Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ. ЦЕЛЬ. Научиться определять уравнение переходного процесса по изображению регулируемого параметра по Лапласу. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. Построение переходного процесса является завершающим этапом исследования автоматической системы.По полученному графику переходного процесса при единичном воздействии можно наглядно определить основные показатели качества регулирования - время регулирования, перерегулирование, установившуюся ошибку.

Пусть нам известны Wyp - передаточная функция системы по управлению Wfp - передаточная функция системы по возмущению Up - управляющий сигнал fp - возмущающий сигнал.Тогда изображение по Лапласу регулируемого параметра будет xpWypUp Wfpfp. Вначале рассмотрим случай, когда на систему действует управляющий сигнал Up, а возмущающее воздействие fp0 xpWypUp . Таким образом для получения изображения по Лапласу регулируемой координаты необходимо передаточную функцию ПФ умножить на изображение по Лапласу входного воздействия.

Согласно таблице 1 задания 4 для входного воздействия в виде одиночного импульса Ut1 t изображение Up1, для входного воздействия в виде единичного скачка Ut1t изображение Up. Рассмотрим несколько примеров получения уравнения переходного процесса по известной передаточной функции.ПРИМЕР 1. Входное воздействие - единичный импульс Ut1 t. Передаточная функция Wp . Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра xp, учитывая, что Up1. xpWpUp . 2. Определяем корни характеристического уравнения. p 3. Преобразуем выражение xp согласно формуле 8 табл.1 задания 4. xp . 4. Определяем уравнение весовой функции по формуле 8. xt4e-2tsin6t. ПРИМЕР 2. Дана следующая ПФ xp Определить уравнение весовой функции. РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра. xp 2. Корни характеристического уравнения. p1,2 -2j3. 3. Преобразуем выражение xp согласно формулам 8 и 9. xp 4. Определяем уравнение весовой функции по формулам 8 и 9. xp3e-2tsin3t e-2tcos3t. ПРИМЕР 3. Определить уравнение переходной функции по сле- дующей ПФ Wp . РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что Up. xp . 2. Корни характеристического уравнения. p10, p2 -0.2. 3. Преобразуем изображение xp согласно формуле 20. xp . 4. Определяем уравнение весовой функции по формуле 20. xp301- e-0.2t. Таким образом для построения любого переходного процесса весовой или переходной функций необходимо прежде всего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра.

Это сделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЯ. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 4. Определить корни в следующем характеристическом уравнении Lpp47.04p36.842p23.7104p040 РЕШЕНИЕ. В первом приближении один из корней можно определить по двум последним членам этого уравнения. 3.7104p0.59040 p1 - -91. Если бы этот корень был бы вычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на p0.1591 без остатка. В действительности получаем p47.04p36.842p23.7104p0.5904 p0.1591. p40.1591p3 p36.8809p25.748p 6.8809p36.842p2 6.8809p31.094p2 5.748p23.7104p 5.748p20.9145p 2.7959p0.5904 По полученному остатку 2.7959p0.5904 определяем корень во втором приближении. p2 Снова делим уравнение на p0.211 и получаем остаток 2.570p04. Тогда корень в третьем приближении p3 -97. Уравнение снова делим на p0.2297 и т.д. Наконец, корень в девятом приближении p9 -0.24, а частное от деления p36.8p25.21p2.460. По двум последним членам этого уравнения снова определяем корни в первом приближении 5.21p2.460 p1 -2. После деления уравнения на p0.472 остаток 2.223p2.46 и корень во втором приближении равен p2 -66. Корень в третьем приближении p6. Процесс расходится. Корень не может быть положителен в устойчивой САУ. Тогда по трем а не по двум последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корня характеристического уравнения.

Остаток в первом приближении 6.033p24.848p46. Остаток во втором приближении 5.996p24.802p46. Остаток в третьем приближении 6.00p24.80p3.46, который незначительно отличается от остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексных корней. p2,3 -0.4j5. Частное от деления на остаток в третьем приближении 0.210p2.460, тогда p4 -0. Примечание. Корни кубического уравнения p36.8p25.21p2.46 можно определить методом Карно. Для этого представим его в виде p3ap2bpc0 и путем подстановки p приводим к неполному виду. y3nym0, где n m Корни y1,y2,y3 неполного кубического уравнения равны y1AB y2,3 A B Q . Определим численные значения корней неполного кубического уравнения.

Q A B y1AB-1.579-2.155-3.734 1.867j968. Определяем корни данного характеристического уравнения третьего порядка. p1y1- -3.734- -6.0 p3,41.867j0.4996- -0.4j0.5. Результаты вычисления корней уравнения третьей степени методом приближения и методом Карно - совпали.

Проведем проверку правильности определения корней уравнения по теореме Виета. -b -6.8p1p2p3 -6.0-0.4j0.5-0.4-j0.5 -6.8 -c -2.46 -6.00.420.52 -2.46 РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОГО ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ. Определение уравнения переходного процесса xt по изображению регулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет n корней можно выполнить путем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямое преобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4. xp где ci - коэффициент разложения pi - корень уравнения.

Коэффициент разложения ci в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом. 1 СЛУЧАЙ. Все корни действительные и разные. ci где Ap ppi. Тогда уравнение переходного процесса xt . 2 СЛУЧАЙ. Среди n действительных корней есть корень p0. ci Тогда уравнение переходного процесса xt . 3 СЛУЧАЙ. Среди n действительных корней есть m пар комплексно-сопряженных.

Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p1,2 -j определяется два значения коэффициентов c с1 с2 , которые являются тоже комплексно-сопряженными выражениями c1,2j. В этом случае определяется модуль c и угол . c arctg По табл.1 задание 4 каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс xp2ce-tcost.

В общем случае при наличии в характеристическом уравнении одного нулевого корня, k - действительных корней и m - комплексно-сопряженных переходный процесс описывается уравнением xt Примечание. 4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном задании не рассматриваются. Рассмотрим несколько примеров такого способа получения уравнений переходного процесса.

ПРИМЕР 5. Единичный импульс подан на систему с передаточной функцией Wp Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что Ut1 t, тогда Up1. xp 2. Определяем корни характеристического уравнения. p1 -1 p2 -2 p3 -4. 3. Разложим полученное изображение xp на простые дроби. xp 4. Коэффициенты заложения ci будем определять согласно 1-му случаю все корни вещественные и разные. c1-1 c2-2 c3-4 Примечание.

При нулевых начальных условиях алгебраическая сумма полученных коэффициентов разложения должна быть равна нулю. c1c2c3 -0.1666 1- 0.83340 5. Изображение регулируемого параметра. xp 6. Уравнение весовой функции согласно формуле 5 табл.1 задание 4. xt -0.1666e-t1e-2t -0.8334e-4t. ПРИМЕР 6. На систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие.

Определить уравнение переходной функции.

РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра. xp 2. Определяем корни характеристического уравнения. p10 p2 -1 p3 -2 p4 -4 3. Разложим полученное выражение xp на простые дроби. xp 4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 2-му случаю среди вещественных корней есть один нулевой корень. c1-1 c2-2 c3-4 c00 Проверка c1c2c3c00.1666 -0.5 -0.2084 0.1250. 5. Изображение регулируемого параметра. xp 6. Уравнение весовой функции согласно формулам 3 и 5 табл.1 задание 4. xt0.1250.1666e-t-0.5e-2t-0.2084e-4t. Примечание.

Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнение весовой функции, сравним полученные решения в примере 6 с решение в примере 5. x t0-10.1666e-t 20.5e-2t-40.2084e-4t -0.1666e-te-2t-0.8336e-4t. ПРИМЕР 7. Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид Wp РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что up . xp 2. Определяем корни характеристического уравнения. p10 p2,3-3j4 p4-2 3. Разложим полученное изображение xp на простые дроби. xp 4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 3-му случаю среди n действительных корней есть комплексно-сопряженные. c0p10 c1p2-3j4 Для возведения в квадрат комплексного числа -3j4 представим его в показательной форме.

