Однородные координаты точки

Однородные координаты точки. Пусть М произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы.

Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х1, х2, х3, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями x1 x3 x, x2 x3 y 3.1 При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так произвольной точке М х, у плоскости ставится в соответствие точка МЭ х, у, 1 в пространстве.

Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О 0, 0, 0, с точкой МЭ х, у, 1,может быть задана тройкой чисел вида hx, hy, h. Будем считать, что h 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О 0, 0, 0 и МЭ х, у, 1. Эта прямая пересекает плоскость z 1 в точке х, у, 1, которая однозначно определяет точку х, у координатной плоскости ху. Тем самым между произвольной точкой с координатами х, у и множеством троек чисел вида hx, hy, h, h 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.

Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы по существу, те, которыми проектная плоскость отличается от привычной евклидовой плоскости.

В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение х у 1 3.2 или, более общо, х1 х2 х3 3.3 здесь непременно требуется, чтобы числа х1, х2, х3 одновременно в нуль не обращались.

Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач. Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами или если необходимо работать только с целыми числами, то для произвольного значения h например, h 1 точку с однородными координатами 0.5, 0.1, 2.5 представить нельзя.

Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h 10 для рассматриваемого примера имеем 5, 1, 25. Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами 80000, 40000, 1000 можно взять, например, h 0.001. В результате получим 80, 40, 1. Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов.

Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям. При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости. Считая, h 1, сравним две записи a g 0 x y 1 x y 1 b d 0 3.4 l m 1 Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы 2.1 и 2.2 и верное числовое равенство 1 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.

Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями рзбивают на несколько этапов.

На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами. Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка. А. Матрица вращения rotation cos j sin j 0 R -sin j cos j 0 3.5 0 0 1 Б. Матрица растяжения-сжатия dilatation a 0 0 D 0 d 0 3.6 0 0 1 В. Матрица отражения reflection 1 0 0 M 0 -1 0 3.7 0 0 1 Г. Матрица переноса translation 1 0 0 T 0 1 0 3.8 l m 1 Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости. Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А a, b на угол j рис. 9. j Рис. 8 1-й шаг. Перенос на вектор А -a, -b для смещения центра поворота с началом координат 1 0 0 T-A 0 1 0 3.9 -a -b 1 матрица соответствующего преобразования. 2-й шаг. Поворот на угол j cos j sin j 0 Rj -sin j cos j 0 3.10 0 0 1 матрица соответствующего преобразования. 3-й шаг. Перенос на вектор А a, b для возвращения центра поворота в прежнее положение 1 0 0 TA 0 1 0 3.11 a b 1 матрица соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны T-A Rj TA . В результате получим, что искомое преобразование в матричной записи будет выглядеть следующим образом cos j sin j 0 x y 1 x y 1 -sin j cos j 0 3.12 -a cos j b sin j a -a sin j - b cos j b 1 Элементы полученной матрицы особенно в последней строке не так легко запомнить.

В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.

Пример 2. Построить матрицу растяжения с коэффицентами растяжения a вдоль оси абсцисс и b вдоль оси ординат и с центром в точке А a, b. 1-й шаг. Перенос на вектор А -a, -b для совмещения центра растяжения с началом координат 1 0 0 T-A 0 1 0 3.13 -a -b 1 матрица соответствующего преобразования. 2-й шаг. Растяжение вдоль координатных осей с коэффицентами a и b соответственно матрица преобразования имеет вид a 0 0 D 0 d 0 3.14 0 0 1 3-й шаг. Перенос на вектор А a, b для возвращения центра растяжения в прежнее положение матрица соответствующего преобразования 1 0 0 TA 0 1 0 3.15 a b 1 Премножив матрицы в том же порядке T-A D TA , получим окончательно a 0 0 x y 1 x y 1 0 d 0 3.16 1 - aa 1 - db 1 Рассуждая подобным образом, то есть разбивая предложенное преобразование на этапы, поддерживаемые матрицами R , D , M , T , можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его геометрическому описанию. 4.