Графика в системе Maple V

Графика в системе Maple 1. Двумерная графика 1. Основные возможности двумерной графики Лидером по графическим возможностям среди математических систем для персональных компьютеров долгое время считалась система Mathematics 2. Однако в реализации Maple V R4 возможности графики системы Maple V приблизились к таковым у системы Mathematica 2 и даже Mathematica 3. Они настолько обширны, что, будь математическая графика Maple V единственным назначением системы, оно вполне оправдало бы ее разработку.

Графика Maple V реализует все мыслимые и даже немыслимые варианты математических графиков - от построения графиков простых функций в Декартовой и в полярной системах координат до создания реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений.В само ядро Maple V встроено ограниченное число функций графики.

Это прежде всего функция для построения двумерных графиков 20-типа - plot и функция для построения трехмерных графиков ЗО-типа - plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа например, в виде векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т.д. в пакеты расширения системы Maple V включено большое число различных графических функций.Для их вызова необходимы соответствующие указания.

Вообще говоря, средства для построения графиков принято считать графическими процедурами или операторами.Однако мы сохраним за ними наименование функций в силу двух принципиально важных свойств графические средства Maple V возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа в строке вывода или в отдельном графическом объекте эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, т.е. переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции например, с помощью функции show выводить на экран несколько графиков . Графические функции заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без какой-либо особой подготовки.

Все, что для этого нужно, это указать функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных.Однако с помощью дополнительных необязательных параметров - опций можно существенно изменить вид графиков, например, изменить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т.д. 2. Основная функция двумерной графики - plot Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде plot f, h, v или plot f, h, v, о , где f - функция или функции , чей чьи график и строятся, h - переменная с указанием области ее изменения по горизонтали, v - заданная опционально переменная с указанием области изменения по вертикали, о - опция или набор опций, задающих стиль построения графика толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д Самыми простыми формами задания этой функции служат plot i,xmin xmax - построение графика функции f, заданной только именем plot f x ,x xrnin xmax - построение графика функции f x . Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin xmax, где xmin и гпах - минимальное и максимальное значение х, две точки - составной символ, указывающий на изменение независимой переменной.

Разумеется, имя х здесь дано условно - независимая переменная может иметь любое допустимое имя. Для двумерной графики возможны следующие опции axes Вывод различных типов координат axes NORMAL - обычные оси, выводятся по умолчанию, axes BOXES - график заключается в рамку с оцифрованными осями, axes FRAME - оси в виде перекрещенных линий и axes NONE - оси не выводятся . color Задает цвет кривых см. далее . coords Задание типа координатных систем см. далее . numpoints Задает минимальное количество точек графика по умолчанию numpoints 49 . resolutions Задает горизонтальное разрешение устройства вывода по умолчанию resolutions-200, параметр используется при отключенном адаптивном методе построения графиков . scaling Задает масштаб графика CONSTRAINED сжатый или UNCONSTRAINED несжатый - по умолчанию . size Задает размер шрифта в пунктах. style Задает стиль построения графика POINT - точечный, LINE - линиями . symbol Задает вид символа для точек графика возможны значения BOX - прямоугольник, CROSS - крест, CIRCLE - окружность, POINT - точка, DIAMOND - ромб . title Задает построение заголовка графика title string , где string - строка . titlefont Определяет шрифт для заголовка так же как и для font . labelfont Определяет шрифт для меток labels на осях координат так же как и для font . thickness Определяет толщину линий графиков 0, 1,2,3, по умолчанию 0 . view A, B Определяет максимальные и минимальные координаты, в пределах которых график будет отображаться на экране, А xmin xmax , B ymin углах по умолчанию отображается вся кривая . xtickmarks Задает минимальное число отметок по оси X. ytickmarks Задает минимальное число отметок по оси Y. В основном задание параметров особых трудностей не вызывает.

За исключением задания титульной надписи с выбором шрифтов по умолчанию - в этом случае не всегда поддерживается вывод символов кириллицы русского языка . Подбором подходящего шрифта эту проблему удается решить. 13.1.3. Задание координатных систем 20-графиков и их пересчет В версии Maple V R4 параметр coords задает 15 типов координатных систем для двумерных графиков.

По умолчанию задана прямоугольная Декартовая система координат coords cartesian . При использовании других координатных систем координаты точек для них u,v преобразуются в координаты х,у как u, v - x, у . Ниже приведены наименования систем координат значении параметра coords и соответствующие формулы преобразования bipolar х sinh v cosh v -cos u у sin u cosh v -cos u cardiod х 2 u 2-v 2 u 2 v 2Y2 у u v ir2 v 2 -2 cartesian х u у v cassinian x a 2 l 2 2 exp 2 u 2 exp l cos v l l 2 exp u cos v l l 2 у a 2 l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l l 2 - exp u ws v -l - 2 elliptic x cosh u cos v у sinh u sin v hyperbolic x iT2 v-2 - l 2 u - l 2 у 2 у 2Г 2 -иУ 1 2 invcassinian x a 2 l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l l 2 exp u cos v l l 2 exp 2 u 2 exp u cos v l - l 2 у a 2 l 2 2 exp 2 u - 2 exp u cos v l - l 2 - exp u cos v -l l 2 exp 2 u 2 exp u cos v l - l 2 invelliptic x a cosh u cos v cosh u 2-sin v 2 у a sinh u sin v cosh u 2-sin v 2 logarithmic x ii Pi ln u 2 v 2 у 2 a Pi arctan v u logcosh x a Pi n c.osh uy2-sm vy2 у 2 a Pi arctan tanh u tan v maxwell x a Pi u l exp u cos v у a Pi v exp u sin v parabolic x u 2-v 2 2 у u v I I- polar x u cos v у u sin v rose x u 2 v 2Y 2 ur 2 u 2 v 2 - i 2 у 2 v 2 - 2 -u - 2 u 2 2r 2 tangent x u tu v у v iT2 v 2 13.1.4. Управление стилем и цветом линий 20-графиков Maple V R4 позволяет воспроизводить на одном графике множество кривых.

При этом возникает необходимость из выделения.

Для этого можно использовать построение линии разными стилями и разными цветами и разной толщиной линий.

Набор средств выделения кривых позволяет уверенно различать их как на экране цветного дисплея и распечатках цветным струйным принтером, так и при печати монохромными принтерами.

Параметр style позволяет задавать следующие стили для линий графиков SPISV POINT или point - график выводится по точкам LINE или line - график выводится линией.

Если задано построение графика точками то параметр symbol позволяет представить точки в виде различных символов, например, прямоугольника, креста, окружности или ромба.

Другой параметр color позволяет установить обширный набор цветов линий графиков aquamarine black blue navy coral cyan brown gold green gray grey khaki magenta maroon orange pink plum red sienna tan turquoise violet wheat white yellow Различные цветовые оттенки получаются использованием RGB-комбинаций базовых цветов red - красный, green - зеленый, blue - синий.

Приведем перевод ряда других комбинированных цветов black - черный, white - белый, khaki - цвет хаки , gold - золотистый, orange - оранжевый, violet - фиолетовый, yellow - желтый и т.д. Перевод цветов некоторых оттенков на русский язык не всегда однозначен и потому не приводится.

Средства управления стилем графиков дают возможность легко выделять различные кривые на одном рисунке, даже если для выделения не используются цвета. 13.2. Примеры построения основных типов 20-графиков 13.2.1. Построение графиков одной функции При построении графика одной функции она записывается в явном виде на место шаблона f. Примеры построения графика одной функции представлены на рис. 13.1. Обратите внимание на то, что график функции sin x x строится без характерного провала в точке х 0, который наблюдается при построении графиков этой функции многими программами.

Он связан с используемым в них правилом - функция задается равной нулю, если ее числитель равен нулю. Данная функция в этой точке дает устранимую неопределенность 0 0- 1, что и учитывает графический процессор системы Maple V. Рис. 13.1. Примеры построения графиков одной функции.

При построении графиков одной функции могут быть введены указатели масштабов и различные опции, например задания цвета кривой, толщины линии, которой строится график функции и другие параметры.

К примеру, запись в списке параметров со1ог 0 не документированная возможность или запись color black задают вывод кривых черным цветом, а запись thinkness 2 задает во втором примере рис. 13.1 построение графика линией, удвоенной в сравнении с обычной толщиной. 13.2.2. Управление масштабом графиков Для управления масштабом графиков служат указатели масштабов. В ряде случаев их можно не применять и система автоматически задает приемлемые масштабы.

Однако их явное применение позволяет задать масштаб вручную . Иногда соответствующее задание масштаба случайно или целенаправленно ведет к отсечению части графика - например на рис. 13.2 в первом примере отсечена верхняя часть графика.

Правильный выбор масштаба повышает представительность графиков функций. Рекомендуется вначале пробовать строить такие графики с автоматическим масштабированием, а уже затем использовать указатели масштабов. 13.2.3. Графики функций в неограниченном масштабе Изредка встречаются графики функций цх , которые надо построить при изменении значения х от нуля до бесконечности или даже от минус бесконечности до Рис. 13.2. Построение графиков функции с явным указанием масштаба. плюс бесконечности. Бесконечность в таких случаях задается в указателях масштаба как особая константа infinity.

В этом случае масштаб автоматически меняется по ходу построения графика. Рис. 13.2 второй пример иллюстрирует сказанное.Пересчет значении координаты х, устремляющейся в бесконечность, выполняется с помощью функции для арктангенса. 13.2.4. Графики функций с разрывами Некоторые функции, например tan x , имеют при определенных значениях х разрывы, причем случается что значения функции в этом случае устремляются в бесконечность.

Функция tan x , к примеру, в точках разрывов устремляется к и Построение графиков таких функций нередко дает плохо предсказуемые результаты.Графический процессор Maple V не всегда в состоянии определить оптимальный масштаб по оси ординат, а график функции выглядит весьма непредставительно - если не сказать безобразно см. рис. 13.3 - первый пример . Среди параметров функции plot есть специальный параметр discont.

Если задать его значение равным true, то качество графиков существенно улучшается - см. рис. 13.3 - второй пример.Улучшение достигается разбивкой графика на несколько участков, в которых функция непрерывна, и более тщательным контролем за масштабом. 13.2.5. Построение графиков нескольких функций на одном рисунке Важное значение имеет возможность построения на одном рисунке графиков нескольких функций.

В простейшем случае рис. 13.4 первый пример для построения таких графиков достаточно перечислить нужные функции и установить для них общие масштабы. Рис. 13.3. Построение графиков функции с разрывами. Обычно графики разных функций автоматически строятся разными цветами. Но они не всегда удовлетворяют пользователя - например, при распечатке графиков монохромным принтером некоторые кривые могут выглядеть слишком блеклыми или даже не пропечататься вообще.Используя списки параметров color цвет линии и style стиль линий можно добиться выразительного выделения кривых - это показывает второй пример на рис. 13.4. Рис. 13.4. Графики трех функции на одном рисунке.

На рис. 13.5 показан еще один пример такого рода. Здесь построен график функции sin x x и график ее полиномиальной аппроксимации.Она выполняется настолько просто, что соответствующие функции записаны прямо в списке параметров функции plot. Рис. 13.5. График функции sin x x и ее полиномиальной аппроксимации.

В данном случае сама функция построена сплошной линией, а график полинома - крестиками. Хорошо видно, что при малых х аппроксимация дает высокую точность, но затем с ростом х погрешность ее резко возрастает. Рис. 13.6 показывает построение нескольких любопытных функций, полученных с помощью комбинаций элементарных функций.Эти комбинации позволяют получать периодические функции, моделирующие сигналы стандартного вида в технических устройствах в виде напряжения на выходе двухполупериодного выпрямителя, симметричных прямоугольных колебаний меандр , пилообразных и треугольных импульсов, треугольных импульсов со скругленной вершиной.

В этом рисунке запись axes NONE убирает координатные оси. Обратите внимание, что смещение графиков отдельных функций вниз с целью устранения их наложения достигнуто просто прибавлением к записи каждой функции некоторой константы. 13.2.6. Построение графиков функций, заданных отдельными точками Показанный на рис. 13.5 график полинома, построенный крестиками, не означает, что полином представлен отдельными точками.

В данном случае просто выбран стиль линии в виде точек, представленных крестиками. Однако, часто возникает необходимость построения графиков функции, которые представлены просто совокупностью точек. Она может быть создана искусственно, как на рис. 13.7, либо просто задаваться списком координат х и значений функции. Рис. 13.6. Построение графиков нескольких любопытных функции.Рис. 137. Формирование списка отдельных точек функции и их построение на графике.

В данном случае переменная Р имеет вид списка, в котором попарно перечислены координаты точек функции sin x . В этом нетрудно убедиться, заменив знак после выражения, задающего Р на знак . Далее по списку Р построен график точек в виде крестиков, которые отображают отдельные значения функции sin x . На рис. 13.8 показано построение графиков функций по точкам при явном задании функции списком координат ее отдельных точек.В первом примере эти точки соединяются отрезками прямых, так что получается кусочно-линейный график.

Видно также, что указание типа точек после указания стиля линии игнорируется а жаль, было бы неплохо, чтобы наряду с кусочно-линейной линией графика строились и выделенные окружностью точки. Рис. 13.8. Построение графика функции явно заданной отдельными точками. Во втором примере рис. 13.8 показано построение только точек заданной функциональной зависимости. Они представлены маленькими кружками.Читателю предлагается совместить самому оба подхода к построению графиков по точкам и создать график в виде отрезков прямых, соединяющих заданные точки функции, представленные кружками или крестиками. 13.2.7. Построение графиков функций, заданных их именами Способность Maple V к упрощению работы пользователя просто поразительна - жаль только, что многие возможности этого становятся ясными после основательного изучения системы, на что уходят увы не дни, а месяцы, а то и годы. Применительно к графике одной их таких возможностей является построение графиков функций, заданных только их функциональными именами - даже без указания параметров в круглых скобках. Такую возможность наглядно демонстрирует рис. 13.9. Этот пример показывает, что возможно построение графиков функций даже без применения в команде plot указателей масштабов.

При этом масштаб по горизонтальной оси устанавливается равным по умолчанию -10 10, а по вертикальной оси устанавливается автоматически в соответствии с экстремальными значениями функций в указанном диапазоне изменения независимой переменной - условно х. Рис. 13.9. Построение графиков четырех функции, заданных только их именами. 13.2.8. Построение графиков функции с ординатами, заданными вектором Часто возникает необходимость построения графика точек, ординаты которых являются элементами некоторого вектора.

Обычно при этом предполагается равномерное расположение точек по горизонтальной оси. Пример построения такого графика дан на рис. 13.10. Из этого примера нетрудно заметить, что данная задача решается составлением списка парных значений координат исходных точек - к значениям ординат точек, взятых из вектора добавляются значения абсцисс.

Они задаются чисто условно, поскольку никакой информации об абсциссах точек в исходном векторе нет. Так что фактически строится график зависимости ординат точек от их порядкового номера п. 13.2.9. Построение графиков функций, заданных процедурами Некоторые виды функций, например кусочные, удобно задавать процедурами.

Построение графиков функций, заданных процедурами, не вызывает никаких трудностей и иллюстрируется рис. 13.11. Здесь, пожалуй, полезно обратить внимание на то, что когда в функции plot указывается имя процедуры без списка ее параметров, то указатель масштаба должен просто указывать пределы графических построений по оси х. Рис. 13.10. Построение графика точек с ординатами, заданными элементами вектора. Рис. 13.11. Построение графика функций, заданных процедурами 13.2.10. Построение графиков функций, заданных функциональными операторами Еще одна экзотическая возможность функции plot - построение графиков функций, заданных функциональными операторами.

Она иллюстрируется рис. 13.12. Рис. 13.12. Построение графиков функции, заданной функциональными операторами. Имена функции без указания списка параметров в круглых скобках тоже по существу являются функциональными операторами.

Так что и они могут использоваться при построении графиков упрощенными способами. 13.2.11. Построение графиков функций, заданных параметрически В ряде случаев для задания некоторых зависимостей используются заданные параметрически уравнения, например x fl t и y f2 t при изменении переменной t в некоторых пределах. Точки х,у наносятся на график в Декартовой системе координат и соединяются отрезками прямых.

Для этого используется функция plot в следующей форме plot fl t ,f2 t ,t tmin tmax ,h,v,p Если функции fl t и f2 t содержат периодические функции например, тригонометрические , то для получения замкнутых фигур диапазон изменения переменной t задается обычно 0 2 Pi или -Pi Pi. К примеру, если задать в качестве функций fl t и f2 t функции sin t и cos t , то будет получен график окружности.

Рис. 13 3 показывает другие, чуть менее тривиальные примеры построения графиков такого рода. Задание указателей масштаба h и v, а также параметров р не обязательно. Но, как и ранее, позволяет получить вид графика, удовлетворяющий всем требования пользователя.Рис. 13.13. Построение функции, заданных параметрически. 13.2.12. Построение графиков функций в полярной системе координат Графики в полярной системе координат представляют собой линии, которые описывает конец радиус вектора r t при изменении угла t в определенных пределах - от tmin до tmax. Построение таких графиков производится также функцией plot, которая записывается в следующем виде plot r t ,theta t ,t tmin tmax ,h,v,p,coords polar Здесь существенным моментом является задание полярной системы координат опцией coords polar.

Рис. 13.14 дает примеры построения графиков функций в полярной системе координат.

Графики параметрических функций и функций в полярной системе координат отличаются огромным разнообразием.Снежинки и узоры мороза на стеклах, некоторые виды кристаллов и многие иные физические объекты подчиняются математическим закономерностям, положенным в основу построения таких графиков. 13.3. Построение ЗО-графиков с помощью функция plot3d 13.3.1. Особенности применения функции plot3d Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d. Она может использоваться в следующих форматах Рис. 13.14. Построение графиков функций в полярной системе координат. plot3d exprl, x a b, y c d,p plot3d f, a b, c d,p plot3d exprf,exprg,exprh , s a b, t c d,p plot3d f,g,h , a b, c d,p . В двух первых формах plot3d применяется для построения обычного графика одной поверхности, в других формах - для построения графика с параметрической формой задания поверхности. В приведенных формах f, g и h - функции, expri - выражение, отражающее зависимость от х и у, exprf, exprg и exprh - выражения, задающие поверхность параметрически, s, t, а и b - числовые константы действительного типа, end - числовые константы или выражения действительного типа, х, у, s и t - имена независимых переменных и р - параметры-опции.

Параметры для функции plot3d задаются аналогично их заданию для функции plot. 13.3.2. Параметры функции plot3d С помощью параметров р можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков, выводя или убирая линии каркасной сетки, вводя функциональную окраску поверхностей, меняя угол их обзора и параметры освещения, изменяя вид координатных осей и т.д. Следующие параметры функции plot3d задаются аналогично их заданию для функции plot axesfont font color coords font labelfont linestyle numpoints scaling style symbol thickness title titlefont Однако функция plot3d имеет ряд дополнительных специфических параметров ambientlight r,g,o Задает интенсивность красного red , зеленого green и синего blue цветов в относительных единицах от 0 до 1 . axes f Задает вид координатных осей BOXED, NORMAL, FRAME и NONE, по умолчанию NONE . grid m,nl Задает число линии каркаса поверхности. gridstyle x Задает стиль линий каркаса х rectangular или triangular . labels x,y,z Задает надписи по осям х, у и z - строки, по умолчанию пустые . light phi,theta,r,g, b Задает углы, под которыми расположен источник освещения поверхности и интенсивности составляющих г, g и b цвета. lightmodel x Задает режим яркости соответственно, none , lightl , light2 , light3 и light4 . orientation theta, phi Задает углы ориентации поверхности по умолчанию 45 градусов . projection r Задает перспективу при обзоре поверхности г может быть числом 0 или 1, задающим включение или выключение перспективы, а также одной из строк FISHEYE , NORMAL , или ORTHOGONAL это соответствует численному значению г 0, 0.5, или 1, соответственно, причем по умолчанию задано projection ORTHOGONAL . shading s Задает направления, по которым меняется цвет функциональной окраски значения s могут быть XYZ, XY, Z, ZGREYSCALE, ZHUE, NONE . tickmarks l,n,m Задает характер маркировки по осям х, у и z числа 1, п и m имеют значения не менее 1 . view zmin zmax или Ixmin xmax,ymin ymax,zmin zmax Задает минимальные и максимальные координаты поверхности для ее видимых участков. 13.3.3. Выбор и пересчет координат ЗО-графиков Для трехмерных графиков возможно задание 31-го типа координатных систем с помощью параметра соога5 Тип координатнои системь1. Поскольку на экране дисплея поверхность отображается только в прямоугольной системе координат и характеризуется координатами х, у и z, то для представления поверхности, заданной в иной системе координат с координатами u, v и w используются известные 46,47 формулы для преобразования u, v, w х, у, z . Ниже представлены типы координатных систем для трехмерной графики и соответствующие формулы преобразования bipolarcylindrical х a sinh v cosh v -cos u у a sin u cosh v -cos u z w bispherical х sin u cos w d у sin u sin w d z sinh v d где d cosh v - cos u cardiodal x u v cos w lГ2 v 2 -2 у u v sin w ir2 v 2r2 z u 2-v 2 2 2 v 2 -2 cardiodcylindrical x u 2-v 2 2 u -2 v 2 -2 у u v u 2 v-2 2 z w casscylindrical x a 2 l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l - l 2 exp u cos v l - l 2 y a 2 l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l l 2 -exp u cos v -l l 2 z w confocalellip x a 2-u a 2-v a 2-w a 2-b 2 a-2-c-2 Y l 2 у b 2-u b 2-v b 2-w b 2-a 2 b 2-c 2 l 2 z c 2-u 2-v c 2-w c 2-a 2 c 2- 2 l 2 confocalparab x a 2-u si 2-v a 2-w V2-a 2 l 2 у b 2-u b 2-v b-2-w b-2-a-2 Г 1 2 z a 2 b 2-u-v-w 2 conical x u v w a b у u b v 2 - h 2 b 2-w 2 a 2-V2 Y l 2 z u a a 2 - v 2 a 2 - w 2 a-2-b 2 l 2 cylindrical x u cos y у u sin y z w ellcylindrical x a cosh u cos v у a sinh u sin v z w ellipsoidal x u v w a b у u -b Mv -b b -w Aa -b l b z u-2-a 2 a 2-v 2 a 2-w 2 a 2-b 2 l 2 a hypercylindrical x u 2 v 2Y l 2 u l 2 y u v ni -iO-O z w invcasscylindrical x a 2- l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l - l 2 exp u cos v l l 2 exp 2 u 2 exp u cos v l l 2 у a 2- l 2 2 exp 2 u 2 exp u cos v l - l 2 - exp u cos v -l l 2 exp 2 u 2 exp u cos v l l 2 z w invellcylindrical x a cosh u cos v cosh ur2-sin v 2 у a sinh u sin v cosh u 2-sin v 2 z w invoblspheroidal x a cosh u sin v cos w cosh u 2-cos v 2 у a cosh u sin v sin w cosh u 2-cos v 2 z a sinh u cos v cosh u 2-cos v 2 invprospheroidal x a sinh u sin v cos w cosh u 2-sin v 2 у a sinh u sin v sin w cosh u 2-sin v 2 z a cosh Ll cos v cosh u 2-s n v 2 logcoshcylindrical x !i Pi n cosh uY2-sm vY2 у 2 a Pi arctan tanh u tan v z w maxwellcylindrical x a Pi u l exp u cos v у a Pi v exp u sin v z w oblatespheroidal x a cosh u sin v cos w у a cosh u sin v sin w z a sinh u cos v paraboloidal x u v cos w у u v sin w z u 2 - v 2 2 paraboloidal2 x 2 u-a a-v a-w a-b - l 2 у 2 u-b b-v b-w a-b - l 2 z u v w-a-b paracylindrical x u 2 - v 2 2 у u v z w prolatespheroidal x a sinh u sin v cos w y a sinh u sin v sin w z a cosh u cos v rectangular x и у v z w rosecylindrical x 1Г2 у-2 - 1 2 и - 1 2 1Г2 у-2Г 1 2 у u 2 v 2y l 2 -uY l 2 u 2 v 2V 2 z w sixsphere x u u 2 v 2 w 2 у v u -2 v 2 v 2 z w u 2 v 2 w 2 spherical x u cos v sin w у u sin v sin w z u cos w tangentcylindrical x u ir2 v 2 у v u 2 v 2 z w tangentsphere x u-costwVdj v у u sin w ir2 v 2 z v u 2 v 2 toroidal x a sinh v cos w d у a sinh v sin w d z a sin u d где d cosh v - cos u Эти формулы полезно знать, поскольку в литературе встречаются несколько отличные формулы пересчета.

Вид графиков трехмерных поверхностей очень сильно различается в разных координатных системах. По умолчанию трехмерные графики строятся в прямоугольной системе координат - rectangular. 13.4. Примеры построения трехмерных поверхностей с помощью функции plot3d 13.4.1. Простейшее построение ЗО-поверхности с разным стилем На рис. 13.15 показано два примера простейших построений графиков трехмерной поверхности.

По умолчанию строится каркасная поверхность с функциональной окраской тонких линий каркаса и удалением невидимых линий.

Чтобы график выглядел более четким, построение в первом примере задано линиями черного цвета с помощью параметра color-black.

Рис. 13.15. Примеры простейшего построения трехмерных поверхностей.

Во втором примере та же поверхность построена с параметром style patch, что приводит к появлению ее функциональной окраски увы, на рисунках в книге воспринимаемой как окраска оттенками серого цвета . Функциональная окраска делает рисунки более информативными.

Помимо значения path, можно задавать ряд других стилей для построения трехмерных поверхностей point - точками, contour - контурными линиями, line - линиями, hidden - линиями каркаса с удалением невидимых линий, wireframe - линиями каркаса со всеми видимыми линиями, patchnogrid - с раскраской, но без линий каркаса, patchcontour - раскраска с линиями равного уровня. Цвет трехмерного графика может задаваться как и у двумерного опцией со1ог с, где с - цвет оттенки цвета указывались выше . Возможно еще два алгоритма задания цвета HUE - алгоритм с заданием цвета в виде color f x,y RGB - алгоритм с заданием цвета в виде color exprr,exprg,exprb , где выражения exprr, exprg и exprb - выражения, задающие относительную значимость от О до 1 основных цветов красного - red, зеленого - green и синего - blue . Удачный выбор углов обзора фигуры и применение функциональной окраски позволяют придать построениям трехмерных фигур весьма эффектный и реалистический вид. 13.4.2. Построение фигур в различных системах координат Как отмечалось, вид графика трехмерной поверхности существенно зависит от выбора координатной системы.

Рис. 13.16 показывает пример построения нелинейного конуса в цилиндрической системе координат. Для задания такой системы координат используется параметр coords cylindrical.

Рис. 13.16. Нелинейная цилиндрическая поверхность.

При построении этой фигуры также использована цветная функциональная окраска.

Кроме того, этот пример иллюстрирует вывод над рисунком титульной надписи.

Приведем еще один пример построения трехмерной поверхности - на этот раз в сферической системе координат рис. 13.17 . Здесь функция задана вообще элементарно просто - в виде числа 1. Но поскольку выбрана сферическая система координат, то строится поверхность шара единичного радиуса.

При этом построении также задана функциональная окраска поверхности и вывод титульной надписи.

О том, насколько необычным может быть график той или иной функции в различных системах координат свидетельствует рис. 13.18. На нем показан график параметрически заданной функции от одной координаты t - sin t 3 , построенный в сферической системе координат.

Кстати, рис. 13.18 иллюстрирует возможность одновременного наблюдения более чем одного окна - в данном случае двух окон. В одном окне задано построение графика, а в другом - построен сам график.

При построении графика в отдельном Рис. 13.17. Построение шарообразной поверхности в сферической системе координат.

Рис. 13.18. График еще одной поверхности в сферической системе координат. окне появляется панель форматирования графика.

С помощью ее довольно наглядных кнопок-пиктограмм можно легко скорректировать вспомогательные параметры графика окраску, наличие линий каркаса, ориентацию и др 13.4.3. Построение графиков параметрически заданных поверхностей На рис. 13.19 показано построение поверхности при полном ее параметрическом задании.

В этом случае поверхность задается тремя формулами, содержащимися в списке. Рис. 3.19. График ЗО-поверхности при полном параметрическом ее задании.

В данном случае функциональная окраска задана из меню, поэтому в состав функции соответствующий параметр не введен. 13.4.4. ЗО-график как графический объект Принадлежность функции plot и plot3D к функциям в ряде книг их именуют операторами, командами или процедурами наглядно выявляется при создании графических объектов. Графический объект - это в сущности обычная переменная, которой присваивается значение графической функции.

После этого такая переменная, будучи вызванной, вызывает построение соответствующего графика.

Пример этого дан на рис. 13.20. В данном случае строится кольцо Мебиуса, свойства которого например, плавный переход с одной стороны ленты на другую уже много веков будоражат воображение людей. 13.4.5. Задание 30-графики в виде процедуры Язык программирования Maple V допускает применение в процедурах любых внутренних функций, в том числе графических.

Пример такого применения дает рис. 13.21. Рис. 13.20. Пример задания и вывода трехмерного графического объекта Рис. 13.21. Пример создания и применения процедуры ЗО-графики. Этот пример показывает еще один способ задания и построения кольца Мебиуса. Практически любые графические построения можно оформлять в виде процедуры и использовать такие процедуры в своих документах.Подробно создание графических процедур описано в книге 38 , поставляемой в составе коммерческой реализации системы. 13.4.6. Построение ряда трехмерных фигур Функция plot3d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве.

При этом она обладает уникальной возможностью - автоматически вычисляет точки пересечения фигур и показывает только видимые части соответствующих фигур. Это создает графики фигур, выглядящие вполне естественно.Для построения таких графиков достаточно вместо одной функции указать ряд функций.

Пример такого построения для двух функций показан на рис. 13.22. Рис. 13.22. Пример построения двух SD-фигур, пересекающихся в пространстве. Фигура на рис. 13.22 показана после ее коррекции и функциональной окраски в ручном режиме - с применением инструментальной панели окна графики. 13.5. Графические структуры двумерной и трехмерной графики 13.5.1. Понятие о графических структурах Функции PLOT и PLOT3D, с именами, набранными большими буквами, позволяют создавать графические структуры, содержащие ряд графических объектов si, s2, s3 и т.д. Каждый объект может представлять собой точку или фигуру, полигон, надпись и т.д позиционированную с высокой точностью в заданной системе координат.

Координатные оси также относятся к графическим объектам. Важно отметить, что функции PLOT и PLOT3D одновременно являются данными, описывающими графики. Их можно записывать в виде файлов и после считывания файлов представлять в виде графиков.Особые свойства этих функций подчеркиваются записью их прописными буквами. 13.5.2. Графические структуры двумерной графики Графическая структура двумерной графики задается в виде PLOT sl, s2, s3, ,o где si, s2, s3 - графические объекты или элементарные структуры-примитивы , о - общие для структуры опции . Основными объектами являются POINTS xl,yl , x2,y2 , xn,ynj - построение точек, заданных их координатами CURVES xll,yll , xln,yln , x21,y21 , x2n,y2n , xml,yml xmn,yrnn - построение кривых по точкам POLYGONS xll,yll , xln,yln , x21,y2H, x2n,y2n , xml,yml , xmn.ymn - построение замкнутой области - полигона последняя точка должна совпадать с первой ТЕХТ х, у , string , horizontal, vertical - вывод текстовой надписи string , позиционированной координатами х,у с горизонтальной или вертикальной ориентацией.

Опция horizontal может иметь значения ALIGNLEFT или ALIGNRIGHT, указывающие, в какую сторону влево или вправо идет надпись.

Аналогично опция vertical может иметь значения ALIGNABOVE или ALIGNBELOW, указывающие, в каком направлении вверх или вниз идет надпись.

При задании графических объектов структур si, s2, s3 и т.д. можно использовать описанные выше опции и параметры, например, для задания стиля STYLE-построения POINT, LINE, PATCH, PATCHNOGRID , толщины линий THICKNESS кроме координатных осей , символа SYMBOL, которым строятся точки кривых BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND и DEFAULT , стиля линий LINESTYLE, цвета COLOUR например, COLOUR HUE.O для закраски непрерывной области , типа шрифта FONT, вывода титульной надписи TITLE string , имени объекта NAME string , стиля координатных осей AXESSTY-LE BOX, FRAME, NORMAL, NONE, или DEFAULT и т.д. Следует отметить, что опции в графических структурах задаются несколько иначе - с помощью круглых скобок.

Например, для задания фонта TIMES ROMAN с размером символов 16 надо записать FONT TIMES, ROMAN, 16 , а для задания стиля координатных осей в виде ящика прямоугольника - AXESSTYLE BOX и т.д. На рис. 13.23 показан пример графических построений при использовании основных структур двумерной графики.

Как видно из этого примера, графическая двумерная структура позволяет задать практически любые двумерные графики и текстовые надписи в пределах одного рисунка. 13.5.3. Графические структуры трехмерной графики Графические структуры трехмерной графики строятся на основе функции plot3d PLOT3D sl, s2,s3, ,o В качестве элементарных графических структур можно использовать уже описанные выше объекты POINTS, CURVES, POLYGONS и TEXT - разумеется, с добавлением в списки координат третьей координаты. Пример такого построения дан на рис. 13.24. Рис. 13.23. Пример использования структур 20-графики Рис. 13.24. Пример создания ЗО-структуры.

Кроме того, могут использоваться следующие специальные трехмерные структуры.Одна из них - структура GRID a b,c d,listlist - задание поверхности над участком координатной плоскости a,b c,d по данным заданным списочной переменной listlist zll, zln , z21, z2n , zml zmn с размерностью nxm. Заметим, что эта переменная задает координату z для равноотстоящих точек поверхности.

На рис. 13.25 показан пример создания трехмерной графической структуры на базе GRID. Изображение представляет собой линии, соединяющие заданные точки.Рис. 13.25. Пример задания графической структуры типа GRID. Еще один тип трехмерной графической структуры это MESH listlist - задание трехмерной поверхности по данным списочной переменной listlist, содержащей полные координаты всех точек поверхности задание последней возможно при неравномерной сетке . Обычная форма задания этой структуры следующая MESH xll,yll,zll , xln,yln,zln , x21,y21,z21 , x2n,y2n,z2n , xml,yml,zml xmn,ymn,zmn . Пример задания такой структуры представлен на рис. 13.26. Описанные структуры могут использоваться и в программных модулях. Много примеров их описано в книге 38 . Дополнительные данные о возможностях графических структур можно найти в справочной базе данных системы Maple V. Рис. 13.26. Пример задания графической структуры типа MESH. 13.6. Графика пакета plots 13.6.1. Общая характеристика пакета plots Пакет plots содержит почти полсотни графических функции, существенно расширяющих возможности графики системы Maple V. В реализации R4 этот пакет содержит следующие функции animate Создает мультипликацию 2D графиков функций. animated Создает мультипликацию 3D графиков функции. changecoords Смена системы координат. compiexplot Построение 20-графика на комплексной плоскости. complexplot3d Построение 30-графика в комплексном пространстве. conformal Конформный график комплексной функции. contourplot Строит координатную систему контурши-м графика. contourplot3d Строит контурный 30-график. coordplot Строит координатную систему 20-графиков. coordplotSd Строит координатную систему ЗО-графиков. cylinderplot Строит график 3D поверхности в цилиндрических координатах. densityplot Строит двумерный график плотности. display Строит график списка графических объектов. display3d Строит график списка трехмерных графических объектов. fieldplot Строит график 2D векторного поля. fieldplot3d Строит график 3D векторного поля. gradplot Строит график 2D векторного поля градиента. gradplot3d Строит график 3D векторного поля градиента. implicitplot Строит 2D-гpaфик неявной функции. implicitplot3d Строит ЗО-график неявной функции. inequal Строит график решения системы неравенств. listcontplot Строит 20-контурный график для сетки значении. listcontplot3d Строит ЗО-контурныи график для сетки значении. listdensityplot Строит 20-график плотности для сетки значении. listplot Строит 20-график для листа значений. listplot3d Строит ЗО-график для листа значении. loglogplot Строит логарифмический 20-график функции. logplot Строит полулогарифмический 2D- график функции. matrixplot Строит ЗО-график со значениями Z, определенными матрицей. odeplot Строит 2D или 3D график решения дифференциальных уравнений. pareto Строит pareto-диаграммы гистограмма график линиями . pointplot Строит 2D точечный график. pointplot3d Строит 3D точечный график. polarplot Строит график 2D кривой в полярной системе координат. polygonplot Строит график одного или большего количества многоугольников. polygonplot3d Строит график одного или большего количества многоугольников. polyhedraplot Строит трехмерный график многогранника. replot Перестраивает заново график. rootlocus Строит график корней уравнения с комплексными неизвестными. semilogplot Строит график функции с логарифмическим масштабом по горизонтали. setoptions Устанавливает опции по умолчанию для 2D графиков. setoptions3d Устанавливает опции по умолчанию для 3D графиков. spacecurve Строит 3D пространственные кривые. sparsematrixplot Строит ZD-график отличных от нуля значений матрицы. sphereplot График 3D- поверхности в сферических координатах. surfdata Строит ЗD-гpaфик поверхности по численным данным. textplot Выводит на заданное место 2D-гpaфикa текст. textplot3d Выводит на заданное место ЗD-rpaфикa текст. tubeplot Строит ЗD-rpaфики типа трубы.

Среди этих функций надо отметить прежде всего средства построения графиков ряда новых типов например, в виде линий равного уровня, векторных полей и т.д а также средства объединения различных графиков в один. Особый интерес представляют две первые функции, обеспечивающие оживление анимацию как двумерных графиков animate , так и трехмерных animate3d . Этот пакет вполне заслуживает описания в отдельной книге.

Но, учитывая ограниченный объем данной книги, мы рассмотрим лишь несколько характерных примеров его применения.

Заметим, что для использования приведенных функций нужен вызов пакета, например, командой with plots . 13.6.2. Построение графиков функций в двумерной полярной системе координат В пакете plots есть функция для построения графиков в полярной системе координат. Она имеет вид polarplot L,o , где L - объекты для задания функции, график которой строится и о - необязательные опции.

На рис. 13.27 представлен пример построения графика с помощью функции polarplot.

Рис. 13.27. График, построенный с помощью функции polarplot.

В данном случае для большей выразительности опущено построение координатных осей, а график выведен линией удвоенной толщины.

График очень напоминает лист клена, весьма почитаемого в Канаде и ставшего эмблемой системы Maple V. 13.6.3. Построение графиков линиями равного уровня Графики, построенные с помощью линий равного уровня их также называют контурными графиками часто используются в картографии.

Эти графики получаются, если мысленно провести через трехмерную поверхность ряд равноотстоящих плоскостей, параллельных плоскости, образованной осями Х и Y графика. Линии равных высот образуются в результате пересечения этих плоскостей с трехмерной поверхностью.

Для построения таких графиков используется функция contourplot, которая может использоваться в нескольких форматах contourplot exprl,x a b,y c d contourplot f,a b,c d contourplot exprf,exprg,exprh ,s a b,t c d contourplot f,g,h ,a b,c d contourplot3d exprl,x a b,y c d contourplot3d f,a b,c d contourplot3d exprf,exprg,exprh ,s a b,t c d contourplot3d f,g,h ,a b,c d Здесь - f, g и h - функции, expri - выражение, описывающее зависимость высоты поверхности от координат х и у, exprf, exprg и exprh - выражения, зависящие от s и t, описывающие поверхность в параметрической форме, а и b - константы вещественного типа, end - константы или выражения вещественного типа, х, y s и t - имена независимых переменных.

На рис. 13.28 показано построение графика линиями равного уровня для одной функции.

Опция filled true обеспечивает автоматическую функциональную окраску замкнутых фигур, образованных линиями равного уровня.

Порою это придает графику большую выразительность, чем при построении только линий равного уровня.

Рис. 13.28. Пример построения графика функции линиями равного уровня. Функция contourplot позволяет строить и графики ряда функций.Пример такого построения показан на рис. 13.29. Множество окружностей на этом рисунке создается четырьмя поверхностями, заданными функциями с1, с2, сЗ и с4. Следует отметить, что, хотя графики в виде линий равного уровня выглядят не так эстетично и естественно, как обычные графики трехмерных поверхностей ибо требуют осмысления результатов , у них есть один существенный плюс - экстремумы функций на таких графиках выявляются порой более четко, чем на обычных графиках.

Например, небольшая возвышенность или впадина за большой горой на обычном графике может оказаться невидимой, поскольку заслоняется горой - на графике линий равного уровня этого эффекта нет. Однако выразительность таких графиков сильно зависит от числа линий равного уровня.

Рис. 13.29. Пример построения графиков многих функций линиями равного уровня. 13.6.4. График плотности Иногда трехмерные поверхности отображаются на плоскости как графики плотности окраски - чем выше высота поверхности, тем плотнее окраска.Такой вид графиков создается функцией densityplot. Она может записываться в двух форматах densityplot exprl,x a b,y c d densityplot f,a b,c d , где назначение параметров соответствует указанному выше для функции contour-plot. На рис. 13.30 дан пример построения графика такого типа. Нетрудно заметить, что в плоскости X,Y график разбит на квадраты, плотность окраски которых различна.

В нашем случае плотность окраски задается оттенками серого цвета. Обычно графики такого типа не очень выразительны, но имеют свои области применения.

К примеру, оттенки окраски полупрозрачной жидкости могут указывать на рельеф поверхности дна емкости, в которой находится эта жидкость. 13.6.5. График векторного поля двумерный Еще один распространенный способ представления трехмерных поверхностей - графики векторного поля. Они часто применяются для отображения полей, например, электрических зарядов. Особенность таких графиков в том, что для их построения используют стрелки, направление которых соответствует направлению изменения градиента поля, а длина - значению градиента.

Рис. 13.30. График плотности для заданной функции. Для построения таких графиков в двумерной системе координат используется функция fieldplot fieldplot f, rl, r2 или fieldplot f, rl, r2 где f - вектор или множество векторов, задающих построение, и rl и r2 - пределы. На рис. 13.31 показан вид одного из таких графиков. Следует отметить, что для получения достаточного числа отчетливо видных стрелок надо поработать с форматированием графиков.Иначе графики этого типа могут оказаться не очень представительными.

Так, слишком короткие стрелки превращаются в черточки и даже точки, не имеющие острия, что лишает графики наглядности. Чуть позже мы рассмотрим построение на одном рисунке графиков плотности и векторного поля, а также создание более наглядных жирных стрелок. 13.6.6. Графики в разных системах координат В пакете plots имеется множество функций для построения графиков в различных системах координат.Объем книги не позволяет воспроизвести примеры на все виды таких графиков, ибо их многие сотни.

Да это и не надо - во встроенных в справочную систему примерах можно найти все нужные сведения. Так что ограничимся лишь парой примеров применения функции tubeplot C, options , позволяющей строить весьма наглядные фигуры в пространстве, напоминающие трубы или иные объекты, образованные фигурами вращения. На рис. 13.32 показана одна из таких фигур. Она поразительно напоминает раковину улитки.Функциональная окраска достигнута доработкой графика с помощью панели форматирования.

