рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Аффинные преобразования в пространстве

Аффинные преобразования в пространстве - раздел Программирование, Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ Аффинные Преобразования В Пространстве. Рассмотрим Трехмерный Случай 3D 3-Dim...

Аффинные преобразования в пространстве. Рассмотрим трехмерный случай 3D 3-dimension и сразу введем однородные координаты.

Потупая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку x, y, z, задающую точку в пространстве, на четверку чисел x y z 1 или, более общо, на четверку hx hy hz, h 0. Каждая точка пространства кроме начальной точки О может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах. Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представленно в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов.

Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем.

А. Матрицы вращения в пространстве. Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j 1 0 0 0 0 cos j sin j 0 0 -sin j cos j 0 0 0 0 1 Матрица вращения вокруг оси ординат на угол y cos y 0 -sin y 0 0 1 0 1 sin y 0 cos y 0 0 0 0 1 Матрица вращения вокруг оси аппикат на угол c cos c sin c 0 0 -sin c cos c 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Полезно обратить внимание на место знака - в каждой из трех приведенных матриц. Б. Матрица растяжения-сжатия a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 g 0 0 0 0 1 где a 0 коэффицент растяжения сжатия вдоль оси абсцисс b 0 коэффицент растяжения сжатия вдоль оси ординат g 0 коэффицент растяжения сжатия вдоль оси аппликат.

В. Матрицы отражения Матрица отражения относительно плоскости ху 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 Матрица отражения относительно плоскости yz -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Матрица отражения относительно плоскости zx 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Г. Матрица переноса здесь l, m, n - вектор переноса 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 l m n 1 Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырождены.

Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию. Пример 3. Построить матрицу вращения на угол j вокруг прямой L, проходящей через точку А a, b, c и имеющую направляющий вектор l, m, n. Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным l2 m2 n2 1 На рис. 10 схематично показано, матрицу какого преобразования требуется найти. L X Рис. 10 Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них. 1-й шаг. Перенос на вектор А -a, -b, -c при помощи матрицы 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -a -b -c 1 В результате этого преноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат. 2-й шаг. Совмещение оси аппликатс прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат. 1-й поворот вокруг оси абсцисс на угол y подлежащий определению.

Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L исходной прямой L на плоскость X 0 рис. 11. L L q Y Y 0 Рис. 11 Направляющий вектор прямой L определяется просто он равен 0, m, n. Отсюда сразу же вытекает, что cos y n d, sin y m d, 4.10 где d m2 n2 4.11 Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид 1 0 0 0 0 nd md 0 0 -md nd 0 0 0 0 1 Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора l, m, n изменятся.

Подсчитав их, в результате получим l, m, n, 1 Rx l, 0, d, 1. 4.13 2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол q, определяемый соотношениями сos q l, sin q -d 4.14 Cоответствующая матрица вращения записывается в следующем виде l 0 d 0 0 1 0 0 -d 0 l 0 0 0 0 1 3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j. Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид cos j sin j 0 0 -sin j cos j 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q. 5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y. Однако вращение в пространстве некоммутативно.

Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным. 6-й шаг. Перенос на вектор А a, b, c. Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу T Rx Ry Rz Ry -1 Rx -1 T -1. Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку. l2 cos j1 l2 l1 cos jm n sin j l1 cos jn m sin j 0 l1 cos jm n sin j m2 cos j1 m2 m1 cos jn lsin j 0 l1 cos jn m sin j m1 cos jn lsin j n2 cos j1 - n2 0 0 0 0 1 Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида a1 a2 a3 0 b1 b2 b3 0 g1 g2 g3 0 l m n 1 При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.

Пример 4. Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.

Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу A . Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин Vi xi, yi, zi, i 1 n, Строим матрицу x1 y1 z1 1 V 4.18 xn yn zn 1 Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, V A , мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника образа исходного рис. 12. Z 0 Y X Рис. 11 5.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

Прежде всего, необходимо заметить, что особенности использования геометрических понятий, формул и фактов, как простых и хорошо известных, так и… Теперь необходимо рассмотреть графическую реализацию 3-х мерных объектов, т.к.… В дальнейшем все объекты считаются 3-х мерными, а отображение осуществляется с помощью набора функций разработанной…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аффинные преобразования в пространстве

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Афинные преобразования на плоскости
Афинные преобразования на плоскости. В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом 2D 2-dimention. Допустим, что на плоскости введена прямолинейна

Однородные координаты точки
Однородные координаты точки. Пусть М произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой т

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги