Математическое программирование

Математическое программирование 1. Общая задача линейного программирования ЗЛП Здесь 1 называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r n, 2 - функцией цели целевой функцией.Неотрицательное решение х10, x20, , xn0 системы 1 называется допустимым решением планом ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию 2 в min или max оптимум. 2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной симплексной форме 2 fcr1xr1 csxs cnxn b0 min Здесь считаем r n система имеет бесчисленное множество решений, случай r n неинтересен в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе 1 неизвестные х1, х2, , хr называются базисными каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом 1, остальные хr1, , xn - свободными. Допустимое решение 1 называется базисным опорным планом, если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции fx10, , xr0,0, ,0 называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами а система 1 удовлетворяет условиям 1 все ограничения - в виде уравнений 2 все свободные члены неотрицательны, т.е. bi 0 3 имеет базисные неизвестные б целевая функция 2 удовлетворяет условиям 1 содержит только свободные неизвестные 2 все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0 3 обязательна минимизация случай max сводится к min по формуле max f - min-f. 3 Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица 1 0 0 0 a1,r1 a1s a1n b1 0 1 0 0 a2,r1 a2s a2n b2 0 0 1 0 ai,r1 ais ain bi 0 0 0 1 ar,r1 ars arn br 0 0 0 0 cr1 cs cn b0 Заметим, что каждому базису системе базисных неизвестных соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х b1,b2, ,br, 0, ,0 и базисное значение целевой функции fb1,b2, ,br, 0, ,0 b0 см. Последний столбец . Критерий оптимальности плана . Если в последней целевой строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален, т.е. сj 0 j r1, n min f b1, ,b2,0, ,0 b0. Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец S-й, в котором последний элемент сs 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs 0, ais 0 i 1,r min f Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais 0 и следующих преобразований симплексных 1 все элементы i-й строки делим на элемент ais 2 все элементы S-го столбца, кроме ais1, заменяем нулями 3 все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах akl akbais - ailaks akl - ailaks ais ais bk bkais - biaks cl clais - csail ais ais Определение.

Элемент ais называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение невозрастание значения, целевой функции строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими. Критерий выбора разрешающего элемента.

Если элемент ais удовлетворяет условию bi min bk ais0 aks0 где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим. 4. Алгоритм симплекс-метода по минимизации. 1 систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме 2 составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме 3 проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности если он выполняется, то решение закончено 4 при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана 5 в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего а выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки б выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента на их пересечении находится разрешающий элемент 6 c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице 7 вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом см. п. 3 Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие Замечания. 1 Если в разрешающей строке столбце имеется нуль, то в соответствующем ему столбце строке элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях. 2 преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца. 3 при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными появление отрицательного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях. 4 правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию ответы должны совпасть. 5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения при двух неизвестных Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы.

Целевая функция f c1x1 c2x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n с1,с2. Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП. 6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП. 1 В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений 2 найти полуплоскости решения каждого неравенства системы обозначить стрелками 3 найти многоугольник многоугольную область решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей 4 построить вектор n с1,с2 по коэффициентам целевой функции f c1x1 c2x2 5 в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат 6 перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении. 7 найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках ответы. 7. Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления производства А1, А2, Аm соответственно в количествах а1, а2, аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения потребления В1, В2, Вn соответственно в количествах b1, b2, bn единиц.

Стоимость перевозки тариф единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и равна Cij i1,m j1,n. Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются закрытая модель, а суммарные транспортные расходы минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij 8. Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели Число r m n - 1, равное рангу системы 1, называется рангом транспортной задачи.

Если число заполненных клеток Xij 0 в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей условно заполненные клетки, чтобы общее число заполненных клеток было равно r. Случай открытой модели Уаi Уbj легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn1 c потребностью bn1Уai-Уbj, либо - фиктивного поставщика Аm1 c запасом am1Уbj-Уai при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0. 9. Способы составления 1-таблицы опорного плана.

I. Способ северо-западного угла диагональный. Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка северо-западная оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом либо полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

II. Способ наименьшего тарифа.

Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу. 10. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Определение потенциалами решения называются числа aiAi, bjBj, удовлетворяющие условию aibjCij для всех заполненных клеток i,j. Соотношения определяют систему из mn-1 линейных уравнений с mn неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений для ее определенности одному неизвестному придают любое число обычно a10, тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности.

Если известны потенциалы решения X0 транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия aibj Ci j, то X0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану таблице так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям 1 одна клетка пустая, все остальные занятые 2 любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце 3 никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце . Пустой клетке присваивают знак , остальным - поочередно знаки - и . Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку r, s, в которой arbsCrs, и строят соответствующий цикл затем в минусовых клетках находят число XminXij. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу 1 в плюсовые клетки добавляем X 2 из минусовых клеток отнимаем Х 3 все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что fX1 fX0 оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует. 11. Алгоритм метода потенциалов. 1 проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой 2 находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа 3 проверяем план таблицу на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью 0 4 проверяем опорный план на оптимальность, для чего а составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам б находим одно из ее решений при a10 в находим суммы aibjCij косвенные тарифы для всех пустых клеток г сравниваем косвенные тарифы с истинными если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинныхCij Cij во всех пустых клетках, то план оптимален критерий оптимальности.

Решение закончено ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f. Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. 5 Для перехода к следующей таблице плану а выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного Cij aibj Cij б составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке в находим число перерасчета по циклу число XminXij, где Xij - числа в заполненных клетках со знаком - г составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла 6 См. п. 3 и т.д. Через конечное число шагов циклов обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.