Новые геометрии

С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех математических систем. Основанная на самых общих допущениях, она выстраивает удивительно стройное здание математических теорем. Евклидова геометрия – типичная аксиоматическая дедуктивная система. Однако на этом храме геометрии имелось маленькое пятнышко, прыщик, который математики не переставали почесывать. Евклид сформулировал ныне печально известный пятый постулат, согласно которому «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат также известен как постулат о параллельных прямых. В нем говорится: если две прямые линии не параллельны, они в конечном счете пересекутся в некоторой точке. Все согласились, что постулат верен, но было слишком сложно гарантировать истинность этой, по сути, аксиомы, ставшей отправной точкой «Начал». Сперва усилия были направлены на доказывание того, что на самом деле это не постулат, а теорема, которая может быть доказана с помощью других аксиом. Многие обманывались, считая, что им удалось доказать ее, но более тщательное изучение их доказательств непременно показывало, что в них обязательно присутствуют новые предположения, которые, по существу, оказывались перепевкой пятого постулата. Найти ему более очевидную замену оказалось очень трудно.

Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким‑либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем‑либо совершенным даже в геометрии.

Письмо Фаркаша Бойаи сыну Яношу

Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал‑Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад‑Дин ат‑Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника – что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.

Я еще не сделал открытие, но путь, которым я иду, почти наверняка приведет меня к цели, поскольку показывает, что она достижима. Я еще не дошел до конца, но то, что мне удалось обнаружить, оказалось настолько великолепным, что я был просто поражен. Было бы невероятно жаль, если бы это оказалось отброшенным как Вы, мой дорогой отец, сочли необходимым допустить, когда увидели это. Все, что я могу сказать сейчас, – то, что я создал из ничего новый и совершенно иной мир. Все, что я отправил Вам к настоящему времени похоже на карточный домик рядом с каменной башней.

Письмо Яноша Бойаи своему отцу Фаркашу

Саккери легко отверг третью гипотезу как приводящую к логическим противоречиям. Однако первая гипотеза не создавала никаких логических проблем. Используя этот новый постулат, он мог доказывать теорему за теоремой. Саккери выстроил самую первую неевклидову геометрию, но отказался поверить этому. Как мы помним, его главная цель – опровергнуть истинность этой гипотезы, а не создать новую геометрию. Вновь обратившись к церковному учению, он отверг новую геометрию на ошибочных теологических основаниях. Однако математики, жившие после него, оказались более доверчивыми.

Навязчивая идея о пятом постулате имела более глубокое значение, чем просто чистота логики. Под угрозой оказалась сама природа физического пространства. Евклидова геометрия была не только последовательной и разумной математической системой, но и принципом, по которому структурировалось пространство – самая короткая линия между двумя точками была прямой линией не только в теории, но и на практике. Казалось бы, уже существовала хорошо сформулированная геометрия, в которой даже это не было истинным, – классическая сферическая геометрия. Самая короткая линия между двумя точками на сфере – это дуга, часть большого круга, соединяющая две точки. Кроме того, сумма углов любого треугольника на сфере в целом больше 180°. Так из‑за чего вся эта суета? Все сводилось к различию между тем, что называли внутренними и внешними свойствами геометрии. Внешние свойства – те, которые можно вывести вне системы; внутренние – те, которые выводятся из самой системы. Например, правила сферической геометрии могут быть выведены из наблюдения сферы извне, скажем, за шаром в руке, но как мы можем сказать с геометрической точки зрения, живем мы на сфере или нет? Как геометрически определить, живем мы на плоской Земле или на сферической? Или, иначе говоря, есть ли какие‑то внутренние свойства, отличающие плоскость от сферы? Эти относительно простые понятия важны для изучения истинной природы трехмерного пространства, в котором мы имеем доступ только ко внутренним свойствам.

Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) изучал лишь небольшой раздел общей неевклидовой геометрии. В своей книге «Теория параллельных» (1786, издана посмертно) он использовал метод, похожий на тот, который применил Саккери. Ламберт взял треугольник и предположил, что сумма его углов меньше, равна или больше 180°. Он также показал, что сферическая геометрия соответствует третьему из этих предположений, и рассуждал, что первый случай мог бы соответствовать геометрии на сфере с мнимым радиусом. Замена реального радиуса на мнимый приводила к теоремам и формулам, объединенным в то, что позднее стало называться гиперболической геометрией. В ней знакомые sin х и cos х были заменены на sinh х и cosh х. Хотя идея кажется физически неправдоподобной, математически это звучит вполне разумно. Впоследствии рассуждения Ламберта показали, чтобы он был недалек от истины.

К началу XIX века, когда все попытки доказать пятый постулат закончились поражением, математики поняли, что возможны другие непротиворечивые геометрии, кроме евклидовой. И вот на сцену выходят два неизвестных математика, совершающих одновременное открытие.

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) был сыном мелкого российского чиновника, который умер, когда Николаю было всего семь лет, оставив в тяжелом финансовом положении вдову и трех сыновей. Семья переехала в Казань, где все дети отлично учились, но Николай Лобачевский проявил себя ярче других. В четырнадцать лет он поступил в недавно основанный Казанский университет и там познакомился с выдающимися профессорами, многие из них были родом из Германии. В возрасте двадцати одного года Лобачевский начал преподавать, а два года спустя был утвержден экстраординарным профессором. Будучи терпеливым, методичным и трудолюбивым человеком, он заслужил уважение других ученых, которые взвалили на него множество неблагодарных административных задач. Он стал университетским библиотекарем, а также хранителем плохо организованного университетского музея. Он сам, без помощников, выполнил всю работу, внеся в организацию музея и библиотеки некоторый порядок.

В 1825 году правительство наконец назначило в университет профессионального хранителя, который впоследствии использовал свое политическое влияние для того, чтобы утвердить Лобачевского на высокий пост. В 1827 году Лобачевский стал ректором университета. Со свойственной ему энергией он приступил к реорганизации штата, либерализовав обучение и создав новую инфраструктуру. Кроме этого он основал обсерваторию. Университет был его жизнью. В 1830 году, когда в Казань пришла холера, Лобачевский разрешил всем студентам, сотрудникам и их семьям укрыться в стенах университета. Поскольку там действовали строгие санитарные правила, из 660 человек умерло только 16. В 1846 году, несмотря на его неутомимый труд на благо Казанского университета, правительство, не объясняя причин, уволило Лобачевского с поста ректора и профессора. Его коллеги и друзья умоляли власти сменить гнев на милость, но все было напрасно. У Лобачевского сильно упало зрение, но, несмотря на это, ученый продолжал свои математические исследования. Последнюю публикацию Лобачевскому пришлось надиктовывать, поскольку к тому времени он окончательно ослеп.

В 1826 году Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико‑математического отделения» сочинение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке), в котором высказал некоторые свои геометрические идеи. Издание не состоялось. Потребовалось три года, чтобы «Казанский вестник» опубликовал работу Лобачевского «О началах геометрии». Но в любом случае 1826 год – официальная дата рождения неевклидовой геометрии в том виде, в каком ее сформулировал Лобачевский. В своей работе он утверждал, что пятый постулат не может быть доказан, и выстроил новую геометрию, заменив этот постулат другим. Он сумел оценить смутные догадки Саккери и Ламберта, выстроив геометрию, которая была в каждой своей части такой же прочной и логичной, как геометрия Евклида. Даже самому Лобачевскому казалось, что некоторые из выведенных им теорем противоречат здравому смыслу. Он назвал свое открытие «воображаемой геометрией». Ученый не тешил себя иллюзиями о важности собственной работы. В 1835–1838 годах его «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» появились на русском языке, а в 1840 году «Геометрические исследования по теории параллельных линий» вышли на немецком. Именно на основании этой книги Гаусс рекомендовал Лобачевского Научному обществу Геттингена, в которое тот был избран в 1842 году. Однако Гаусс отказался похвалить его работу в печати, тем самым замедлив понимание этих революционных идей математическим сообществом. Этот факт больше всего разочаровал Лобачевского, даже больше, чем его изгнание из университета и слепота. В 1855 году вышла последняя книга Лобачевского, «Пангеометрия», она была издана одновременно на французском и русском языках. На следующий год Лобачевский – «Коперник геометрии» – умер. Физическая интерпретация неевклидовой геометрии была выполнена итальянским математиком Эудженио Бельтрами (1835–1900), который показал, что геометрии Лобачевского и более ранней работе Ламберта соответствует поверхность псевдосферы.

Новый постулат Лобачевского можно объяснить следующим образом. Вообразите себе бесконечную прямую и выберите точку, не лежащую на этой линии. Согласно постулату Евклида, через эту точку можно провести одну и только одну линию, параллельную первой. Лобачевский заявил, что через эту точку можно провести больше одной линии и все эти линии «параллельны» исходной линии в том смысле, что они не пересекаются ни в одной точке. Выражение этого в математических терминах приводит к странной, но совершенно непротиворечивой геометрии. Фактически существует бесконечное число таких геометрий, каждая из которых соответствует своему «углу параллелизма».

Нежелание Гаусса позитивно оценить работу Лобачевского отчасти вызвано его стремлением продемонстрировать беспристрастность своему другу Фаркашу Бойаи, сын которого, Янош Бойаи (1802–1860) одновременно с Лобачевским работал в области неевклидовой геометрии. Фаркаш был провинциальным преподавателем математики в венгерской глубинке (теперь эта территория принадлежит Румынии), который потратил много сил и времени на то, чтобы доказать пятый постулат. Когда этой задачей занялся его сын, он отчаялся и написал ему в письме: «Ради Бога, я умоляю тебя, брось все это. Бойся этого не меньше, чем чувственных страстей, потому что это также может поглотить все твое время и лишить здоровья, спокойствия духа и счастья в жизни». Неустрашимый или, возможно, даже подталкиваемый неким страхом, Янош продолжал свои исследования и в 1829 году фактически пришел к тем же заключениям, что и Лобачевский. По его собственным словам, Бойаи разработал «абсолютную науку о пространстве» на базе тех же принципов, что и Лобачевский. Его отец издал статью сына как приложение к собственному трактату. Эта работа датируется 1829 годом, то есть тем же годом, что и труд Лобачевского, но она не была издана вплоть до 1832 года. Спрятанная в конце непопулярной книги, она, возможно, была бы полностью потеряна для истории, если бы не тот факт, что Фаркаш был другом Гаусса. Он послал ученому книгу. Даже сухой ответ Гаусса мог бы выразить одобрение, но Гаусс отказался от публичной поддержки этого труда, заявив, что похвалить работу означало бы просто похвалить себя, поскольку он в последнее время придерживался тех же взглядов. Янош был раздавлен ответом, он опасался, что у него отнимут его открытия. В дальнейшем он отказался от каких‑либо публикаций.

Нежелание Гаусса признать работы Лобачевского и Бойаи выглядит грубостью. Да, Гаусс, конечно, думал об этих проблемах, но нет никаких свидетельств, что он изучал различные результаты неевклидовой геометрии. Рука помощи, протянутая признанным мастером, могла бы спасти карьеру Бойаи и здоровье Лобачевского. Гаусс подошел к вопросу с другой стороны. Рассматривая линии на плоскости, он вывел теорему о том, что «кривизна поверхности связана с используемым методом измерения» (то есть с математическим выражением, используемым для вычисления расстояния между двумя точками). Гаусс показал, что искривление не зависит от места нахождения поверхности. Кривизна была внутренней особенностью, связанной с суммой углов треугольника, расположенного на такой поверхности. В этом контексте близость к неевклидовой геометрии очевидна.

Когда пал пятый постулат, этот столп евклидовой геометрии, просуществовавший более двух тысяч лет, то рухнула и сама конструкция.

Как ни парадоксально, открытие геометрии, в которой постулат Евклида о параллельности прямых не верен, тем не менее реабилитировало геометрию Евклида, хотя и весьма изощренным способом: раз для разрушения этого столпа потребовались такие усилия, значит, он все‑таки необходим! Евклидова геометрия оставалась логически последовательной, но теперь это была просто одна из многих возможных геометрий, и, следовательно, уже никто не был уверен, что это геометрия окружающего нас пространства. Развивающееся понимание внутренних свойств пространства приобрело значение как метод исследования реальной геометрии пространства, поскольку не существовало способа его познания извне! Существовала опасность, что геометрия может стать занятным экспонатом экзотического собрания редкостей, но был один математик, который дал совершенно новое определение геометрии.

Бернхард Риман (1826–1866), сын пастора, был воспитан в скромности, но получил хорошее образование в Берлине и Геттингене, где в 1854 году стал приват‑доцентом, а затем и доцентом. Чтобы занять этот пост, Риман должен был по уставу выступить перед профессорским составом с лекцией. Это был самый увлекательный доклад в истории математики. Лекция, носившая название «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», самым подробным образом описывала геометрию как предмет. Это было описание долгого пути от линейки и циркуля Евклида. Риман определил геометрию как исследование множеств – ограниченных или неограниченных пространств любого порядка (возможно бесконечное число порядков), вместе с системой координат и способом измерения кратчайшего расстояния между двумя точками. В евклидовой трехмерной геометрии способ измерения определяется как ds² = dx² + dy² + dz² – дифференциал, эквивалентный теореме Пифагора. Эти множества – само пространство без внешней системы координат. Искривление пространства было, таким образом, полностью определено в терминах внутренних свойств множеств в любом пространстве. Для Римана геометрия была, по существу, наукой о наборах упорядоченных n‑кортежей, объединенных согласно определенным правилам; его идеи о пространствах были настолько общими, что казались практически нереальными. Любые отношения между переменными можно было счесть «пространством». Если для системы не существует метода определения расстояния между двумя точками пространства или двумя элементами множества, тогда применяется ветвь математики, известная как топология. Она описывает, как различные области пространства связаны между собой.

Риман изобрел инструменты, которые теперь активно используются всеми математиками. Нет ничего удивительного в том, что в этом случае обычно скупой на похвалу Гаусс выразил энтузиазм по отношению к работе другого ученого. В рамках расширенного представления о геометрии Римана мы видим, что евклидова геометрия – это пространство, определенное постоянной кривизны, равной нулю. Геометрия Лобачевского имеет кривизну ‑1, а сферическая геометрия – кривизну +1. Хотя Римана можно было бы считать новым Евклидом, его имя связано с очень своеобразной геометрией, которая преобразует сферу в плоскость.

Позднее Риман внес свой вклад в теоретическую физику, и его общее исследование измерения расстояний между точками в искривленных пространствах в конечном счете проложило путь к общей теории относительности. Пространство, в котором мы живем, больше не было евклидовым, теперь у нас появились математические инструменты, позволявшие исследовать истинную геометрию Вселенной.

В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными.

Николай Иванович Лобачевский.

Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840)[20]