Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |y>, которое не является стационарным? Раз у си­стемы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоя­нии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состоя­ния |y> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |h_i>. Каждое из состояний |h_i> обладает определенной энер­гией e_i, В этом представлении

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некото­рое число Е_i, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |h_i>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E₁, иногда Е₂, иногда Е₃ и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E_1? равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |h₁>, т. е. квадрату модуля амплитуды С₁=<h₁|y>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E_i есть

P_i=|C_i|². (18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E₁, Е₇, E₁₁, Е₉, E₁, E₁₀, Е₇, E₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄ и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E₁ (скажем, оно вышло N₁ раз), сколько раз вышло Е₂ (скажем, N₂ раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энер­гий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех N_i, которую мы обозначим N:

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь собы­тия мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается на­ступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N_i/N должно (при больших N) мало отличаться от P_i— вероятности обнаружить состояние |h_i>, хоть и не будет точно совпадать с Р_i из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энер­гию <E>_ср; тогда мы вправе сказать

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно вели­чин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где a_i—различные допустимые значения наблюдаемой вели­чины, а Р_i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состо­янию |y>. Его средняя энергия равна

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

Теперь будем рассматривать левое <y| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <y|j>, где |j> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |h_i> в количестве

Е_i<h_i|y>.

Но вспомним теперь, что такое |h_i>. Состояния |h_i> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е_i—просто число, то правая часть совпадает с |h_i>Е_i, а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комби­нацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

Средняя энергия состояния |y> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |y> опе­ратором Н^ и затем умножьте на <y|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только прив­лекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего го­ворить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно вы­разить наше состояние через какую угодно совокупность базис­ных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Н_ij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энер­гию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычисле­на из

где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы H_ij. Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них H^|j>=e|j>, так что <i|H^|j>=E_jd_ij и

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть L^_z есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для со­стояния |y> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту ко­личества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором А^, то среднее значение А в состоянии |y> дается формулой

Под этим подразумевается

где