (7.3) к атому водорода это значит:

а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром

б) в качестве m подставить m_e - массу электрона (если пренебречь, как и в лекции N 4, движением ядра).

После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:

Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат: r, θ, φ.(рис. 8.1)

Рис. 8.1

Волновая функция в этом случае будет функцией от r, θ и φ, т.е.

Оператор Лапласа необходимо записать в сферических координатах, т.е. выразить через производные по r, θ и φ. Мы не будем этого делать, поскольку получение решения уравнения Шредингера для атома водорода не входит в программу курса общей физики. Приведем лишь результаты.

Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:

а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемые несвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;

б) при дискретных отрицательных значениях энергии

Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом.

§ 2. Квантовые числа

Волновые функции электрона ψ_nlm(r, θ, φ) определяются тремя целочисленными параметрами: n, l, m_e. Эти целые числа называются квантовыми числами:

n - главное квантовое число, оно, как мы знаем (см. (8.3)), определяет значение энергии E_n, n=1,2,3…;

l - азимутальное (орбитальное) квантовое число, оно определяет L - модуль момента импульса электрона.

При заданном n азимутальное квантовое число l может принимать следующие значения:

всего n значений.

Следовательно, из уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса электрона в атоме водорода квантуется и может принимать n значений. Так при n = 1 азимутальное квантовое число может принимать единственное значение l = 0. При n = 2 возможны значения l = 0,1.

m_l - это магнитное квантовое число.

Из уравнения Шредингера также следует, что проекция момента импульса L на выбранное направление в пространстве, скажем, ось z, также квантуется. Величина этой проекции, L_z, связана с квантовым числом m_l.

При заданном l магнитное квантовое число m_l может принимать следующие значения:

всего 2l + 1 значений.

Значит, при заданной главным квантовым числом n энергии E_n возможны n значений азимутального квантового числа (от l = 0 до n - 1) и 2l + 1 значений магнитного квантового числа m_l.. Таким образом, при заданном n число различных волновых функций ψ_nlm, отвечающих заданной энергии E_n, будет равно

Говорят, что уровень энергии E_n будет вырожден с кратностью n².

В атомной физике применяют заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса:

l = 0 - s-состояние;

l = 1 - p-состояние;

l = 2 - d-состояние;

l = 3 - f-состояние;

затем идут g, h и дальше в алфавитном порядке.

Значение главного квантового числа n указывают перед буквой, являющейся условным обозначением азимутального квантового числа l.

Например, 1s-состояние - это состояние с главным квантовым числом n = 1 и азимутальным квантовым числом l = 0 (на это указывает буква s).

§ 3. Спектры атома водорода в теории Шредингера

Появление в шредингеровской теории атома водорода, в отличие от теории Бора, квантования момента импульса L и его проекции L_z объясняет некоторые особенности спектров излучения и поглощения атома водорода, которые не могли быть объяснены теорией Бора. Для пояснения этих особенностей изобразим схему уровней атома водорода, на которой учтено вырождение уровней по азимутальному квантовому числу l, (см. рис. 8.2).

Рис. 8.2

На приведенной схеме по вертикали отложена полная энергия E_n электрона в атоме водорода, выраженная в электронвольтах и значения главного квантового числа n. По горизонтали отложены дискретные значения азимутального квантового числа l вместе с их спектроскопическими обозначениями.

Линии, соединяющие энергетические уровни, обозначают разрешенные правилом отбора переходы электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом или испускаются или поглощаются фотоны соответствующих энергий ε = E_n - E_m.

Правило отбора связано с тем, что фотон обладает собственным моментом импульса. При излучении света фотон уносит момент импульса из атома, а при поглощении - приносит. Поэтому, вследствие закона сохранения момента импульса, момент импульса атома в процессах излучения и поглощения фотонов изменяется. Оказывается, с наибольшей интенсивностью идут такие переходы, в которых выполняется следующее правило отбора:

Это правило отбора справедливо для так называемых дипольных переходов. Оно запрещает, например, дипольный переход электрона из состояния 2s в состояние 1s, разрешенный законом сохранения энергии. Поэтому электрон может сравнительно долго находиться в состоянии 1s, если он туда попадает. Такое состояние называется метастабильным.

Так как стационарные значения энергии атома водорода в теории Бора и в теории Шредингера совпадают, то в первом приближении из теории Шредингера следуют такие же спектры излучения и поглощения, как и в теории Бора. Однако, шредингеровская теория атома водорода позволяет учесть влияние на энергетические уровни взаимодействия орбитального и спинового моментов импульса электрона (тонкая структура спектра). Кроме того шредингеровская теория позволяет учесть влияние на спектры магнитного поля (эффект Зеемана) и электрического поля (эффект Штарка). Учет взаимодействия спиновых магнитных моментов ядра и электрона приводит к сверхтонкому расщеплению уровня 1s атома водорода на два подуровня. Переход электрона между этими подуровнями приводит к излучению (или поглощению) радиоволн с длиной волны λ = 21 см. Такое излучение испускается межзвездным водородом в галактиках. Изучая это излучение с помощью радиотелескопов, астрономы получают много полезной информации.

§ 4. Волновая функция основного состояния атома водорода

Для основного состояния атома водорода квантовые числа n, l, m_l имеют следующие значения:

n = 1, l = 0, m_l = 0.

Это состояние обозначают 1s. Уравнение Шредингера имеет для 1s состояния решение ψ_nim = ψ₁₀₀ которое зависит только от расстояния r между ядром и электроном:

Здесь - первый боровский радиус.

В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции вероятность dw обнаружить электрон в объеме dV:

Отметим, что dw зависит от выбранной нами формы элементарного объема dV.

Если взять dV в форме прямоугольного параллелепипеда, т.е. dV = dxdydz и обозначить через dw соответствующую вероятность, то

В этом случае плотность вероятности обнаружить электрон в объеме параллелепипеда dV = dxdydz будет равна

Плотность вероятности имеет максимальное значение (1/π₀³) при r = 0, график этой функции изображен на рисунке 8.3.

Рис. 8.3.

Так как волновая функция 1s состояния зависит только от r, то обычно элемент объема dV берут в виде сферического слоя радиуса r и толщиной dr. Как известно из геометрии, объем такого сферического слоя dV = 4πr²dr. Обозначим через dw₀ соответствующую вероятность, тогда

Эта функция равна нулю при r = 0 и r → ∞. При r = r₀ она имеет максимум, положение которого соответствует первой боровской орбите.

Рис. 8.4

Итоги лекции N 8

Здесь n называется главным квантовым числом. 2. Волновые функции ψnlm(r, θ, φ) стационарных состояний атома водорода определяются тремя квантовыми…

ЛЕКЦИЯ N 9

Спин электрона. Принцип Паули. Физические основы периодической системы Д.И. Менделеева. Молекула. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов

 

Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны.

Для электрона s = 1/2. Проекция спина на ось z, Lsz, квантуется

Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов

Такое поведение теплоемкости становится понятным если учесть квантование вращательного и колебательного движений молекулы. Поступательное движение…

Итоги лекции N 9

2. Проекция спина на ось z LSz квантуется (см. (9.2)):

ЛЕКЦИЯ N 10

Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

Таким образом, валентные электроны металла находятся в потенциальной яме. Глубина этой ямы - работа выхода электронов из металла A - составляет…   § 1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы

Энергия Ферми EF(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при T = 0.

На нашем рисунке 10.1 энергия Ферми при N = 6 равна энергии третьего энергетического уровня. В реальных ситуациях число электронов N имеет порядок числа Авогадро (см. Ч. 4, лекция 1, § 1), т.е. N ~ N_A. Выражение для энергии Ферми при T = 0, E_F(0), получим, приравняв квантовое число n в формуле (7.21) для энергии стационарных состояний частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме половине числа частиц, т.е. n = N/2 (т.к. на каждом уровне - два электрона). Тогда получим:

Как мы видим, энергия Ферми при T = 0, E_F(0) зависит от числа занятых электронами состояний. В одномерной яме число занятых состояний N (одно состояние - один электрон) (!) равно удвоенному значению квантового числа n. В других ситуациях подсчет числа состояний, доступных микрочастицам, более сложен. Так в трехмерной яме кратность вырождения, т.е. число квантовых состояний, соответствующих заданному значению энергии, растет с ростом энергии. Объясняется это тем, что энергия частицы Е - величина скалярная, а импульс - векторная, как известно . При заданном значении модуля импульса р (а следовательно и энергии Е) направление вектора импульса может быть различным. При этом, как будет показано ниже, число состояний Z, для которых модуль импульса р меньше заданного значения, растет пропорционально третьей степени р. Подсчет числа этих состояний нужен для определения Е_F (0) энергии Ферми для более реалистической модели трехмерной потенциальной ямы. Проще всего этот подсчет выполнить, используя понятия фазового µ-пространства и фазовой ячейки.

Фазовое µ - пространство - это воображаемое шестимерное пространство со взаимно перпендикулярными осями x, y, x, p_x, p_y, p_z.

Для задания состояния рассматриваемой системы частиц в классической физике также вводят фазовое пространство, объединяющее координаты и импульсы всех частиц системы.

Рис. 10.2

Для частицы, совершающей одномерное движение (частица в одномерной яме), фазовое µ-пространство представляет из себя две взаимно-перпендикулярные оси, по которым откладывается координата x и соответствующий ей импульс p. В квантовой механике появляются ограничения на возможные значения импульса, связанные с квантованием волнового числа k. Для частицы в яме шириной a в соответствии с формулой (7.20):

Так как по соотношению де Бройля (6.1)

то импульсы тоже квантуются:

Здесь

Как отмечалось в § 3 лекции N 7 положительные и отрицательные числа n соответствуют одному и тому же стационарному состоянию, но в фазовом µ-пространстве положения точек, имеющих разные по знаку импульсы, будут разными. Объемом нашего двухмерного пространства ΔГ называют произведение ΔpΔx, т.е.

здесь Δp - интересующий нас интервал изменения импульса, а Δx - интервал изменения координаты.

Найдем ΔГ_эл - элементарный объем, занимаемый в фазовом пространстве одним квантовым состоянием частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой яме (спиновое квантовое число здесь не учитывается). Из рисунка 10.2 видно, что для одного квантового состояния.

Двойка появляется из-за того, что одному состоянию соответствуют два значения импульса, отличающиеся знаком.

Очевидно, что Δx = a, тогда

Таким образом, одно квантовое состояние частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, занимает в фазовом µ-пространстве одну элементарную ячейку размером h (без учета спина!).

Для подсчета числа квантовых состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ очевидно необходимо поделить фазовый объем ΔГ на объем элементарной ячейки h и умножить, для учета двух направлений спина, на два:

Из формулы (10.3) нетрудно получить формулу (10.1), для этого надо положить , Δx = a и учесть, что

§ 2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

Перейдем к описанию электронов в модели трехмерной потенциальной ямы. В первом приближении ее можно считать бесконечно глубокой. Пусть образец имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами Δx , Δy, Δz.

В трехмерном случае фазовое m-пространство для частицы - это шестимерное пространство, по осям которого откладываются три координаты x, y, z и три компоненты импульса p_x, p_y, p_z частицы. Объем фазового пространства кубической формы , здесь ΔV - обычный пространственный объем области, в которой находится частица. Объем элементарной фазовой ячейки в трехмерном случае можно найти из соображений, аналогичных тем, что были изложены выше для одномерного случая. В результате получим, что

Для числа состояний ΔZ в трехмерном случае имеем:

Теперь определим энергию Ферми в трехмерной яме. Как и в одномерном случае энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем еще заполненном уровне при T = 0. При T = 0 в соответствии с принципом Паули (лекция N 9, § 1) каждое квантовое состояние с E < E_F(0) будет занято одним из общего числа N электронов. Значит, для нахождения E_F(0), нам надо найти зависимость числа состояний ΔZ от энергии E, затем приравнять число состояний с энергией E ≤ E_F(0) числу частиц и выразить из этого равенства E_F(0). Реализуем последовательно эту программу.

Число состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ определяется формулой (10.5).