Полученное комплексное число в показательной форме представим в алгебраической форме. 25ej25336 25cos25336 j25sin 25336 25-0.28401j25-0.95882 -7.100-j23.970. ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение в квадрат можно произвести и без представления его в показательной форме ajb3a3-3ab2j3a2b-b3. -3j42-32-422-3j4-7-j24. Продолжаем определять c1p2. c1p2-3j4 Так как третий корень p3 -3-j4 комплексно-сопряженный со вторым p2 -3j4, то значение c2p3 будет отличаться от c1p2 только знаком степени e. c2p3-3j41.877e-j11106 . Определяем значение c3p4-2. 5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c0,c1,c2,c3. xp 6. Уравнение переходной функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу см. табл.1 задание 4. xt10-11.33e-2t1.877ej111e-34jt1.877e-j11 1e-3-4jt 10-11.33e-2t1.877ej1114te-j1114te-3t. Выражение в скобках преобразуем согласно формуле Эйлера. eje-j2cos xt10-11.33e-2t1.877e-3t2cos4t111 10-11.33e-2t3.75e-3tcos4t-1.204. Примечание. cos111 -cos180-111 -cos-69 -cos-1.204, где 1.204 угол в радианах от 69. Проверим правильность вычисления коэффициентов c. При t0 значение xt00, т.к. начальные условия нулевые. xt10-11.3313.751cos-1.2-1.333.750.3583-1 .331.3430. Условия выполняются в пределах точности вычисления. 6.Уравнение переходной функции. xt10-11.33e-2t3.75e-3tcos4t-1.204. ПРИМЕР 8. Определить уравнение весовой функции по ПФ примера 7 Wp РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что Up1. xp 2. Определяем корни характеристического уравнения. p1 -2 p2,3 -3j4. 4. Разложим полученное изображение xp на простые дроби. xp 5. Определяем коэффициенты разложения c. c1p1-2 c2p2-3j4 c3p3-3-j47.45ej13754 . 5. Представим изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c1,c2,c3. xp 6. Уравнение весовой функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу. xt22.66e-2t7.45e-j13754 e-3-j4t7.45ej13794 e3j4t 22.66e-2t7.457.45e-3tej-13754 4te-j-13754 4t 22.66e-2t14.9e-3tcos4t-2.4, где 2.4 угол в радианах от -13754 . 2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ. Определить уравнение переходного процесса по заданной П.Ф. Wp Значения коэффициентов k и Тi показано в таблице 1. Таблица 1 - Значение коэффициентов k и Т для задания 5. вариантаВид воздействия k T1 T2 T3 T411t20.250.0050.070.32521t40.30.006250. 030.32531t50.160.00.050.441t30.120.00770 .1070.451t100.240.0150.210.861 t60.150.030.41.271 t80.20.0020.040.1881 t40.080.0120.160.6291 t40.720.0180.182.2101 t20.320.010.060.92 3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1. Записать передаточную функцию, вид управляющего воздействия согласно варианту задания. 2. Определяется регулируемый параметр в изображении по Лапласу. 3. Определить корни. 4. Разложить изображение по Лапласу регулируемой величины на простейшие дроби. 5. Определить коэффициенты разложения C. 6. Преобразовать простейшие дроби с комплексными корнями к виду, удобному для проведения обратного преобразования по Лапласу по первому и второму варианту. 7. Получить уравнение переходного процесса при нулевых начальных условиях. 4. СОДЕРЖЕНИЕ ОТЧЕТА ПО ВЫПОЛНЕНОЙ РАБОТЕ. В отчете должно быть показано 1. Заданная ПФ. 2. Вид воздействия. 3. Начальные условия. 4. Изображение по Лапласу регулируемого параметра. 5. Определение корней. 6. Представление регулируемого параметра через простые дроби. 7. Вычисление коэффициентов разложения. 8. Уравнение переходного процесса. 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при импульсном воздействии, если ut4. 2. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при скачкообразном воздействии, если ut4t. 3. Как определяется изображение по Лапласу регулируемого параметра, если u t4t. 4. Какой вид имеет переходный процесс при скачкообразном воздействии, если корни вещественные отрицательные. 5. Какой вид имеет переходный процесс, если корни чисто мнимые. 6. Какой вид имеет переходный процесс, если корни комплексные. 7. Какой вид имеет переходный процесс, если корни вещественные положительные. 8. Как в первом приближении можно определить корни характеристического уравнения. 9. Как во втором приближении можно определить корни характеристического уравнения. 10. Что делать, если при определении корней процесс расходится. 11. Как определяются коэффициенты разложения, если корни вещественные и разные. 12. Как определяются коэффициенты разложения, если есть один корень равный нулю. 13. Как определяются коэффициенты разложения, если корни комплексные. 14. Как проверить правильность получения коэффициентов разложения. 15. Как получить уравнение переходного процесса при одновременном воздействии управляющего и возмущающего сигналов.