Теоремы сложения

Тригонометрические функции суммы и разности аргументов

При составлении тригонометрических таблиц важны формулы, которые позволяют находить тригонометрические функции суммы и разности аргументов (<х± Р), зная тригонометрические функции их. Первым дошедшим до нас трактатом, содержащим такие формулы (относящиеся, однако, к хордам), является «Альмагест» Птолемея. В этом труде геометрическим путем с помощью теоремы Птолемея выводятся формулы для хорды разности и суммы двух углов. Индийские ученые, в частности Бхаскара (XII в.), пользовались формулой, которую в_ современной символике можно записать так:

 

 

где R — радиус окружности. Этой и другими формулами сложения пользовались ученые средних веков стран Азии и Европы.

В «Аналитической тригонометрии», опубликованной в Брауншвецге (Германия) в 1770 г. Г. Клюгелем, одним из последователей Эйлера, впервые фигурирует термин «тригонометрические функции». Также впервые эти функции вводятся с самого начала не как линии в круге, а как отношение сторон треугольников. Аналитический подход позволил автору раскрыть много неясных мест в тригонометрии. Теорему о синусе суммы Клюгель выводил из формулы:

 

 

которую он предварительно получал, непосредственно рассматривая треугольник ABC. Название и содержание книги Клюгеля не случайны. Под влиянием трудов Эйлера начиная с 70-х годов XVIII в., аналитический метод стал постепенно господствующим в тригонометрических работах, несмотря на то что в школьных учебниках еще долго фигурировали геометрические выводы.

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы преобразования

При составлении таблиц хорд уже Птолемей пользовался соотношением, эквивалентным нашей формуле:

 

 

Этой формуле эквивалентно и следующее, содержащееся в индийских сиддхантах соотношение:

 

 

Индийцы знали также формулу для двойного синуса. Абу-л-Ва-фа установил формулу

 

Эта и другие формулы удвоения и деления на два для синуса и косинуса встречаются у многих ученых средних веков. Виет в «Исчислении треугольников» вычислял синусы и косинусы любых кратных дуг, используя прием, подобный умножению комплексных чисел.

Англичанин Джон Пелль, француз Г. Роберваль и другие математики XVII в. разными способами доказывали формулу.

 

 

Формула же

 

 

появилась впервые во «Введении в анализ» Л. Эйлера.

На протяжении веков практиковались как преобразования произведений в суммы, так и суммы в произведения в зависимости не только от целей преобразований, но и от применявшихся вычислительных средств. Действие умножения, особенно когда речь идет о многозначных числах, всегда считалось более сложным и более утомительным, чем действие сложения. Поэтому до изобретения логарифмов вычислители искали формулы преобразования произведения тригонометрических величин в сумму, чтобы заменить умножение сложением.

В XVI в. астрономы, в том числе и датский ученый Тихо Браге, один из предшественников Кеплера, применяли формулу

 

для замены произведения суммой. С этой же целью применяли и позже и применяют поныне формулы преобразования в случаях доказательства тригонометрических тождеств, вычислений с помощью натуральных таблиц и т. п.

Для обратной цели, т. е. для замены сложения умножением, формулы преобразования стали широко использоваться после того, как при вычислении стали применять таблицы логарифмов для приведения к логарифмическому виду. В этом, как и в других вопросах тригонометрии, много было сделано Эйлером.

Теорема тангенсов, формулы площади треугольника и некоторые другие формулы

Для нахождения площади S в треугольнике издавна применялась так называемая «формула Герона», установленная еще в III в. до н. э. великим Архимедом. Однако еще до этого Евклид в своем произведении, названном «Данные», изложил некоторые предположения, по существу имеющие тригонометрический характер. Одно из них эквивалентно известной формуле, выражающей площадь треугольника ABC:

 

 

Доказательство и современная формулировка соотношения были изложены в 20-х годах XVII в. в одном из произведений нидерландского ученого В. Снелля (Снеллиуса), того самого, который открыл закон преломления света.

При решении треугольников иногда применяется следующее соотношение, названное «теоремой тангенсов»:

 

Эта теорема была в основном установлена еще в 1583 г. Т. Финком и сформулирована устно в современных терминах Ф. Вистом в 1593 г. Ее без оснований иногда называют «формулой Непера».

Другие две формулы, применяемые в отдельных случаях к решению треугольников, а именно:

 

 

тоже неправильно называют «формулами Мольвейде». Дело в том, что первая из них была установлена И. Ньютоном еще в 1707 г. В 1746 г. Ф. фон-Оппель в своей книге «Анализ треугольников» вывел обе формулы (7) из геометрически доказанной «теоремы тангенсов». Что же касается К. Мольвейде, то он ограничился помещением этих двух формул в одной из своих работ, изданной в 1808 г.

При решении треугольников нередко применяется и так называемая «теорема проекций»:

 

 

В XVIII—XIX и начале XX в., когда применялись лишь логарифмические таблицы для решения треугольников, прибегали в основном к формулам (2) и (6), удобным для логарифмирования: с распространением таблиц натуральных значений тригонометрических функций довольно часто стали применять и формулы (1) и (8).