Фазовый объем ΔГ состояний с импульсом p < p_F(0) определим из следующих соображений.

Так как полная энергия E электронов внутри потенциальной ямы равна кинетической, то

Значит состояния с E ≤ E_F(0) - это состояния, у которых модуль импульса электронов лежит в пределах от нуля до В подпространстве импульсов этим состояниям соответствует сфера радиусом p_F(0). Умножив "объем" этой сферы на объем ямы V получим интересующий нас объем фазового пространстве ΔГ, т.е.

(10.6)

Из (10.5) и (10.6) получим число состояний ΔZ(p) с учетом спина:

Выразим p_F(0) через E_F(0). Т.к. , то

откуда для числа состояний ΔZ(E) с энергией меньше, чем E_F(0):

(10.7)

В дальнейшем нам потребуется выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал - плотность состояний g(E).

Очевидно, что

(10.8)

Продифференцировав по Е_F формулу (10.7), получим

Здесь мы заменили Е_F на Е,

Приравняв ΔZ(E_F) (10.7) числу электронов в яме N, получим

Выразим отсюда E_F(0):

здесь - концентрация электронов.

Выразив h через , получим окончательную формулу для E_F(0) - энергии Ферми для электронного газа в трехмерной потенциальной яме:

Температурой Ферми T_F - называют отношение энергии Ферми E_F(0) к постоянной Больцмана k, т.е.

Оценим энергию Ферми E_F(0) и температуру ФермиT_F.

Концентрация свободных электронов в металле порядка 10²⁸÷10²⁹ м^-3. Для n = 5·10²⁸ м^-3 из (10.8) получим:

Для T_F из (10.9) получим:

Итоги лекции N 10

1. Поведение валентных электронов в металлах можно объяснить на основе модели потенциальной ямы. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электроны из металла, потенциальную яму можно читать бесконечно глубокой.

2. При Т = 0 учет принципа Паули приводит к последовательному увеличению энергии электронов при заполнении ими квантовых состояний.

3. Энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при Т = 0 К.

4. Квантовая теория свободных электронов в металле для модели трехмерной потенциальной ямы (см. § 2) дает следующую формулу для энергии Ферми (см (10.10)):

здесь - концентрация электронов.

5. Оценки дают для E_F(0) значение около 5 эВ.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

ЛЕКЦИЯ N 11

Электронный газ при Т > 0. Распределение Ферми-Дирака. Анализ функции f(Е)

Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака

Рис. 11.1 На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма,… При T = 0K электроны занимают все доступные им состояния с наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули в…

Результаты квантовой теории электропроводности. Термоэлектронная эмиссия. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна

Результаты квантовой теории электропроводности металла

Из распределения Максвелла следует, что средняя скорость движения электрона в… Квантовая теория электропроводности дает для s следующую формулу:

Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна

Распределение Бозе-Эйнштейна дает <n(Ei)> среднее число невзаимодействующих между собой бозонов в состоянии с энергией Ei , где i - набор… где µ - химический потенциал; T - абсолютная температура; k - постоянная Больцмана.

Итоги лекции N 12

здесь m* - эффективная масса электрона, которая учитывает влияние сил,… В этой формуле от температуры зависит только λ, причем, эта зависимость при T ≥ 100K линейна.…

Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы, диэлектрики и полупроводники в зонной теории. Собственная проводимость полупроводников

Зонная теория твердых тел - квантовая теория энергетического спектра электронов в кристалле, согласно которой этот спектр состоит из чередующихся зон разрешенных и запрещенных энергий. Зонная теория объясняет, в частности, различный характер электропроводности металлов, полупроводников и диэлектриков.

Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы

Мы рассмотрим образование энергетических зон на примере воображаемого процесса образования кристалла лития (щелочной металл) путем последовательного… Рис. 13.1

Собственная проводимость полупроводников

Имея по 4 валентных электрона, атомы Ge и Si образуют кристаллические решетки типа алмаза, где каждый атом имеет 4 ближайших соседа, с каждым из… Условно пространственное расположение атомов в решетке типа алмаза можно…

Итоги лекции N 13

ЛЕКЦИЯ N 14 Примесная проводимость полупроводников. Донорные примеси, полупроводники…

Примесная проводимость полупроводников

Некоторые примеси весьма существенно влияют на электрические свойства полупроводников. Так добавление в кремний (Si) бора (B) в количестве одного атома на 10⁵ атомов кремния увеличивает проводимость при комнатной температуре в тысячу раз по сравнению с чистым кремнием.

