рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака

Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака - Лекция, раздел История, ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1 ...

Рис. 11.1

На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполненная электронным газом; на рис. а) при T = 0, на рис. б) при T > 0. Слева от потенциальной ямы изображены графики зависимости среднего по времени числа электронов в одном квантовом состоянии - <n(E)> - от энергии электронов E. Энергия E отложена по вертикальной оси, проходящей вдоль левой границы ямы, сама функция <n(E)> отложена по горизонтальной оси, направленной влево.

При T = 0K электроны занимают все доступные им состояния с наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, поэтому все нижние квантовые состояния до энергии EF(0) заняты. Таким образом, график функции <n(E)> представляет из себя ступеньку:

<n(E)> = 1 при E < EF(0) и <n(E)> = 0 при E > EF(0).

При нагревании металла часть электронов, энергия которых была близка к энергии Ферми, переходят в состояния с большей энергией, частично освобождая квантовые состояния с энергией E < EF(0): ступенька графика <n(E)> размывается.

Аналитическую зависимость среднего числа ферминов в одном квантовомсостоянии от их энергии и температурыполучили итальянский физик Э. Ферми и английский физик П. Дирак.

Она имеет следующий вид:

и называется распределением Ферми-Дирака. Параметр EF, входящий в распределение Ферми-Дирака, называется уровнем Ферми. В статистической физике этот параметр называется химическим потенциалом, его обозначают буквой µ, таким образом µ ≡ EF.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии <n(E)> изменяется от нуля до единицы, в этих же пределах изменяется вероятность f(Ei) заполнения данных квантовых состояний.

Таким образом

С учетом того, что EF ≡µ, функцию распределения Ферми-Дирака можно записать в таком виде:

Значение уровня Ферми EF (или химического потенциала µ) определяют из условия нормировки функции f(Ei): полное число электронов, находящихся во всех квантовых состояниях должно быть равно числу N свободных электронов в рассматриваемом объеме V.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии дается функцией Ферми-Дирака f(Ei) (11.1а). Так как расстояния между соседними уровнями при макроскопических объемах образца малы, то можно считать, что энергия меняется непрерывным образом,т.е. f(Ei) → f(E).

Число квантовых состояний, приходящихся на интервал энергий dE получим, умножив плотность состояний g(E) (10.9) на dE. Число электронов dN, имеющих энергию в интервале от E до E+dE, получим, умножив f(E) на g(E)dE, т.е.

Наконец, проинтегрировав dN, получим N - полное число электронов в образце:

Это и есть условие нормировки функции распределения Ферми-Дирака.

Значение EF (или химический потенциал µ) можно найти, подставив в условие нормировки (11.2) f(E) из (11.1а) и g(E) из (10.9). Однако аналитическое выражение для получающегося интеграла отсутствует. При не очень высоких температурах, таких, что kT << EF, для уровня Ферми получается приближенное выражение:

Здесь EF(0) определяется формулой (10.9).

§2. Анализ функцииf(E)

Выпишем функцию распределения Ферми-Дирака в следующем виде:

Нетрудно убедиться, что при E = EF функция f(E) = 1/2.

Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).

При T << TF (т.е. kT << EF) электронный газ называют вырожденным и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле, показатель экспоненты (E - EF) / kT будет велик по модулю всюду, за исключением интервала энергий, в котором (E - EF) ≤ kT. При этом, если E < EF, то (E - EF) / kT будет величиной отрицательной и большой по модулю, значит экспонента будет близка к нулю, а f(E) ≈ 1. В случае, если E > EF, показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) ≈ 0.

Запишем результаты анализа в следующем виде:

Из оценок, сделанных в § 2 лекция 10, TF ≈ 60000K, значит вплоть до Tпл - температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый тугоплавкий металл, вольфрам, имеет Tпл ≈ 3693K).

При T >> TF электронный газ называется невырожденным. В этом случае график функции f(E) идет полого спадая и уже совсем не похож на ступеньку.

На рисунке 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных температур.

Рис. 11.2

При больших значениях энергии электронов, таких, что E - EF >> kT, единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для "хвоста" функции f(E) справедлива следующая формула:

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 3, (2.14)).

Итоги лекции N 11

1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(Ei)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):

здесь ЕF - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. EF ≡ µ.

2. При не очень высоких температурах, когда kT<<EF для уровня Ферми справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):

здесь EF(0) - энергия Ферми.

3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(Ei) заполнения данных квантовых состояний, то для f(Ei) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):

4. Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:

5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-ЕF>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.


 

ЛЕКЦИЯ N 12

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1

ЛЕКЦИЯ N Краткие исторические сведения Тепловое излучение Излучение абсолютно черного тела Закон Кирхгофа Итоги лекции N... ЛЕКЦИЯ N Проблема излучения абсолютно черного тела Формула Планка Закон... ЛЕКЦИЯ N Проблема фотоэффекта Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта Итоги лекции N...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина
§ 1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, чтобы

Закон Стефана-Больцманаи закон Вина
Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда rω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2) во всем интервале частот.

Проблема фотоэффекта
Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Такой фотоэффект называют внешним. Именно о нем мы будем говорить в эт

Итоги лекции N 3
1. Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. 2. Экспериментальные исследования фотоэффекта, приведенного в 1900-1904 гг., показали, что

Боровская теория атома водорода
Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвиж

Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.
При движении электрона по круговой орбите радиуса rn (n = 1,2,3,...) его момент импульса Ln = mevrn должен быть кратен постоянной Планка, деленной на 2&#

Итоги лекции N 4
1. Уравнение движения электрона в планетарной модели атома, записанное на основе второго закона Ньютона, позволяет атому иметь любой размер, опыт же показывает, что размеры атомов порядка 10-1

Энергия фотона
  4. Импульс фотона

Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
Согласно гипотезе де Бройля любой движущийся частице с энергией E и импульсом соответствует волна с частотой v = E/h, длиной волны λ = h/p и волновым вектором . Так же как в случае с фо

Соотношения неопределенностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма квантовых объектов.
Задолго до создания квантовой механики в оптике было известно соотношение между длиной цуга световой волны Δx и неопределенностью волнового числа этого цуга Δk:

Уравнение Шредингера
Волновое уравнение, позволяющее найти волновую функцию частицы, которая движется в заданном силовом поле, имеет следующий вид:

Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:

Итоги лекции N 7
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.

Итоги лекции N 8
1. Формула (8.3) для энергии стационарных состояний атома водорода, полученная на основе уравнения Шредингера совпадает с аналогичной формулой (4.8), полученной в боровской теории атома водорода, т

Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны.
Как уже упоминалось в конце § 3 предыдущей лекции, спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру. Тонкая структура присуща спектрам всех атомов. Для объясн

Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
В части 4, лекции N 4 обсуждались графики экспериментальных зависимостей теплоемкости CV для двух газов: одноатомного аргона (Ar) и двухатомного водорода (H2). Ход графика для

Итоги лекции N 9
1. Электрон обладает собственным моментом импульса LS , не связанным с движением в пространстве. Модуль собственного момента импульса определяется спиновым квантовым числом

Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы
Валентные электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в пределах объема металлического образца. Потенциальная энергия электрона в пределах образца металла приблизительно постоянна, но

Результаты квантовой теории электропроводности металла
В Ч. 4 настоящего курса была приведена формула (6.9) для σ - удельной проводимости, полученная П. Друде в рамках классической теории электропроводности:

Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна
Бозон - это частица или (квазичастица - как, например, фонон - квант упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или целочисленным спином. К бозонам

Итоги лекции N 12
1. Квантовая теория электропроводности металлов дает для удельной проводимости σ формулу (12.2):

Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы
Физически происхождение зонной структуры в кристалле связано с образованием кристалла из N атомов, каждый из которых в свободном состоянии обладает дискретным электронным энергетическим спектром (с

Собственная проводимость полупроводников
Из элементов таблицы Менделеева типичными полупроводниками являются германий и кремний. Ширина запрещенной зоны у германия 0,66эВ, у кремния - 1,1эВ (при T = 300К). Имея по 4 валентных эле

