Диалекты алгебры

 

В главе 11 мы видели, как алгебра освобождалась от кандалов геометрической размерности и как, начиная с Декарта, символы алгебры – те самые х и у – могли обозначать любое число и сочетаться любым способом, предусмотренным правилами арифметики. В этой главе мы познакомимся с развитием алгебры в англоязычных странах, а затем понаблюдаем за развитием этой дисциплине в других государствах Европы. Быстрое увеличение количества диалектов алгебры привело к фундаментальной переоценке понимания самой математики.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ X, Y И Z

х + у=у + х сложение коммутативно – сумма двух чисел не зависит от порядка расположения слагаемых

X х у=у х х умножение коммутативно

х + 0 = х сложение имеет нейтральный элемент, ноль, который оставляет любое число неизменным

х х 1 = х умножение имеет нейтральный элемент, единицу, которая оставляет любое число неизменным

X х(у + z) = х х у+х х z умножение ассоциативно по отношению к сложению.

Британский математический анализ отставал от европейского. Здесь во многом виновата ньютоновская нотация флюксий и ее неполноценность по сравнению с символикой, предложенной Лейбницем, – dy/dx. После того как британцы, пусть поначалу и неохотно, приняли европейскую систему обозначений, они добились нескольких довольно заметных достижений. В 1817 году, когда английский математик Джордж Пикок (1791–1858) был назначен экзаменатором по математике в Кембриджском университете, символическая нотация Лейбница наконец заменила флюксии Ньютона. По словам Чарльза Бэббиджа (1791–1871), целью Аналитического общества, основанного в 1813 году, была разработка «принципов чистого „де‑изма“ в противовес „староточкизму“ университета»[21]. Другая цель общества заключалась в том, чтобы «сделать мир более мудрым, чем он был, когда мы в него пришли». Пикок в своем «Трактате об алгебре» (1830) назвал эту дисциплину «иллюстративной наукой». Первым делом арифметическая алгебра была отделена от символической. Элементами арифметической алгебры были числа и арифметические операции, тогда как символическая алгебра – это «наука, расценивающая комбинации знаков и символов согласно определенным законам, которые в целом независимы от определенных значений этих символов». Это откровенно неопределенное утверждение открыло дверь к общим исследованиям в области алгебры.

Никому не известный преподаватель начальной школы из Линкольна Джордж Буль (1815–1864) написал, как теперь считают, первую работу по математической логике. Буль подружился с шотландским математиком Огастесом де Морганом (1806–1871), которого поддерживал в споре о логике с шотландским философом сэром Уильямом Гамильтоном (1788–1856). Последний, кстати, не был родственником ирландского математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Об этом споре теперь все забыли, но именно он вдохновил Буля, математика‑самоучку и лингвиста, издать в 1847 году краткую работу, озаглавленную «Математический анализ логики». В том же году вышла публикация де Моргана «Формальная логика». Два года спустя, скорее всего при поддержке де Моргана, Буль был назначен профессором математики в недавно открывшемся Королевском Колледже в Корке. Буль был твердо уверен, что логика должна считаться частью математики, а не метафизики и что правила логики должны выводиться не путем рассуждений, а посредством построения из простых формальных элементов. Только после создания логической структуры можно давать лингвистическую интерпретацию. Он отвергал представление, согласно которому математика считалась наукой о числах и размерах (представление, восходящее к древним грекам), и считал, что любая последовательная символическая логическая система – часть математики. Впервые мы видим ясно сформулированное представление, согласно которому математика – это наука, где главное не столько содержание, сколько структура. В работе Буля «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854) эти идеи подробно разъяснялись, устанавливалась формальная логика и новая алгебра, которую теперь называют алгебраической логикой. Булева алгебра – по существу, алгебра классов объектов, и переменные вроде х теперь обозначали не числа, а скорее ментальный акт выбора класса из заданного пространства. Например, х может быть классом «мужчины» из пространства «люди». Символы подчиняются тем же правилам, что и в арифметической алгебре, за исключением дополнительной аксиомы, что x² = х. В арифметике это уравнение верно только в случае, когда х равен 1 или 0, но в булевой алгебре это верно всегда – выбор класса «мужчин» дважды даст то же самое, что и однократный выбор. Кроме того, Буль придал символам 1 и 0 конкретные значения: 1 – это «всё», а 0 – «ничто». Эти идеи лежат в основе всемирной компьютерной революции, и мы снова вернемся к ним и подробно их рассмотрим в Главе 23.

Огастес де Морган был верным сторонником новой алгебры. Он родился в Индии, посещал Колледж Троицы в Кембридже, но не стал «оксфордианцем» или «кембриджианцем», потому как, хотя и принадлежал к англиканской церкви, де Морган отказался пройти теологический экзамен, необходимый для получения диплома. Вместо этого в возрасте двадцати двух лет он был назначен профессором недавно основанного светского Лондонского университета, позднее получившего название Университетского колледжа в Лондоне. Он значительно развил идеи Пикока, уже в 1830 году заявив, что «за одним‑единственным исключением, в этой главе ни одно из понятий или знаков арифметики или алгебры не имеет ни малейшего значения. Предмет обсуждения этой главы – символы и законы их сочетания, позволяющие создать символическую алгебру, которая после этого может стать грамматикой для ста различных алгебр». Единственным исключением, по де Моргану, был символ равенства, по этой причине в выражении х=у х и у должны иметь одно и то же значение. Это странно звучащее высказывание взято из книги «Тригонометрия и двойная алгебра» (1830): «двойная алгебра» относится к сдвоенной природе комплексных чисел в противоположность «одиночной алгебре» действительных чисел. Но де Морган, казалось, не сумел до конца понять важность собственного заявления: увидев подобие между одинарной и двойной алгебрами, он полагал, что тройной или четверной алгебры быть не может. В этом он сильно ошибался.

Несмотря на то что оба родителя Уильяма Роуэна Гамильтона умерли, когда он был еще ребенком, его дарование стало заметным очень рано. Талантливый лингвист, он уже в пятилетием возрасте читал тексты на греческом, иврите и латыни. Он проступил в Дублинский Тринити Колледж и в двадцать два года, еще не получив диплома о завершении образования, был назначен Королевским астрономом Ирландии, директором обсерватории Дансинка и преподавателем астрономии. Одной из его любимых тем было рассуждение о том, что пространство и время неразрывно связаны, причем геометрия – это наука о пространстве, а алгебра – наука о времени. В 1833 году он представил в ирландскую Королевскую академию характерное представление сложных чисел а + ib как упорядоченной пары (а, b) со ставшими теперь стандартными геометрическими интерпретациями сложения и умножения:

(а, b) + (с, d) = (а + с, b + d)

(а, b) х (с, d) = (ас ‑ bd, ad + bc)

Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто – он просто определил z = а + ib + jc с длиной, равной √ (а² + b² + с²). Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a + ib +jc + kd c i² =j² = k ² = ijk = ‑1. Это означало, что ij = k, но ji = ‑k, так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах – так он назвал свои четверки.

Важность этого открытия – не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы – ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.

Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух‑ и трехмерная геометрия.

 

Теорема 1

Все операции с языком как инструментом рассуждения могут быть выполнены с помощью системы знаков, состоящих из следующих элементов:

1. буквенные символы, такие, как х, у и т. д., которые отображают объекты наших концепций.

2. Знаки операций, такие, как +, ‑, х, описывают операции, являющиеся предметом наших размышлений, при помощи которых концепции и объекты комбинируются или решаются, чтобы сформировать новые концепции, вовлекающие те же самые элементы.

3. Знак равенства, =.

И эти символы логики используются, подчиняясь определенным законам, отчасти согласующимся с законами, соответствующими тем, что приняты в алгебре, а частично отличающимся от них.

Джордж Буль.

Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей (1854)

 

Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких – от двух до шести – элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций – ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из‑за того что профессор Гарварда в 1870‑е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления – в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.

Здесь история разветвляется на множество переплетающихся путей. Последователи Буля применили математику к логике, создав алгебраическую логику; итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932), а позднее английский математик и философ Бертран Рассел (1872–1970) стремились вывести математику из логики – эту затею можно определить как логицизм. Другие ученые, тревожась из‑за появления новых математических структур, начали искать твердый фундамент математики – то, на чем сможет надежно стоять все здание этой науки. О практических результатах этого поиска можно узнать из главы 23.

 

Если человек не знает, как рассуждать логично, – а я должен отметить, что большинство довольно хороших, да и выдающихся математиков подпадают под эту категорию, – но просто пользуется счетом на пальцах, слепо делая выводы по аналогии с другими выводами, которые оказались правильными, он, конечно, будет постоянно делать ошибки в отношении нон‑финитных чисел. Истина заключается в том, что такие люди вообще не рассуждают. Однако для того меньшинства, что способно рассуждать, рассуждение о нон‑финитных числах оказывается проще, чем рассуждение о числах финитных, поскольку [в первом случае] не требуется сложный силлогизм транспонируемого количества. Например, то, что целое больше своих частей, не является аксиомой, в отличие от мнения Евклида, в высшей степени плохого логика. Это теорема, легко доказуемая с помощью силлогизма транспонируемого количества, но не иначе. Она верна в отношении конечных множеств, но ошибочна в отношении бесконечных. Так, четные числа являются частью целых чисел. Тем не менее четных чисел не меньше, чем всех целых чисел; это несложная теорема, поскольку если любое число в целом ряде целых чисел удвоится, результатом будет ряд четных чисел:

1,2, 3, 4, 5, 6 и т. д.

2, 4, 6, 8,10,12 и т. д.

Так что для каждого числа существует отдельное четное число. На самом деле существует столько же отдельных удвоенных чисел, сколько существует вообще отдельных чисел. Но все удвоенные числа являются четными…

Чарльз Сандерс Пирс[22].

Закон разума (1892)[23]