Явные и неявные определения.

Определения делятся на явные и неявные. Явные определения - это такие, в которых даны определяемое и определяющее понятия и между ними устанавливается некоторое отношение равенства, эквивалентности. Самое распространённое явное определение - определение через ближайший род и видовое отличие. В нём устанавливаются существенные признаки определяемого понятия.

Например.1. «Барометр - прибор для измерения атмосферного давления».

2. «Гротеск - один из способов сатирического изображения жизни, отличающийся резким преувеличением, сочетанием реального и фантастического». Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом. В приведённых примерах родовыми являются понятия «прибор», «способ сатирического изображения жизни».

Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием. При определении понятия видовых признаков (отличий) может быть один или несколько.

К явным определениям понятий относятся и генетические определения. Они часто встречаются в школьных учебниках. Генетическим называется определение предмета путём указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой (это его видовое отличие). Генетическое определение является разновидностью определения через род и видовое отличие.

Приведём примеры генетических определений из области химии. 1. Кислотами называются сложные вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода, способных замещаться атомами металлов или обмениваться на них. 2. Коррозия металлов - это окислительно-восстановительный процесс, образующийся в результате окисления атомов металла и перехода их в ионы.

Неявные определения.В отличие от явных определений, имеющих структуру Dfd=Dfn, в неявных определениях просто на место определяющего Dfn подставляется контекст, или набор аксиом, или описание способа построения определяемого объекта.

Контекстуальное определение позволяет выяснить содержание незнакомого слова, выражающего понятие, через контекст, не прибегая к словарю для перевода, (если текст дан на иностранном языке), или к толковому словарю, (если текст дан на родном языке). Услышав в разговоре неизвестное ранее слово, мы не уточняем его определение, а стараемся сами установить его значение на основе всего сказанного. Значения неизвестных в уравнениях даны в неявном виде. Если дано уравнение первой степени, например 10 - у = 3, или дано квадратное уравнение, например х² - 7х +12=0, то, решая их и находя значение корней этих уравнений, мы даём явное определение для у (у=1) и для х (х₁ =4 и х₂ = 3). Контекстуальные определения всегда остаются в значительной мере неполными и неустойчивыми. Не ясно, насколько обширным должен быть контекст, познакомившись с которым, мы усвоим значение интересующего нас слова. Никак не определено также то, какие именно иные понятия могут или должны входить в этот контекст. Вполне может оказаться, что ключевых слов, особо важных для раскрытия содержания понятия, в избранном нами контексте как раз нет.

Индуктивные определения характеризуются тем, что определяемый термин используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла. Примером индуктивного определения является определение понятия «натуральное число» с использованием самого термина «натуральное число»:

1. 1 - натуральное число.

2. Если п - натуральное число, то п +1 - натуральное число.

3. Никаких натуральных чисел, кроме указанных в пунктах 1 и 2, нет.

С помощью этого индуктивного определения получается натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4,... .Таков алгоритм построения натуральных чисел.

Определение через аксиомы. В современной математике и в математической

логике широко применяется так называемый аксиоматический метод. Например: пусть дана система каких-то элементов (обозначаемых х, у, z...), и между ними установлено отношение, выражаемое термином «предшествует». Не определяя ни самих объектов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (т. е. следующие две аксиомы):

1. Никакой объект не предшествует сам себе.

2. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х предшествует z.

Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида «х предшествует у». Например, пусть объектами х, у..: являются люди, а отношение между х и у представляет собой «х старше у». Тогда выполняются утверждения 1 и 2. Если объекты х, у, z - действительные числа, а отношение «х предшествует у» представляет собой «х меньше у», то утверждения 1 и 2 также выполняются. Утверждения (т. е. аксиомы) 1 и 2 определяют системы объектов с одним отношением.