Реферат Курсовая Конспект
Операторы - раздел Программирование, Глава 18 ...
|
Глава 18
ОПЕРАТОРЫ
Операции и операторы
Средние энергии
Средняя энергия атома
Оператор места
Оператор импульса
Момент количества движения
Изменение средних со временем
Операции и операторы
Для того чтобы управиться со всем, что мы до сих пор делали в квантовой механике, достаточно было бы обычной алгебры, но мы все же время от времени демонстрировали особые способы записи квантовомеханических величин и уравнений. Мы хотели бы рассказать теперь немного больше о некоторых интересных и полезных способах описания квантовомеханических величин.
К предмету квантовой механики можно подойти разными способами, и во многих книгах прибегают совсем к иному подходу, чем у нас. Когда вы начнете читать другие книжки, то может оказаться, что вам не удастся сразу связать то, что в них говорится, с тем, что делали мы. Хотя в этой главе мы и получим кое-какие новые результаты, она не похожа на другие главы. У нее совсем иная цель: рассказать о других способах выражения тех же самых физических представлений. Зная это, вы легче поймете, о чем говорится в других книжках. Когда люди впервые начали разрабатывать классическую механику, они неизменно расписывали свои уравнения через х-, у- и z-компоненты. Затем кто-то сделал шаг вперед в указал, что все можно упростить, введя векторные обозначения. Правда, очень часто, чтобы представить себе задачу конкретнее, вы разбиваете векторы обратно на их компоненты. Но обычно все же куда легче делать расчеты и разбираться в существе дела, работая с векторами. В квантовой механике нам тоже удалось упростить запись многих вещей, воспользовавшись идеей «вектора состояния». Вектор состояния |y> ничего общего, конечно, не имеет с геометрическими векторами в трехмерном пространстве; это просто отвлеченный символ, который обозначает физическое состояние, отмечаемое своим «значком» или «названием» y. Представление это весьма и весьма полезно, потому что на языке этих символов законы квантовой механики выглядят как алгебраические уравнения. К примеру, тот наш фундаментальный закон, что всякое состояние можно составить из линейной комбинации базисных состояний, записывается так:
где Сi — совокупность обычных (комплексных) чисел, амплитуд Ci=<i|y>, а |1>, |2>, |3> и т. д. обозначают базисные состояния в некотором базисе, или представлении.
Если вы берете какое-то физическое состояние и что-то проделываете над ним (поворачиваете или ждете в течение времени At или еще что-то), то вы получаете уже другое состояние. Мы говорим: «производя над состоянием операцию, получаем новое состояние». Эту же идею можно выразить уравнением
Операция над состоянием создает новое состояние. Оператор А обозначает некоторую определенную операцию. Когда эта операция совершается над каким-то состоянием, скажем над |y>, то она создает какое-то другое состояние |j>.
Что означает уравнение (18.2)? Мы определяем его смысл так. Умножив уравнение на <i| и разложив |y> по (18.1), вы получите
(|j> — это состояния из той же совокупности, что и |i>. Теперь это просто алгебраическое уравнение. Число <i|j> показывает, какое количество базисного состояния |i> вы обнаружите в |j>, и оно определяется через линейную суперпозицию амплитуд <j|y> того, что вы обнаружите |y> в том или ином базисном состоянии. Числа <i|A^|j> — это попросту коэффициенты, которые говорят, сколько (какая доля) состояния <j|y> входит в сумму. Оператор А численно описывается набором чисел, или «матрицей»
Значит, (18.2) это запись уравнения (18.3) на высшем уровне. А на самом деле даже немножко и сверх того: в нем подразумевается нечто большее. В (18.2) нет ссылки на ту или иную систему базисных состояний. Уравнение (18.3) — это образ уравнения (18.2) в некоторой системе базисных состояний. Но, как известно, система годится любая. Именно это и имеется в виду в (18.3). Операторная манера записи, стало быть, уклоняется от того или иного выбора системы. Конечно, если вам хочется определенности, вы вольны избрать одну из систем. И когда вы делаете этот выбор, вы пишете уравнение (18.3). Значит, операторное уравнение (18.2) — это более отвлеченный способ записи алгебраического уравнения (18.3). Это очень походит на разницу между записью
c=aXb и записью
Первый способ нагляднее. Но если вам понадобятся числа, вы наверняка зададите сперва компоненты относительно некоторой системы осей. Точно так же, если вы хотите дать понять, что за штука А, вам нужно быть готовыми задать матрицу Аij через некоторую совокупность базисных состояний. И пока вы имеете в виду определенную совокупность чисел aij, уравнение (18.2) означает то же, что и (18.3). (И нужно еще помнить, что если уж вы знаете матрицу для одной частной совокупности базисных состояний, то всегда сможете подсчитать матрицу, соответствующую любому другому базису. Матрицу всегда можно преобразовать от одного представления к другому.)
Операторное уравнение (18.2) допускает и другие возможности. Если мы представили себе некоторый оператор А, то его можно применить к любому состоянию |y> и он создаст новое состояние A^ |y>. Временами получаемое таким путем «состояние» может оказаться очень своеобразным — оно может уже не представлять собой никакой физической ситуации, с которой можно встретиться в природе. (Например, может получиться состояние, которое не нормировано на вероятность получить один электрон.) Иными словами, временами мы можем получить «состояния», которые есть математически искусственные образования. Эти искусственные «состояния» могут все равно оказаться полезными, чаще всего в каких-либо промежуточных вычислениях.
Мы уже приводили много примеров квантовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота R^у(q), который, взяв состояние |y>, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии)
, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречались и операторы sх, sу и sz для частиц со спином 1/2.
Оператор J^z определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы e:
Это, конечно, попросту означает, что
В этом примере J^z|y> — это умноженное на h/ie состояние, получаемое тоща, когда вы повернете |y> на малый угол e и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разностью двух состояний.
Еще один пример. Мы имели оператор р^х, он назывался оператором (x-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если D^x (L) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L, то р^х определялось так:
где d — малое смещение. Смещение состояния |y> вдоль оси х на небольшое расстояние d дает новое состояние |y'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек
Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |y>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d/dx это «оператор», действие которого на f(x) создает из f(x) новую функцию f'(x)=df/dx. Другой пример алгебраического оператора — это Ñ2. Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |y>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.
Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!
Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор А^, матрица которого в каком-то базисе есть Aij=<i|A^|j>. Амплитуда того, что состояние A^|y> находится также в некотором другом состоянии |j>, есть <j|A^|y>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что
где А^+ (читается «А с крестом») это оператор, матричные элементы которого равны
A+ij=(Aji)*. (18.9)
Иначе говоря, чтобы получить i, j-и элемент матрицы А+, вы обращаетесь к j, i-му элементу матрицы А (индексы переставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние А^+|j> находится в состоянии |y>, комплексно сопряжена амплитуде того, что А^|y> находится в |j>. Оператор А^+ называется «эрмитово сопряженным» оператору А^. Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то В^+=В^; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.
Оператор места
Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |y> каково среднее значение координаты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией y (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить
электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.
Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.
Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что P(x)=| y (x)|2=y*(x) y(х), значит, среднее х можно записать в виде
Наше уравнение для <x>ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя y оператор, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали
где
и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |a>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |a>, чтобы было
Разложим сперва <y|a> по x-представлению:
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)
Воздействие на |y> оператора х^ для получения |a> равнозначно умножению y (x)=<x|y> на х для получения a (х)=<x|a>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представлении.
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что
Тогда вы сможете доказать поразительную формулу
т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)
А может, вы хотите знать среднее значение x2? Оно равно
Или, если желаете, можно написать и так:
где
Под x^2 подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x2>ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хn или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.
Оператор импульса
Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда
Обозначим теперь через <р|y> амплитуду того, что состояние |y> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|y>; она является функцией от р, как <x|y> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было
Тогда получится
что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.
При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:
Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <y|b> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |b> определяется в импульсном представлении уравнением
Иначе говоря, теперь можно писать
причем
где оператор р^ определяется на языке p-представления уравнением (18.47).
[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:
и что
Выводится это так же. как и для х.
Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора р^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция y (x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|y> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|b> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция y (x)=<x|y>?
Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.
Напишем
Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |b> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию b (x)=<x|b>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|b> связано с <x|b>. Согласно уравнению (14.24),
Если нам известно <р|b>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|b>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через y (x)=<x|y>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем
Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл
Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|b> равно py(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|b>=b(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.
К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная e-ipx/h по х равна (-i/h)pe-ipx/h, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что
Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в
Пока речь идет только о связанных состояниях, y(x) стремится к нулю при х®±¥, скобка равна нулю и мы имеем
А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что
Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:
Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |y>, то ответ был таков:
То же самое в координатном мире записывается так:
Здесь — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.
Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид
В координатном мире соответствующие уравнения таковы:
Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался
В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид
Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |y> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию y (x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одномерных задач) между
В этом перечне мы ввели новый символ для алгебраического оператора (h/i)д/дx:
и поставили под значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.
Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса
При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать
где ех, еy и еz — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:
Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытожено в табл. 18.1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах:
либо
либо
Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между.
Если применить дважды, получим
Это означает, что можно написать равенство
Или, в векторных обозначениях,
(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (нерелятивистская) состоит из кинетической энергии р2/2m плюс потенциальная, а у нас — тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.
Таблица 18.1 • АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В гл. 15 мы определили оператор р^х через оператор смещения D^x [см. формулу (15.27)]:
где d — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и
Но в правой части стоит просто разложение y (x+d) в ряд Тэйлора, а y (x+d)— то, что получится, если сместить состояние влево на б (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения р^ согласуются!
Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х1: х2, x3,... . Запишем ее в виде y (x1, х2, х3, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на d. Новая волновая функция
может быть записана так:
Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |y> (назовем его полным импульсом) равняется
Но это все равно, что написать
Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.
Во многих книжках для используется один и тот же символ: физика в них одна и та же, да и удобнее все время обходиться без новых букв. А из контекста всегда ясно, что имеется в виду.
Уравнение (18.38) не означает, что |a>=x|y> [ср. (18.35)]. Сокращать на <х| нельзя, потому что множитель х перед <x|y> для каждого состояния <х| имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии |х> [см. (18.40)].
Можно выразить это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы ни выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний, являющихся состояниями с определенной энергией. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния.
Элемент объема мы обозначаем dОбъем. Он попросту равен dxdydz, а интеграл берется от -¥ до +¥ по всем трем координатам.
– Конец работы –
Используемые теги: Операторы0.04
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Операторы
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов