Афинные преобразования на плоскости

Афинные преобразования на плоскости. В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом 2D 2-dimention.

Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел х, у ее координат рис. 1. Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел x, y. Рис. 1 Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями x ax by l, 2.1 y gx by m, 2.2 где a, b, g, l, m произвольные числа, связанные неравенством a b 0. 2.3 g d Формулы 2.1 и 2.2 можно рассматривать двояко либо сохраняется точка и изменяется координатная система рис. 2 в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты х, у х, y, либо изменяется точка и сохраняется координатная система рис. 3 в этом случае формулы 2.1 и 2.2 задают отображение, переводящее произвольную точку М х, у в точку М х, у, координаты которой определены в той же координатной системе.

X Y Рис. 2 Рис. 3 В дальнейшем, формулы 2.1 и 2.2 будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости. В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько вжных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемыегеометрические характеристики.

При исследовании геометрического смысла числовых коэффицентов в формулах 2.1 и 2.2 для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой. 1. Поворот вокруг начальной точки на угол j рис. 4 описывается формулами х x cosj - y sinj, 2.3 y x sinj - y cosj. 2. Растяжение сжатие вдоль координатных осей можно задать так x ax, 2.5 y dy, 2.6 a 0, d 2.7 Растяжение сжатие вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что a 1 a 1. На рис. 5 a d 3. Отражение относительно оси абсцисс рис. 6 задается при помощи формул x x, 2.8 y -y. 2.9 4. На рис. 7 вектор переноса ММ имеет координаты l, m. Перенос обеспечивает соотношения x x l, 2.10 y y m. 2.11 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами. 1. Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл геометрическим смыслом наделены и постоянные числа, входящие в приведенные формулы. 2. Как известно из курса аналитической геометрии, любое преобразование вида 2.1 всегда можно представить как последовательное исполнение суперпозицию простейших преобразований вида 1 4 или части этих преобразований.

Таким образом, справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости любое отображение вида 2.1 можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами 2.3 2.11. Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись.

Матрицы, соответствующие случаям 1 3, строятся легко и имеют соответственно следующий вид cos j sin j a 0 1 0 -sin j cos j 0 d 0 -1 3.