Р Е Ф Е Р А Т на тему Динамическое представление сигналов Слушателя727 группы Зазимко С.А. Динамическое представление сигналов. Многие задачирадиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решенияэтих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но изнать как он ведет себя во времени, знать его поведение в прошлом и будущем . ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГОПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Данный способполучения моделей сигналов заключается в следующем.Реальный сигналпредставляется суммой некоторыхэлементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени.
Теперь,если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то впределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описаниясигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самымразвивающийся во времени характер процесса. Широкое применение нашли два способадинамического представления.Первый способ в качествеэлементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают черезравные промежутки времени D рис. 1.1 . Высота каждой ступеньки равна приращениюсигнала на интервале времени D. При втором способе элементарнымисигналами служат прямоугольные импульсы.
Эти импульсы непосредственно примыкаютдруг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описаннуювокруг нее рис. 1.2 . рис 1.1 рис 1.2 ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ . Допустим имеется сигнал, математическая модель котороговыражается системой 0, t lt -x, u t 0.5 t x 1 x t x, 1 1, t gt x. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из нулевого в единичное состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2x. Если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одногосостояния в другое будет происходитьмгновенно.Эта математическая модель предельного сигнала получила название функциивключения или функции Хевисайда 0, t lt 0, s t 0.5, t 0, 2 1, t gt 0. В общем случае функция включенияможет быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова 0, t lt t0, s t - t0 0.5, t t0, 3 1, t gt t0. ДИНАМИЧЕСКОЕПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГОСИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим некоторый сигнал S t ,причем для определенности скажем, что S t 0 при t lt 0. Пусть D,2D,3D -последовательность моментов времени и S1,S2,S3 - отвечающая им последовательность значенийсигнала.
Если S0 S 0 - начальное значение, то текущее значениесигнала при любом t приближенно равносумме ступенчатых функций yen s t s0s t s1-s0 s t-D s0s t sk-sk-1 s tkD . k 1 Если теперьшаг D устремить кнулю. то дискретную переменную kD можно заменитьнепрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигналапревращаются в дифференциалы ds ds dt dt , и мы получаем формулудинамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда yen ds S t s0 s t s t-t dt 4 dt 0 Переходя ко второму способудинамического представления сигнала , когда элементами разложения служаткороткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Рассмотрим импульсный сигналпрямоугольной формы, заданный следующимобразом 1 x x u t x s t - s t - 5 x 2 2 При любом выборе параметра x площадь этогоимпульса равна единице yen П u dt 1 - yen Например, если u - напряжение, то П 1 В с. Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясьпо длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должнанеограниченно возрастать.
Предел последовательности таких функций при x 0 носит название дельта-функции , или функцииДирака d t lim u t x x 0 Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другупрямоугольных импульсов рис. 2 . Если Sk - значениесигнала на k- ом отсчете, то элементарный импульс сномером k представляется как hk t Sk s t - tk - s t - tk - D 6 В соответствии спринципом динамического представления исходный сигнал S t должен рассматриваться как сумма такихэлементарных слагаемых yen S t h t 7 k - yen k В этой сумме отличным от нуля будеттолько один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t tk lt t lt t k 1 Теперь, если произвести подстановку формулы 6 в 7 предварительно разделив и умножив на величину шага D, то yen 1 S t Sk s t - tk - s t - tk - D D k - yen D Переходя к пределу при D 0 , необходимо суммирование заменитьинтегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку 1 lim s t - tk - s t - tk - D D 0 D получим искомую формулу динамического представления сигнала yen S t s t d t - t dt - yen Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функциюи произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, гдесосредоточен d - импульс.
Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции. 1 Обобщенные функции как математическиемодели сигналов. В классической математикеполагают, что функция S t должна принемать какие-тозначения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d t не вписывается в эти рамки - ее значениепри t 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичныйинтеграл. Возникает необходимостьрасширить понятие функции как математической модели сигнала.
Для этого вматематике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
Воснове идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение.
Когда мыдержим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон,как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции t может служить, например, значение интеграла yen t j t dt 8 - yen при известной функции j t ,которую называют пробной функцией.
Каждой функции j t отвечает,в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение.
Поэтому говорят, чтоформула 8 задает некоторый функционал на множестве пробных функций j t .Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть , aj1 bj2 a ,j1 b ,j2 . Если этот функционал к тому же еще инепрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j t задана обобщенная функция t 2 .Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, ане как предел соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не заданныеявными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций.
Так, обобщенныефункции можно дифференцировать.И в заключение следует сказать, что в настоящее времятеория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленныеприменения.
На ее основе созданыматематические методы изучения процессов, для которых средства классическогоанализа оказываются недостаточными. 1 Отсюдавытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигналаS t . Система состоит из двух звеньев перемножителя и интегратора. 2 Обобщенныефункции иногда называют также распределениями.