Теорема Пифагора

Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них – треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.

Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью‑Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник – источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, – в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.

Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии – создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба‑сутры» – дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» – ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность – приблизительного значения было недостаточно.

Самый ранний китайский математический текст – «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций – его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.

Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» – диалог между правителем Чжоу‑гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 – самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy² + ry² = сянь² (наше а² + b² = с²). Эта теорема была очень важна для китайской математики, поскольку легла в основу других методов, вроде извлечения квадратных корней и решения квадратных уравнений. Одна классическая задача, известная под названием «сломанный бамбук», позднее появилась в европейских книгах – возможно, из китайской математики она просочилась на Запад через Индию и арабский мир.

Наконец мы подходим к легенде, имя которой Пифагор (ок. 570 – ок. 490 до н. э.). Возможно, этот древний грек был почти современником Будды, Конфуция, Махавиры, Лао Цзы и Заратустры. Его склонность сочетать математику и мистику получила продолжение – она проявляется в течении, которое в III веке нашей эры назвали неоплатонизмом. О личности Пифагора доподлинно ничего не известно. Упоминания о нем часто тенденциозны, даже Аристотель, всего двести лет спустя, не смог нарисовать нам портрет реального человека. Значимость Пифагора и его последователей видна в их философии математики. Вера в примат математики как единственного истинного источника знаний пришла к нам через таких философов, как Платон (428/427–347 до н. э.), Плотин (204/205–270), Ямвлих (245/280–325/330) и Прокл Диадох (412–485). Эта вера – краеугольный камень неоплатонизма, легшего в основу западного мышления.

После обучения у египтян и халдеев Пифагор обосновался в Кротоне (на юге Италии) и основал там свою школу. Она больше походила на тайное общество или культ – знания передавались только избранной группе посвященных. Пифагорейцы жили коммуной, имевшей строгий кодекс поведения. В него входили вера в метемпсихоз, или переселение душ, и строгое вегетарианство. Поскольку Пифагор не оставил никаких письменных трудов, мы можем только предполагать, какие результаты следует приписывать самому ученому. Существуют нередкие ссылки на пифагорейцев – это позволяет предположить, что члены школы позже ослабили запрет своего учителя на обнародование знаний. Одним из ключевых моментов обучения в пифагорейской школе было утверждение, что числа – это всё сущее, ничто нельзя придумать или узнать без помощи чисел. Наиболее уважаемым числом у пифагорейцев было десять, или «тетрактис», поскольку это сумма 1 + 2 + 3 + 4. Это – число точек, необходимое для формулировки измерений вселенной: 1 – это точка безразмерности и творец других измерений; две точки можно соединить, чтобы создать линию, имеющую одно измерение. Три точки можно соединить, чтобы создать двухмерный треугольник. Четыре точки можно соединить, чтобы создать трехмерный четырехгранник. Тетрактис стал символом пифагорейцев, которые пошли дальше всех своих предшественников в области мистики и нумерологии – они выстроили вселенную, и в ней числа имели особое значение для философского откровения. Пифагорейцам также приписывают числовой анализ музыки, в нем тетрактис символизировал важнейшие связи между нотами, например соотношение 1:2 для октавы. Из нумерологического описания музыки возникла общая концепция гармонии сфер, которая оказала влияние на планетарную модель Кеплера, созданную больше двух тысяч лет спустя.

Но теперь Пифагор более всего известен благодаря теореме, которая сейчас носит его имя. Как мы уже видели, в древности эта теорема была известна практически повсеместно. Считается, что Пифагор узнал о ней у представителей цивилизации, которую мы в этой связи не упоминали, – у египтян. Греческая литература постоянно ссылается на Египет как на источник знаний в области геометрии, но, к сожалению, у нас пока нет египетских документов, иллюстрирующих теорему Пифагора. Аристотель приписывает пифагорейцам первое доказательство того факта, что √2– иррациональное число. Если взять прямоугольный треугольник с основанием и высотой 1, его гипотенуза будет равна √2. На языке греческой математики пифагорейцы стремились выразить отношение гипотенузы к единице длины, то есть √2:1, как мы сейчас написали бы, то есть отношение целых чисел. В отличие от, например, пифагоровского треугольника со сторонами 3, 4, 5, где любая пара сторон составляет соотношение целых чисел, в треугольнике с катетами по единице этого достигнуть оказалось невозможно. Имеется в виду, что гипотенуза и любой катет несоизмеримы, то есть при наличии линейки с любыми одинаковыми делениями эти две стороны треугольника не могут быть измерены точно – если в гипотенузе откладывается целое число делений, то невозможно отложить целое число делений в катете, и наоборот. Историк Диоген Лаэртский рассказывает, что это открытие было сделано Гиппасом из Метапонта (574–522 до н. э.), последователем Пифагора, и что другие члены пифагорейской школы вывезли его в море и выбросили за борт, поскольку он разрушил их веру в то, что все может быть выражено целыми числами и их отношениями.

Эту историю теперь считают сомнительной, но отношения между соизмеримыми и несоизмеримыми длинами, и соответственно между рациональными и иррациональными числами, были важным вопросом математики. Действительно, определение иррациональных чисел в терминах рациональных чисел не было достигнуто в течение более двух тысяч лет (см. Главу 19).

Самым поразительным в греческом доказательстве теоремы Пифагора был метод, который описан в конце Первой книги «Начал» Евклида. В этом самом общем геометрическом доказательстве используется последовательность построений, преобразующих два меньших квадрата в два прямоугольника, которые стыкуются, образуя больший квадрат. Оно представлено без каких‑либо ссылок на числовые значения, а характерную диаграмму «мельница», сопровождающую доказательство, позднее можно было найти в трудах по математике многих евразийских культур. Прокл оставил свой комментарий: «Хотя я восхищаюсь теми, кто первым понял истинность этой теоремы, я еще больше восхищаюсь автором „Начал“». Тем не менее этой теореме было дано имя Пифагора, ведь привлекательность пифагорейского идеала математической вселенной непреходяща.