Итоги лекции N 13
При объединении атомов в кристалл их энергетические уровни вследствие принципа Паули превращаются в систему очень близко расположенных подуровней - разрешенныеэнергетические

Донорные примеси, полупроводникиn-типа
Для четырехвалентных полупроводников германия (Ge) и кремния (Si) донорными примесями являются атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (P), мышьяк (As), с

Акцепторные примеси. Полупроводникиp-типа
Акцепторными примесями для германия и кремния являются атомы трехвалентных элементов, таких как бор (B), алюминий (Al), галлий (Ga), индий (In). Название "акце

Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
Создадим контакт из двух полупроводников, один из которых p-типа, а другой n-типа, как это изображено на рис.14.3 Такой контакт называют электронно-дырочным переходом, или p-n переходом.

Полупроводниковый триод - транзистор
Полупроводниковый триод, или транзистор, - это электронный прибор, предназначенный для усиления, генерирования и преобразования электрических сигналов. Состоит он из двух p-n переходов, созданных в

Итоги лекции N 14
Атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (Р), мышьяк (As), сурьма (Sb), добавленные в кристаллическую решетку четырехвалентных полупроводников германия (Ge) или кремния (Si), называютс

Оптический резонатор
Для превращения сверхлюминисценции в генерацию лазерного излучения необходимо наличие положительной обратной связи, осуществляемой за счет оптического резонатора.

Способы создания инверсии населенности
Процесс создания инверсии населенности называется накачкой. В зависимости от структуры активной среды используются различные виды накачки. В твердых телах и жидкостях испо

Виды лазеров и их применение
По режиму работы лазеры можно разделить на импульсные и непрерывного действия. По виду активной среды лазеры делятся на газовые, жидкостные, полупроводнико

Итоги лекции N 15
Лазер, или оптический квантовый генератор - это устройство, генерирующее когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного испускания света активной средо

Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число
Атомное ядро было открыто английским физиком Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц при прохождении их через вещество. Схема этого опыта была приведена нами в первой лекции

Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы
Как показывает опыт, масса ядра mя меньше, чем суммарная масса входящих в состав ядра нуклонов. Объяснение этому факту дает релятивистская механика на основе форм

Итоги лекции N 16
Ядро - центральная массивная часть атома, где сосредоточено более 99,95% массы атома. Ядро имеет положительный заряд qЯ, кратный элементарному заря

Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
После открытия нейтрона физики получили в свое распоряжение частицу, способную, ввиду отсутствия заряда, проникать в любые, в том числе и тяжелые, ядра. Исследования воздействия нейтронов на ядра,

Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
После открытия деления ядер урана У. Зинн и Л. Сциллард, а также Г.Н. Флеров показали, что при делении ядра урана вылетает больше одного нейтрона. Дальнейшие исследов

Ядерный реактор
Ядерный реактор - это содержащая ядерное горючее установка, в которой осуществляется управляемая ядерная реакция. В качестве делящегося вещества в реакторах используют природный (либо слег

Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
Как уже отмечалось в § 2 настоящей лекции, при реакции ядерного синтеза (слияния) легких атомных ядер выделяется очень большое количество энергии. Но для того, чтобы произошло слияние атом

Закон радиоактивного распада
Закон радиоактивного распада дает зависимость N(t) -числа радиоактивных ядер от времени. Поскольку отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, можно считать, что число ядер d

Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
Человек с помощью своих органов чувств не способен обнаружить радиоактивное излучение. Поэтому важной задачей является изучение особенностей взаимодействия различных радиоактивных излучений с вещес

Методы регистрации ионизирующих излучений
Быстрые заряженные частицы, проходя через вещество, оставляют за собой след ионизированных и возбужденных атомов. Нейтроны и γ-кванты, взаимодействуя с ядрами и атомами, создают вторичные быст

Итоги лекции N 18
1. Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно изменять свой состав (заряд z и массовое число А) путем испускания элемента

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги