Краткий обзор развития тригонометрии

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат; отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции, Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла ее у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2а.

Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делилокружностьна360 градусов, а диаметр — на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям (60Ч). Каждую, из частей он делил на 60', а каждую минуту на 60", секунду — на 60 терций (60'") и т. д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса (60^Ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84^Ч5110". Хорду в 120° — сторону вписанного равностороннего треугольника — он выражал числом 103^Ч55'23"и т.д.

Применив известные из геометрии теоремы, ученый нашел зависимости, которые равнозначны следующим современным формулам при условии:

Воспользовавшись этими соотношениями и выраженными в частях радиуса значениями хорд 60°' и 72°, он вычислил хорду, стягивающую дугу в 6°, затем 3°; 1,5° и, наконец, —0,75°. (Значение хорды в Г он выражал приближенно.)

Сделанные расчеты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180°, вычисленные с точностью до 1" радиуса.

Эта таблица, сохранившаяся до нашего времени, равнозначна таблице синусов от 0 до 90° с шагом 0, 25° с пятью верными десятичными знаками.

Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа», — угол и «мехрио» — измеряю).

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX—XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш или (Ахмед ибн Абдаллах ал-Марвази) вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели труды ал-Баттани (ок. 850—929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940—998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15', значения в которой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (по другой транскрипции Бируни (973—1048)) обобщил и при этом уточнил результаты, которых достигли его предшественники в области тригонометрии. В труде «Канон Мас'уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Птолемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объяснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единичным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201—1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометрические сведения как самостоятельный отдел математики, а не придаток к астрономии. Его трактат впоследствии оказал большое влияние на работы Региомонтана (1436—1476).

В первой половине XV в. Джемшид ибн Масуд ал-Каши вычислил с большой точностью тригонометрические таблицы с шагом в. Г, которые на протяжении 250 лет оставались непревзойденными.

В Европе XII—XV вв., после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие тригонометрии продолжалось. При решении плоских треугольников широко применялась теорема синусов, вновь открытая жившим в Южной Франции Львом Герсонидом (1288—1344), тригонометрия которого была в 1342 г. переведена на латинский язык. Самым видным европейским представителем этой эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его обширные таблицы синусов через Г с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития, тригонометрии в XVI—XVII вв.

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление — аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII—XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642—1727) уже применял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и направленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуковых, световых и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов. Из физики известно, что уравнение гармонического колебания (например, колебания маятника, переменного электрического тока) имеет вид:

Графиками гармонических колебаний являются синусоиды, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

В первой половине XIX в. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

Расширение представлений о тригонометрических функциях привело к обоснованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции определяются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. Н.И.Лобачевским и другими учеными. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометрических функциях,— является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть — решение .треугольников — рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).