Смысл параметра С в документе Conchoid легко понять из этого примера. Рис. 13.31. Двумерный график типа векторного поля. Рис. 13.32. Построение графика улитки . Эта функция может использоваться и для построения ряда трубчатых объектов в пространстве. При этом автоматически задается алгоритм удаления невидимых линий даже для достаточно сложных фигур.Это наглядно иллюстрирует пример на рис. 13.33, показывающий фигуру цепи . Не правда ли реалистичность этой фигуры поражает воображение? Рис. 13.33. Фигура цепи , построенная с применением функции tubeplot.

Можно немало размышлять о том, как природа узнала о математических закономерностях, положенных в основу тех или иных геометрических объектов, или, возможно, о гениальности людей, сумевших найти такие закономерности для природных объектов.В наше время Maple V открывает огромные возможности для таких людей. 13.6.7. Графики типа трехмерного векторного поля Наглядность ряда графиков можно существенно увеличить, строя их в трехмерном представлении.

Например, для такого построения векторных полей можно использовать графическую функцию fieldplot3d. В отличие от функции fieldplot, она строит стрелки как бы в трехмерном пространстве рис. 13.34 . Все сказанное об особенностях таких двумерных графиков остается справедливым и для графиков трехмерных.В частности, для получения достаточной их представительности нужно тщательно отлаживать форматы представления таких графиков. 13.6.8. Контурные трехмерные графики В отличие от векторных графиков, контурные графики трехмерных поверхностей, наложенные на сами эти поверхности, нередко повышают восприимчивость таких поверхностей - подобно изображению линий каркаса.

Для одновременного построения трехмерной поверхности и контурных линий на них служит функция contourplot3d. Пример ее применения показан на рис. 13.35. Рис. 13,34. Построение векторного поля в трехмерном пространстве. Рис. 13.35. График трехмерной поверхности с контурными линиями.

Для повышения наглядности этот график доработан с помощью панели форматирования графиков. В частности, включена функциональная окраска и подобраны углы обзора фигуры, при которых отчетливо видны впадина и пик фигуры. 13.6.9. Техника визуализации сложных пространственных фигур Приведенные выше достаточно простые примеры дают представление о высокой степени визуализации геометрических фигур с помощью пакета plots.Здесь мы рассмотрим еще несколько примеров визуализации трехмерных фигур.

Многие видели катушки индуктивности, у которых провод того или иного диаметра намотан на тороидальный магнитный сердечник. Математическая абстракция такой катушки показана на рис. 13.36. Рис. 13.36. Top с обмоткой - толстой спиралью. В документе рис. 13.36 для функции tubeplot использовано довольно большое число параметров-опций. Не всегда их действие очевидно.Поэтому на рис. 13.37 показано построение трех взаимно пересекающихся торов с разными типами их построения.

Этот рисунок дает также наглядное представление о возможности построения нескольких графических объектов представленных функциями р1, р2 и рЗ с помощью функции tubeplot. Наконец, на рис. 13.38 показано построение тора с тонкой обмоткой.Рекомендуется внимательно просмотреть запись функции tubeplot в этом примере и в примере, показанном на рис. 13.36. Можно также поэкспериментировать с опциями графика, от которых сильно зависит его представительность и наглядность.

В ряде случаев наглядно представленные фигуры можно строить с применением объединения однотипных фигур. Пример графика подобного рода представлен на рис. 13.39. Здесь готовится список графических объектов s, смещенных по вертикали.С помощью функции display они воспроизводятся на одном графике, что повышает реалистичность изображения. Последний пример имеет еще одну важную особенность - он иллюстрирует задание графической процедуры, в теле которой используются функции пакета Рис. 13.37. Три пересекающихся тора с разным стилем построения.

Рис. 13.38. Top с тонкой обмоткой. plots. Параметр п этой процедуры задает число элементарных фигур, из которых строится полная фигура. Таким образом, высотой фигуры или шириной шины можно управлять. Возможность задания практически любых графических процедур средствами Maple-языка существенно расширяет возможности системы Maple. Рис. 13.39. Построение фигуры, напоминающей шину автомобиля.Наглядность графиков типа графика плотности и векторного поля может быть улучшена их совместным применением.

Пример его показан на рис. 13.40. Рис. 13.40. Пример совместного применения графиков плотности и векторного поля. Этот пример иллюстрирует использование жирных стрелок для обозначения векторного поля. Наглядность графика повышается благодаря наложению стрелок на график плотности, который лучше, чем применение стрелок, дает представление о плавности изменения высоты поверхности, заданной функцией f. 13.6.10. Построение анимационных 20-графиков Визуализация графических построении и результатов моделирования различных объектов и явлении существенно повышается при использовании средств оживления анимации изображений. Пакет plots имеет две простые функции для создания анимационных графиков.

Первая из этих функций служит для создания анимации графиков, представляющих функцию одной переменной х - F anirnate F, х, t или animate F, х, t,o При этом параметр х задает пределы изменения по переменной х, а параметр t - пределы изменения дополнительной переменной t. Суть анимации заключается в построении серии картинок как в мультфильме , причем каждая картинка фрейм связана с изменяемой во времени переменной t. Если надо явно задать число кадров N анимации, то в качестве опции о надо использовать опцию frame N. Рис. 13.41 показывает применение функции animate.

Рис. 13.41. Первый стоп-кадр анимации.В документе рис. 13.41 строятся две функции - не создающая анимации функция sin x и создающая анимацию функция sin i x i x , причем в качестве переменной t задана переменная i. Именно ее изменение и создает эффект анимации.

При исполнении функции animate и выделении полученного графика появляется панель проигрывания анимационных клипов. Она имеет кнопки управления с обозначениями, принятыми у современных магнитофонов.Пустив кнопку пуска с треугольником, острием обращенным вправо , можно наблюдать изменение вида кривой для функции sin i x i x . К сожалению, картинки в книгах всегда неподвижны и воспроизвести эффект анимации трудно.

Ограничимся приведением еще одного стоп-кадра рис. 13.42 . Нетрудно заметить, что на нем показана функция sin i x i x в иной фазе, чем на рис. 13.41. Рис. 13.42. Второй стоп-кадр анимации. Анимация графиков может найти широкое применение при создании учебных материалов.С ее помощью можно акцентировать внимание на отдельных параметрах графиков и образующих их функций. 13.6.11. Построение анимационных ЗО-графиков Аналогичным образом может осуществляться и анимация трехмерных фигур.

Для этого используется функция animate3d animate3d F,x, y,t,o Здесь F - описание функции или функций , х, у и t - диапазоны изменений переменных х, у и t. Для задания числа кадров N надо использовать необязательную опцию о в виде frame N. На рис. 13.43 показано построение анимационного графика.После задания функции, график которой строится, необходимо выделить график и запустить анимационный проигрыватель - как это описывалось для анимации двумерной графики.

На рис. 13.43 показано также контекстно-зависимое меню, которое появляется при нажатии правой клавиши мыши в момент, когда курсор ее находится в поле выделенного графика. Нетрудно заметить, что с помощью этого меню и открываемых им подменю можно получить доступ к опциям трехмерной графики и выполнить необходимые операции форматирования, такие, как включение цветовой окраски, выбор ориентации фигуры и т.д. Рис. 13.43. Подготовка анимационного ЗО-графика. 13.6.12. Использование для анимации опции insequence Еще один путь создания анимационных рисунков - создание ряда графических объектов р1, р2, рЗ и т.д. и их последовательный вывод с помощью функции display pl,p2,p3, ,insequence true display3d pl,p2,p3 ,insequence true Здесь основным моментом является применение опции insequence true. Именно она обеспечивает вывод одного за другим серии графических объектов р1, р2, рЗ и т.д. 13.7. Графика пакета plottools 13.7.1. Состав пакета plottools Инструментальный пакет графики plottools служит для создания графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т.д. Его применение позволяет разнообразить графические построения и строить множество графиков специального назначения.

В пакет входят следующие графические примитивы arc arrow circle cone cuboid curve cutin cutout cylinder disk dodecahedron ellipse ellipticArc hemisphere hexahedron hyperbola icosahedron line octahedron pieslice point polygon rectangle semitorus sphere tetrahedron torus Вызов примитивов пакета осуществляется после загрузки пакета в память ПК командой with plottools . Обычно примитивы используются для задания графических объектов, которые затем выводятся функцией display.

Возможно, применение этих примитивов совместно с различными графиками. 13.7.2. Примеры применения примитивов пакета plottools Большинство примитивов пакета plottools имеет довольно очевидный синтаксис. Например, для задания дуги используется примитив агс с, г, а Ь где с - список с координатами центра окружности, к которой принадлежит дуга, г - радиус этой окружности, а Ь - диапазон углов.

На месте многоточия могут стоять обычные опции, задающие цвет дуги, толщину ее линии и т.д. Все формы записи графических примитивов и их синтаксис можно найти в справочной системе.

На рис. 13.44 показано применение нескольких примитивов двумерной графики для построения дуги, окружности, закрашенного красным цветом эллипса и отрезка прямой.

Кроме того, на графике показано построение синусоиды. Во избежание искажений пропорций фигур надо согласовывать диапазон изменения переменной х. Рис. 13.44. Примеры применения примитивов 20-графики пакета plottools. Аналогичным образом используются примитивы построения трехмерных фигур. На рис. 13.45 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве.Нетрудно заметить, что графика пакета приблизительно с точностью до сегмента фигур вычисляет области пересечения фигур.

С помощью контекстно-зависимого меню правой клавиши мыши рис. 13.45 можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т.д. В частности, фигуры на рис. 13.45 показаны в перспективе. Рис. 13.45. Примеры применения примитивов 30-графики пакета plottools.С другими возможностями этого пакета читатель теперь справится самостоятельно или с помощью данных справочной системы. 13.7.3. Построение графиков из множества фигур В ряде случаев бывает необходимо строить графики, представляющие собой множество однотипных фигур.

Для построения таких графиков полезно использовать функцию повторения seq f,i a b . На рис. 13.46 показано построение фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг одной из вершин. Рис. 13.46. Построение фигуры, образованной вращением прямоугольника. В этом примере полезно обратить внимание еще и на функцию поворота фигуры - rotate.Именно сочетание этих двух функций мультиплицирования и поворота базовой фигуры - прямоугольника позволяет получить сложную фигуру, показанную на рис. 13.46. 13.8. Графическое представление решений дифференциальных уравнений 13.8.1. Применение функции odeplot пакета plots Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots.

Эта функция используется в следующем виде odeplot s,vars,r,o , где s - запись в выходной форме дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, полученных при их численном решении функцией dsolve, vars - переменные, r - параметр, задающий пределы решения например, а Ь и о - не обязательные дополнительные опции.

На рис. 13.47 представлен пример решения одного дифференциального уравнения с выводом решения у х с помощью функции odeplot. Рис. 13.47. Пример решения одного дифференциального уравнения.В этом примере решается дифференциальное уравнение y x cos x 2 y x при у 0 2 и х, меняющемся от -5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной diff. Результатом построения является график решения у х . На другом примере рис. 13.48 представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнении.

Здесь с помощью функции odeplot строятся графики двух функций - у х и z x . Рис. 13.48. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнении В этом примере решается система y x z x z x 3 sin y x при начальных условиях у 0 0, z 0 l и х, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25. Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений или одного дифференциального уравнения второго порядка представляется в виде фазового портрета - при этом по осям графика откладываются значения у х и z x при изменении х в определенных пределах.

Рис. 13.49 представляет построение фазового портрета для системы, представленной выше. Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения.Однако для специалистов например, в теории колебаний фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение.

Он более трудоемок при построениях, поэтому возможность Maple V быстро строить фазовые портреты трудно переоценить. 13.8.2. Функция DEplot из пакета DEtools Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools.В него входит ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных уравнений.

Основной из этих функций является функция DEplot. Рис. 13.49. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета.Функция DEplot может записываться в нескольких формах DEplot deqns, vars, trange, eqns DEplot deqns, vars, trange, inits, eqns DEplot deqns, vars, trange, yrange, xrange, eqns DEplot deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, eqns Здесь deqns - лист множество с системой дифференциальных уравнении первого порядка или одиночное уравнение любого порядка, vars - зависимая переменная лист либо множество зависимых переменных, trange - область изменения независимой переменной t, inits - начальные условия для решения, yrange - область изменения для первой зависимой переменной, xrange - область изменения для второй зависимой переменной, eqns - опция, записываемая в виде keyword value.

Замена имен переменных другими в данном случае не допустима.Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения.

Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем только в виде кривых решения.По умолчанию реализуется метод Рунге-Кутта 4-го порядка, что соответствует опции method classi-cal rk4 . Возможна спецификация и других методов см. главу 10 . В каталоге EXAMPLE системы Maple V R4 можно найти файл deplot.mws с многочисленными примерами применения функции DEplot. С функцией DEplot могут использоваться следующие опции о arrows type - тип стрелки векторного поля SMALL , MEDIUM , LARGE , LINE или NONE colour, color arrowcolour - цвет стрелок задается 7 способами dirgrid integer,integer - число линий сетки о умолчанию 20 20 iterations integer - количество итераций, представленное целым числом linecolour, linecolor line info- цвет линии задается 5 способами method rk4 - задает метод решени euler , backeuler , impeuler и rk4 obsrange TRUE,FALSE - задает при TRUE прерывание вычислений, если кривая решения выходит из области обзора scene name,name - задает имена зависимых переменных, для которых строится график stepsize h - шаг решения, по умолчанию равный abs b-a 20, и представленный вещественным значением.

На рис. 13.50 показано решение системы дифференциальных уравнений х- t x t l-y t у t 0,3 y t x t -l , описывающих модель Лотка-Вольтерра при заданных в документе изменениях t, x t и y t . Решение представлено в виде векторного поля, стрелки которого становятся касательными к кривым решения. Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля. Рис. 13.50. Решение системы дифференциальных уравнении Лотка-Вольтерра с выводом в виде графика векторного поля. Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.51. Здесь помимо векторного поля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий.

Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий х 0 у 0 1.2 и х 0 1 и у 0 0.7. Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.

Рис. 13.51. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля. 13.8.3. Функция DEplot3d из пакета DEtools В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых - например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве.

Для этого служит функция DEplot3d. DEplot3d deqns, vars, trange, initset, о DEplot3d deqns, vars, trange, yrange, xrange, initset, o Назначение параметров и опций этой функции аналогично указанному для функции DEplot. Рис. 13.52 поясняет применение функции DEplot3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x t , y t . В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков линий равной высоты.

Другой пример рис. 13.53 показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета.

В этом случае используется координатная система ЗD-гpaфики и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям x t , y t и z t . Вид фазового портрета напоминает разворачивающуюся в пространстве объемную спираль.Функциональная окраска ее делает график эффектным, что, увы, теряется при черно-белом воспроизведении графика.