Хаос и сложность

С начала девятнадцатого века математика рассматривалась как аналитический и логический предмет; к концу столетия она произвела на свет целый зверинец математических монстров, вроде непрерывных функций, не имеющих касательных. В динамике задача трех тел – тестовый пример стабильности Солнечной системы – все еще не имела никаких устойчивых решений, и Анри Пуанкаре, анализируя частный случай этой задачи, создал очень сложную, запутанную структуру. Изменение точки зрения с аналитической на геометрическую показало математикам, что то, что казалось ужасающим беспорядком, имело много подобий с тем видимым беспорядком, коим является реальным мир. Математические монстры, оказалось, охраняли пещеру Аладдина с новыми и замечательными математическими объектами. Вход в этот мир осуществлялся с помощью компьютеров, которые стали лабораториями новой математики, базирующейся на алгоритмах. В свою очередь, сделанные при этом открытия могли поддержать аналитическое представление и приводили к пониманию, что «простые» системы, которые использовались математиками, – всего лишь верхушка колоссального айсберга.

Имя, неразрывно связанное с фрактальной геометрией, – Бенуа Мандельброт. Ныне он профессор Йельского университета и почетный профессор IBM[26]. Его интерес к тому, что он позже назвал фракталами, возник в 1951 году. В 1977 году Мандельброт издал книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», а в 1982 году вышло ее пересмотренное и расширенное издание – «Фрактальная геометрия природы». О фракталах было написано очень много, широко известны создаваемые ими узоры в стиле рококо. В динамике была хорошо известна идея «аттракторов», например, орбита планеты – это эллиптический аттрактор. В ней существуют некоторые возмущения, но они удерживаются в определенных пределах. При решении полиномиалов числовыми методами, если итерации сходятся к определенному решению, то это решение – аттрактор. Иногда корень, который, как известно, может быть выражен графически, не может быть получен методом итерации – такой корень называют «отражателем». Но в хаотической системе вроде турбулентного воздушного потока аттрактор представляет собой фрактал, и он известен как странный аттрактор.

Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых ситуациях. Логистическое разностное уравнение z = λz (1 – z) – простое квадратное уравнение со всего одним изменяющимся коэффициентом, обозначенным λ. Уравнение имеет два корня, как и предполагается для квадратного уравнения, но если мы используем итерационную процедуру, то обнаружим некоторые удивительные свойства. Для большинства значений λ итерация «взрывается» и отклоняется к бесконечности. Но если мы начнем с λ = 1 и начнем медленно увеличивать значение этого коэффициента, мы увидим, что итерация не отклоняется и при этом не сходится к единственному значению: вместо этого она колеблется между рядом значений. В некоторый момент система ведет себя хаотически, выполняя дикие скачки между множеством чисел. Если мы теперь добавим комплексные числа, сегмент вещественной оси разветвляется, демонстрируя фрактальную структуру. С помощью простого преобразования разностное уравнение принимает вид другого квадратного уравнения z = z²‑ т. Итерационный процесс весьма прост, но очень утомителен, если его выполнять вручную. Мандельброт первым с помощью компьютера распечатал то, что теперь называют множеством Мандельброта для случая, где z – комплексное число. Множество Мандельброта – по сути, ряд чисел, и его исходная одноцветная распечатка представляла собой черно‑белый текст, состоящий из значений m , для которых итерация не сходилась к бесконечности – то есть тех, для которых итерации оставались ограниченными. Лишь после того, как компьютеры обзавелись более мощными принтерами и увеличилась сложность компьютерной графики, стала видна невероятная красота этой структуры, с ее зубчатыми завитками. Эта простая система выявила многие характеристики, которые Мандельброт стремился свести воедино. С помощью компьютера стало возможно увидеть самоподобие, столь характерное для фракталов, когда путем изменения масштаба изображения выполняется погружение внутрь множества, где обнаруживаются мини‑множества, подобные большему целому. Возвращаясь к разностному уравнению, для комплексных значений λ итерации создают то, что Мандельброт любил называть «драконами». Страшные монстры математического анализа переродились в прекрасных существ, которые с радостью были приняты в дружную семью математики.

Слово «хаос» обычно истолковывается неверно, поскольку в повседневном языке оно часто служит синонимом «беспорядка». Но теория хаоса совершенно детерминистская – множество Мандельброта всегда будет выглядеть одинаково, и любое начальное значение z всегда будет приводить к одной и той же повторяющейся последовательности. Различие между хаотической и случайной системой заключается в том, что случайная система вообще не имеет никакой структуры – это математический эквивалент белого шума, – тогда как хаос систему имеет, хотя очень сложную и трудноуловимую. Однако, хотя порождение фракталов – детерминистский процесс, он непредсказуем: нет никакого алгоритма для того, чтобы заранее решить, будет ли точка относиться ко множеству Мандельброта или нет. Единственный способ сделать это – осуществить итерацию. Цветные версии фракталов – наглядная демонстрация того, сколько шагов итерации будет достаточно, чтобы точка устремилась к очень большой величине, а сложные узоры с расположенными рядом точками разного цвета иллюстрируют, что такие точки в конечном счете будут стремиться разойтись. Известно, что точка на экране компьютера – это пиксель конечного размера, но по мере увеличения разрешения экрана увеличивается и сложность рисунка. Именно поэтому хаотические системы настолько трудно предсказать. Хотя итерации детерминистичны, они также очень чувствительны к начальным значениям. Когда они используются для моделирования систем реального мира, ошибки начальных измерений будут только возрастать. То, что многие природные динамические системы ведут себя хаотично, остается одной из тайн нашей Вселенной.

Может показаться, что теория хаоса рисует довольно гнетущую картину Вселенной как о нестабильном пространстве, которому суждено рассеяться под неустанным гнетом второго закона термодинамики. И все же Вселенная полна четких структур, от регулярных ударов пульсаров до изящных спиралей в молекуле ДНК. Постеленное наступление энтропии, похоже, обращено вспять, по крайней мере, локально – джинн загнан в бутылку. Исследование, как такие структуры появляются, – область математики, называемая теорией сложности вычислений. В исследование сложных систем теперь включено много разделов математики, включая теорию хаоса, теорию искусственного интеллекта, теорию создания систем и теорию автоматов.

Интерес к сложным системам зародился в самых разных областях науки, и ключевой фигурой в работе по их сопряжению был Джордж А. Коуэн. В 1942 году Коуэн, специалист в области химии радиоактивных элементов, работал в Чикагском университете, где итальянский физик Энрико Ферми строил первый атомный реактор – союзники боялись, что немцы уже работают над созданием атомной бомбы. Ранние эксперименты Ферми и его теоретические исследования по вопросу осуществимости цепной реакции были направлены на достижение достаточной энергии для создания атомной бомбы. В то время Коуэн работал в Манхэттенском проекте и после войны стал руководителем исследовательской группы в лаборатории Лос‑Аламоса. Именно группа Коуэна проанализировала последствия первого советского атомного взрыва. Он почти тридцать лет служил в Группе Бете – тайной группе ученых, которой был поручен контроль за ядерными исследованиями России. В это время он стал все больше интересоваться проблемами науки и государственной политики. Он считал, что традиционные образовательные методы не дают ученым возможности видеть ни более широкие связи между тем, что казалось разрозненными дисциплинами, ни связь между наукой и более политическими проблемами экономики, экологии и этики. В 1982 году Коуэн ушел из Лос‑Аламоса и вошел в состав Совета по науке Белого дома. В то же самое время он зондировал отношение коллег к его мечте – создать центр, посвященный целостному исследованию всех количественных наук.

Рост мощности вычислительной техники позволил ученым исследовать все более сложные уравнения, не только уравнения со многими параметрами, но и так называемые нелинейные уравнения. До этого момента математика по большей части имела дело с линейными уравнениями. Этот подход, хотя и был в свое время очень успешным, теперь, когда речь зашла о точном моделировании сложных систем, начинал казаться ограничением. Но компьютерам было не важно, что решать – линейные или нелинейные уравнения, – они просто производили в большом количестве и с невероятной скоростью как числовые решения, так и решения в графическом виде. Ученые и математики теперь получили новую цифровую лабораторию. Именно нелинейные уравнения позволяют нам рассмотреть взаимосвязи между переменными, которые мы раньше считали совершенно независимыми друг от друга. Началось плодотворное сотрудничество между физиками и биологами, и в Лос‑Аламосе даже открылся собственный Центр нелинейных систем. Но Лос‑Аламос не должен был отклоняться от своей основной области – ядерной физики, так что Коуэну надо было приискать себе другое место, где он мог бы, опираясь на успех, достигнутый в Лос‑Аламосе, распространить исследование на другие области.

