Перемножение матриц. Произведением матрицы A Aij i 1, 2 m j 1, 2 n, имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B Bij i 1, 2 n j 1, 2 p, имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C Сij i 1, 2 m j 1, 2 p, имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой Cij i 1, 2 m j 1, 2 p 3 Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц.
Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.
Формула 3 представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка Из формулы 3 вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B 1 сочетательное свойство AB C A BC 2 распределительное относительно суммы матриц свойство A B C AC BC или A B C AB AC. Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка.
Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством.
В самом деле, если положить A , B , то AB , а BA Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими. Транспонирование матриц.
Если в матрице А поменять местами столбцы со строками, то получим транспонированную матрицу АТ. Каждый элемент транспонированной матрицы определяется по формуле aijT aji, i1,2 n j1,2 m. Пример транспонирования Транспонирование матрицы можно реализовать двумя способами.
Первый способ следует применять, когда имя транспонированной матрицы не совпадает с именем исходной матрицы, т.е. когда исходная и транспонированная матрицы хранятся в разных областях памяти ЭВМ. Второй способ следует применять, когда транспонирование требуется выполнить в той же области памяти, где располагается исходная матрица, т.е. когда транспонированная матрица должна иметь такое же имя, как и исходная например, для экономии памяти.
В этом случае для перестановки элементов необходимо организовать циклический процесс не в полном объме, как это делается при первом способе, а в половинном, так как в противном случае каждый элемент будет переставлен дважды и, следовательно, исходная матрица останется без изменений. 2.3