Донорные примеси, полупроводникиn-типа

На рисунке 14.1а) изображена схема кристаллической решетки германия (Ge), в которой на месте одного из атомов решетки помещен атом фосфора (P), у… Рядом, на рисунке 14.1б), изображена энергетическая зонная схема…

Акцепторные примеси. Полупроводникиp-типа

Название "акцептор" происходит от латинского acceptor - приемник. Каждый атом акцептора забирает из валентной зоны один электрон, создавая… На рисунке 14.2а) изображена схема кристаллической решетки германия (Ge) в…

Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод

Рис. 14.3 Предположим для удобства рассмотрения, что контакт создан приведением в соприкосновение двух образцов полупроводника:…

Полупроводниковый триод - транзистор

В зависимости от чередования переходов различают p-n-p и n-p-n транзисторы. Средняя часть триода называется базой. Толщина ее должна быть по… Рассмотрим принцип работы транзистора на примере схемы, изображенной на…

Итоги лекции N 14

ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЛАЗЕРОВ

 

ЛЕКЦИЯ N 15

Вводные сведения

Лазер(оптический квантовый генератор) - устройство, генерирующее когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного испускания света активной средой, находящейся в оптическом резонаторе.

Термин "лазер" происходит от первых букв английского названия этого устройства: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiаtion - усиление света за счет вынужденного испускания излучения.

Первые квантовые генераторы были созданы в 1953 г. советскими физиками Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым и независимо от них американским ученым Таунсом. Всем троим в 1964 г. за эти работы присуждена Нобелевская премия по физике. Квантовые генераторы, созданные Басовым, Прохоровым и Таунсом, работали в микроволновом диапазоне и их английское название "мазер" образовано по тому же принципу, что и термин "лазер", только вместо слова "Light" (свет) используется слово "Microwave" (микроволновое излучение). Первый квантовый генератор, работающий в оптическом диапазоне - рубиновый лазер - был создан в 1960 г. Т. Мейманом (США).

Лазер содержит три основных компонента:

1) активная среда, в которой создают инверсию населенности.

2) система накачки - устройство для создания инверсии населенности.

3) устройство положительной обратной связи - оптический резонатор.

Главными процессами, приводящими к лазерному излучению являются:

1) вынужденное излучение;

2) положительная обратная связь.

 

§ 2. Вынужденное (стимулированное) излучение

В соответствии со вторым постулатом Бора излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии при переходе электрона в атоме из одного стационарного состояния в другое. При этом:

Если E_n < E_m - атом поглощает фотон , при E_n > E_m - атом излучает фотон.

А. Эйнштейн в 1916 г. показал, что этих двух процессов недостаточно для установления состояния равновесия между излучением и веществом. Он высказал идею о существовании вынужденного излучения.

Вынужденное излучение возникает, если на атом, находящийся в возбужденном состоянии, например, с энергией E₂, воздействует фотон с частотой, удовлетворяющей условию: ( E₁ - энергия основного состояния). В этом случае с определенной вероятностью атом переходит из состояния E₂ в основное состояние E₁ и излучает еще один фотон с энергией . При одинаковой интенсивности излучения вероятность единичного акта вынужденного излучения равна вероятности перехода атома из состояния E₁ в состояние E₂, происходящего за счет поглощения фотона . На рисунке 15.1 схематически изображены процессы: а) спонтанного излучения, б) вынужденного излучения и в) поглощения фотонов.

Рис. 15.1

Фотон вынужденного излучения по своим характеристикам тождественен фотону, вызывающему вынужденное излучение: он имеет ту же самую частоту, фазу, поляризацию и направление распространения. На волновом языке можно сказать, что вынужденное излучение приводит к увеличению амплитуды электромагнитной волны без изменения ее частоты, фазы, поляризации и направления распространения. Следовательно, вынужденное излучение строгокогерентно с вынуждающим излучением.

§ 3. Состояние с инверсией населенности

Пусть для простоты рассуждений, атомы среды могут находиться только в двух энергетических состояниях: E₁ и E₂. Числа атомов N₁ и N₂ находящихся в этих состояниях, в условиях термодинамического равновесия, определяются распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 4, (2.14)). Их отношение дается следующей формулой:

Как отмечено выше, вероятность единичного акта вынужденного испускания фотона равна вероятности поглощения такого же фотона. Поэтому, при одинаковой интенсивности излучения, полная вероятность поглощения будет пропорциональна N₁, а полная вероятность вынужденного испускания - пропорциональна N₂. В равновесных условиях N₂ < N₁ и поэтому процесс поглощения будет преобладать над процессом вынужденного испускания: вещество будет поглощать электромагнитные волны.

Если создать каким-либо образом в активной среде неравновесное состояние с N₂ > N₁- состояние с инверсией населенности - то процесс вынужденного испускания будет преобладать над процессом поглощения.

Схематически этот процесс изображен на рисунке 15.2.

Рис. 15.2

Появившийся за счет спонтанного излучения фотон с энергией , "размножается" за счет последовательных процессов вынужденного излучения. Возникает вспышка света, интенсивность которой зависит от размеров активной среды вдоль направления движения фотонов. Эта вспышка света называется сверхлюминисценцией.

Оптический резонатор

Рис. 15.3 Между этими зеркалами расположена активная среда, находящаяся в состоянии с инверсией населенности.

Способы создания инверсии населенности

В твердых телах и жидкостях используют оптическую накачку. В этом случае для создания инверсии населенности активной среды необходимо, по крайней… Рубин представляет собой окись алюминия (Al2O3), в которой (0,03 ÷… На рисунке 15.5 изображена энергетическая схема иона хрома, который и является основным элементом активной среды.

Виды лазеров и их применение

Для всех лазеров характерны следующие особенности излучения: 1) большая временная и пространственная когерентность. Время когерентности… 2) строгая монохроматичность: ;

Итоги лекции N 15

2) строгая монохроматичность: Δλ ~ 10-11 м; 3) большая плотность потока энергии; 4) очень малое угловое расхождение (от 5·10-4 радиан до 4·10-2 радиан). Особенности лазерного излучения находят…

ЛЕКЦИЯ N 16

Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число. Дефект масс и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы

Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число

Ядро - центральная массивная часть атома, состоящая из протонов и нейтронов. В ядре сосредоточена почти вся масса атома (более 99,95%). Размеры ядер… Целое число Z называется зарядовым числом. Оно совпадает с порядковым номером элемента в периодической системе…

Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы

С другой стороны, рассматривая ядро как систему нуклонов для Wо на основе…

Энергия связи имеет простой смысл: это та энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны и удалить нуклоны друг от друга на такое расстояние, где они не взаимодействуют друг с другом.

Отношение энергии связи W_св к числу нуклонов в ядре А называется удельной энергией связи. Этой величиной удобно характеризовать устойчивость ядер. На рисунке (16.1) приведен график зависимости удельной энергии связи W_св/А от числа нуклонов в ядре.

Рис. 16.1

Из графика видно, что для большинства ядер удельная энергия связи почти постоянна. Объясняется это тем, что нуклон в ядре взаимодействуют не со всеми нуклонами ядра, а только с ограниченным их числом. Это свойство называется насыщением ядерных сил.

Для легких ядер удельная энергия связи резко возрастает с ростом А, например, для дейтерия она равна 1,1 МэВ/нуклон, а уже для гелия составляет 7,1 МэВ/нуклон. Для ядер с массовыми числами А от 50 до 60 удельная энергия связи максимальна и составляет 8,7 МэВ/нуклон. Ростом А удельная энергия связи немного уменьшается. Это объясняется возрастающей ролью кулоновского отталкивания для ядер с большим числом протонов. Для урана (А=235 или А=238) удельная энергия связи составляет 7,5 МэВ/нуклон.