Коллеги Коуэна с энтузиазмом отнеслись к основанию нового института согласно выдвинутым предложениям, но именно предполагаемая широта охвата мешала точно определить, чем же фактически должен заниматься этот институт. Поворотный момент наступил тогда, когда к команде ученых присоединился Мюррей Джелл‑Манн. Ведущий физик‑теоретик, именно Джелл‑Манн приспособил слово «кварк», придуманное Джеймсом Джойсом в «Поминках по Финнегану», для обозначения нового типа субатомных частиц. Он был одним из ведущих пропагандистов теории Великого Объединения, которая сводила воедино все фундаментальные силы природы в единственную, когерентную структуру. Теперь он хотел пойти еще дальше, создав Великую Единую Теорию Всего – от древних цивилизаций до сознания. В 1984 году институт был зарегистрирован как Институт Рио‑Гранде, поскольку более предпочтительное название – Институт Санта‑Фе – тогда использовалось для терапевтических исследований. К концу того же года в институте были проведены первые симпозиумы в рамках Школы всеамериканских исследований в Санта‑Фе. Финансирование шло от самых разных организаций, но, поскольку сам Коуэн сумел сколотить небольшое состояние в 1960‑х, основав Национальный банк Лос‑Аламоса, недостаток средств не стал для него непреодолимым препятствием. При первой же встрече стало совершенно ясно, что многим из величайших умов в соответствующих областях науки действительно было что сказать друг другу. Выяснилось, что многие из них занимаются одними и теми же проблемами. По существу, они говорили о системах на стадии становления: это было понимание, что целое больше, чем сумма составляющих его частей, что от взаимодействия многих агентов – не важно, частиц, людей, молекул или нейронов, – появляется сложность, которая не очевидна у отдельных составляющих этих систем. Похоже, научный редукционизм работал лучше при переходе от сложных систем к более простым единицам, однако при построении здания сложных структур из простых единиц наука была менее успешна. Всплеск интереса, возникший в самом начале, не привел сразу же к полному финансированию работы института, но новый центр в конечном счете смог получить название Института Санта‑Фе. Вполне естественно, что первый крупный спонсор пришел из мира финансов.

Банки и инвестиционные компании все сильнее интересовались выяснением способности традиционной экономики сделать точные предсказания о развитии финансовой системы. В 1987 году недавно назначенный генеральный директор «Ситикорп» воспользовался возможностью профинансировать симпозиум экономистов и физиков, проходивший под эгидой Института. Определенные физические системы имели те же особенности, что и социальные системы: они обе описывались похожими математическими выражениями, и эта математика была математикой сложных систем. Фактически они известны как сложные адаптивные системы, в которых можно проследить множество отрицательных и положительных механизмов обратной связи. К ним относятся иммунная система, развитие эмбриона, экология, развитие экономических рынков и политических партий. Сложность – результат сочетания соперничества и сотрудничества, поскольку они находятся в состоянии непрерывного динамического равновесия: по сути, это ходьба по канату, натянутому между строгим порядком и хаосом. И что самое удивительное – такие системы действуют по довольно простым правилам, даже самые сложные и запутанные узоры так или иначе рождаются из взаимодействия простых стандартных блоков без предварительного предопределенного шаблона. Сложность – это феномен становления. И Институт Санта‑Фе теперь занимал видное положение в научном мире.

Один из примеров действия сил, описанных выше, – автомат. Один «мир» автоматов был известен как «игра жизни». Он был придуман в 1970 году Джоном Конвеем, математиком из Кембриджа. Это была не столько игра, сколько миниатюрная вселенная, в которой двумерная сетка была населена эволюционирующими клетками. Как только население заполнило этот мир, каждая клетка жила и умирала в зависимости от числа соседних живых клеток – если их было слишком много, она умирала от перенаселения, если их было слишком мало – клетка умирала от одиночества. Вселенная начала развиваться, и на ней возникло множество структур, вроде мерцающих алмазов, узоров в виде бабочки и «планеров», которые, казалось, летели над поверхностью. Джон фон Нейман начал исследовать клеточные автоматы еще в 1940‑е годы, но его незаконченная работа была отредактирована и издана только в 1966 году, почти через десять лет после его смерти. Он заявил, что существует по крайней мере одна клеточная форма автомата, которая может воспроизвести себя, посему самовоспроизводство не может считаться уникальным свойством живых организмов. Он также показал, что программное обеспечение не зависит от аппаратных средств, будь это компьютер или мозг. Открытие структуры ДНК, сделанное Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном в 1953 году, подтвердило анализ фон Неймана математических требований к системам саморепродуцирования. В 1984 году Стивен Вольфрам показал, что автоматы имеют глубокие подобия с нелинейной динамикой. Он разделил клеточные автоматы на четыре «класса всеобщности». Классы I и II производят статические решения за короткое число циклов. В первый класс входят твердые, неподвижные структуры, во второй – периодические и устойчивые. В класс III входили хаотические системы, не выказывающие никакой видимой структуры, в то время как в класс IV входили «игра жизни» и другие системы, демонстрирующие порядок на стадии становления. Кристофер Лэнгтон уточнил эту классификацию и обнаружил, что система, проходящая фазу изменения, например лед, превращающийся в воду, будет развиваться, проходя от порядка через сложность к хаосу. Клеточные автоматы были объявлены новой формой жизни. При подходящих условиях они могли воспроизводиться и даже действовать как компьютер, не подражая аппаратным средствам, управляющим программой, но действуя по принципу, который фон Нейман и Тьюринг назвали универсальным компьютером. «Игра жизни» продемонстрировала, что поведение, подобное тому, что мы наблюдаем у живых существ, возникает в состоянии между порядком и хаосом, в состоянии сложности в рамках идеально настроенной вселенной.

В 1990 году Институт Санта‑Фе стал всемирным центром исследований сложных систем. Возможно, сейчас еще слишком рано оценивать важность его работы, но ясно одно – изменилась сама природа математики, что привело к фундаментальным изменениям в философии жизни и представлении о структуре Вселенной. Вселенная, подобная часовому механизму, какой представлял ее Ньютон, умерла. Ее заменила эволюционная модель взаимосвязанной сложности. Математика остается столь же непредсказуемой, как и сама жизнь.

Почему геометрия часто описывается как «холодная» и «сухая»? Одна из причин этого лежит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, кора не гладкая, и даже свет двигается не по идеально прямой линии. В более широком смысле я утверждаю, что многие природные формы настолько нерегулярны и фрагментированы, что, по сравнению с Евклидом… природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Число природных форм различных размеров практически бесконечно – и так во всем.

Существование этих форм предполагает необходимость изучать формы, которые Евклид вообще отбрасывает как «бесформенные», – морфологию «аморфных тел». Математики же презирали эту необходимость, стремясь убежать от природы. Они изобретали теории, совершенно не связанные с тем, что мы можем видеть или чувствовать.

Я выдумал термин «фрактал», создав его из латинского прилагательного «fractus». Соответствующий латинский глагол «frangere» означает «разбивать», то есть создавать несимметричные фрагменты. Поэтому – и это очень подходит для наших нужд! – в дополнение к «фрагментированности» (как во «фракции» или «рефракции»), «fractus» должен также означать «нерегулярный». Оба значения сохраняются в термине «фрагмент».

Я совершенно убежден, что ученые будут удивлены и восхищены, узнав, что многие формы, которые они должны были бы называть негладкими, шероховатыми, змеевидными, ни на что не похожими, прыщавыми, рябыми и неровными, ветвистыми, похожими на клубок водорослей или клуб дыма, странными, запутанными, извилистыми, изогнутыми, морщинистыми и т. п., теперь можно описывать строгим количественным способом.

Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы (1982)