Правила ветвления

задача коммивояжер ветвь граница

В зависимости от особенностей задачи для организации ветвления обычно используется один из двух способов:

1. ветвление множества допустимых решений исходной задачи D;

2. ветвление множества D' получаемого из D путем снятия условия целочисленности на переменные.

Первый способ ветвления обычно применяется для задач целочисленного программирования и заключается в выделении подобластей возможных решений путем фиксации значений отдельных компонент целочисленных оптимизационных переменных (рис. 1). На рис. 1-а дана геометрическая интерпретация области допустимых решений задачи целочисленного программирования, определяемой двумя линейными ограничениями и условиями неотрицательности переменных, и образующихся при ветвлении подобластей, а на рис. 1-б показана соответствующая схема ветвления.

Второй способ ветвления – более универсальный, чем первый. Для осуществления ветвления некоторой области D_i' этим способом на D_i' решается оптимизационная задача с целевой функцией исходной задачи и действительными переменными.

Ветвление осуществляется, если в оптимальном решении значение хотя бы одной целочисленной по исходной постановке задача переменной не является целочисленным. Среди этих переменных выбирается одна, например j – я. Обозначим ее значение в найденном оптимальном решении x⁰[j]. Говорят, что ветвление осуществляется по переменной x[j]. Область D_i' разделяется на две подобласти D_i1' и D_i2' следующим образом:

 

(1)

 

где [x⁰[j]] – целая часть значения x⁰[j]

На рис. 2 условно дана геометрическая интерпретация такого ветвления.

 

 

Рис. 2. Геометрическая интерпретация ветвления

 

Видно, что при этом из области D_i' удаляется часть между плоскостями вновь введенных ограничений. Так как переменная x[j] по условиям области допустимых решений исходной задачи – целочисленная, то из подобласти допустимых решений исходной задачи. D_i (D_i D_i') при таком изъятии не исключается ни одного решения.