Из графика зависимости удельной энергии связи от массового числа следует, что энергетически выгодны два процесса:

1. Слияние (синтез) легких ядер в одно ядро;

2. Деление тяжелых ядер на несколько более легких ядер.

Так, например, в реакции слияния двух ядер дейтерия в ядро гелия выделяется энергия, равная 24 МэВ.

Деление ядра с массовым числом А=240 (W_св/А=7,5 МэВ/нуклон) на два ядра с А=120 (W_св/А=8,5 МэВ/нуклон) привело бы к высвобождению энергии:

ΔW=(8,5-7,5)·240=240 МэВ.

Для сравнения, при сжигании угля в химической реакции:

выделяется всего 5 Эв энергии, что на 6-7 порядков меньше, чем в ядерных реакциях.

Какие же силы удерживают нуклоны вместе, сдерживая кулоновское отталкивание протонов в ядре? Ядерное взаимодействие между нуклонами получило название сильного взаимодействия.Сам термин "сильное" означает, что это взаимодействие сильней кулоновского.

Ядерные силы имеют следующие особенности:

1. Они короткодействующие. Радиус действия ядерных сил притяжения порядка 10^-15 м. На расстояниях примерно 0,5·10^-15 м притяжение сменяется быстро растущим отталкиванием.
2. Ядерные силы не зависят от заряда нуклона, т.е. взаимодействие протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинаковы.
3. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов. Так в ядре дейтерия - дейтроне - нейтрон и протон имеют спины, направленные в одну сторону. При противоположных спинах нейтрон с протоном отталкиваются.
4. Ядерные силы не являются центральными. В частности, это следует из их зависимости от ориентации спинов.
5. Ядерные силы обладают свойством насыщения, т.е. каждый нуклон в ядре может взаимодействовать с ограниченным числом соседей. Это свойство отмечалось при анализе графика зависимости удельной энергии связи от массового числа А. Из-за насыщения ядерных сил объемы ядер пропорциональны А - числу нуклонов в ядре (это следует из формулы (16.12)).

Современная теория сильного взаимодействия - квантовая хромодинамика - пока далека от завершения. Однако, для многих задач ядерной физики вполне удовлетворительные результаты дает описание взаимодействия нуклонов, представляемых как элементарные объекты, посредством обмена p-мезонами.

Существуют π⁺ , π^- и π^о - мезоны. Два первых заряжены, модули их зарядов равны элементарному заряду е. Масса заряженных π-мезонов одинакова и равна 273m_е (140 МэВ). Масса π^о-мезона равна 2764m_е (135 МэВ). Спины всех трех π -мезонов равны нулю. Время жизни π⁺ и π^--мезонов 2,6 10^-8 с, π^о - мезона - 0,8·10^-16 с. Мезоны, как и протон с нейтроном, относятся к адронам, т.е. к частицам, участвующим в сильном взаимодействии. Но, в отличие от протона и нейтрона, мезоны не несут барионного заряда, который сохраняется в ядерных реакциях. Поэтому протон и нейтрон относят к барионам, а мезоны не являются барионами.

Итоги лекции N 16

где Z - зарядовое число. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Протон имеет положительный заряд, нейтрон не имеет заряда. Масса протона mP … где Х - химический символ данного элемента в таблице Менделеева;

ЛЕКЦИЯ N 17

Некоторые сведения из истории открытия деления ядер урана. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба. Ядерный реактор. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций

Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана

Облучая нейтронами уран, Ферми получает трансурановые элементы: нептуний и плутоний. Вскоре после сообщения Ферми о трансурановых элементах,… В том же году эти опыты были повторены немецким учены Отто Ганом и Фрицем… 16 января 1939 года они опубликовали статью, в которой впервые был употреблен термин "деление". Чрезвычайную…

Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба

Природный уран содержит практически два изотопа: (99,29%) и (0,71%). Ядро урана делится под действием только быстрых нейтронов с энергией больше 1… Химически оба изотопа урана совершенно неразличимы, поэтому задача выделения… Для осуществления ядерного взрывав результате ядерной цепной реакции необходимо, чтобы масса делящегося вещества (…

Ядерный реактор

В качестве делящегося вещества в реакторах используют природный (либо слегка обогащенный изотопом ) уран. Для возбуждения цепной реакции в природном… В такой среде поглощение нейтронов резко уменьшается, т.к. нейтроны опасной…

Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций

Но для того, чтобы произошло слияние атомных ядер, их необходимо сблизить на расстояние порядка 10-13 м, после чего процесс слияния происходит с… На рис. 17.4 изображен примерный график зависимости потенциальной энергии…

ЛЕКЦИЯ N 18

Радиоактивность, историческое введение. Законы радиоактивного распада. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом. Методы регистрации ионизирующих излучений

Радиоактивность. Историческое введение

Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно изменять свой состав (заряд Z и массовое число А) путем испускания элементарных частиц или других атомных ядер.

Явление радиоактивности было открыто в 1896 году французским физиком А. Беккерелем, который обнаружил спонтанное испускание солями урана неизвестного излучения. Это излучение действовало на фотопластинку, ионизовало воздух, вызывало люминесценцию ряда веществ. В 1899 году Э. Резерфорд электрическим методом показал, что излучение урана состоит, по крайней мере, из двух компонент. Одну, сильно поглощаемую, Резерфорд назвал α-излучением, другую, слабо поглощаемую, он назвал β-излучением. В 1900 году Викар открыл сильно проникающее радиоактивное излучение, которое стали называть γ-излучением. Дальнейшие исследования Беккереля, Резерфорда и супругов Пьера и Марии Кюри позволили установить физическую природу радиоактивных излучений: α-излучение представляет из себя ядра атомов гелия, β-излучение является потоком электронов, а γ-лучи есть не что иное, как очень коротковолновое электромагнитное излучение.

В 1934 году Фредерик Жолио и Ирен Кюри открыли радиоактивный распад с излучением позитронов. Позитрон является античастицей электрона, в отличие от электрона он имеет положительный заряд. В 1932 году эта частица была теоретически предсказана П. Дираком и в 1932 году открыта К.Д. Андерсеном в космических лучах.

В 1940 году советскими физиками Г.Н. Флеровым и К.А. Петержаком был открыт новый тип радиоактивности - спонтанное деление ядер: делящееся ядро распадается на два осколка сравнимой массы с испусканием нейтронов и γ-квантов. В 1982 году С. Хофманом (ФРГ) наблюдалась протонная радиоактивность при распаде короткоживущего изотопа лютеция . Затем, в 1984 году Х. Роуз и Г. Джонс открывают спонтанное испускание ядер ядрами радия. В дальнейшем был обнаружен спонтанный распад других ядер с вылетом . За работы, связанные с открытием и исследованием радиоактивности присуждено более десяти Нобелевских премий по физике и химии, в том числе: А. Беккерелю, Пьеру и Марии Кюри, Э. Резерфорду, Ирен и Фредерику Жоли-Кюри.

Закон радиоактивного распада

здесь λ - постоянная радиоактивного распада. Знак минус указывает на то,… Поделим правую и левую части (17.1) на N(t) и проинтегрируем:

Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом

Быстрые заряженные частицы в веществе взаимодействуют с электронными оболочками и ядрами атомов. Электрон атома вещества в результате взаимодействия… При прохождении вблизи атомного ядра, быстрая заряженная частица движется с… Проникающая способность β-частиц больше. Так при энергии 2 МэВ от потока β-частиц защищает слой алюминия…

Методы регистрации ионизирующих излучений

Приборы, регистрирующие ионизирующее излучение, делятся на две группы. Приборы первой группы регистрируют факт пролета частицы и в некоторых случаях… К первой группе относятся: сцинтиляционные счетчики, черенковские счетчики,… Ко второй группе относятся: камера Вильсона и ее разновидность - диффузионная камера, пузырьковая камера, искровая…

Итоги лекции N 18

2. Чаще всего наблюдается испускание α, β и γ-излучений: α-излучение - это ядра гелия ; β-излучение - это поток электронов;