Реферат Курсовая Конспект
Изменение средних со временем - раздел Программирование, Операторы Теперь Мы Познакомим Вас С Еще Одной Интересной Вещью: Вы Узнаете, Как Средни...
|
Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор А^, в который время явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как х^ или р^.
[А исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала V(x, t), меняющийся во времени.] Теперь представим, что мы вычислили <A>ср в некотором состоянии |y>, т. е.
Как <A>ср будет зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа V(x, t). Но даже если оператор от t не зависит, например оператор А^=х^, то соответствующее среднее может зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как может такое движение получиться из (18.76), если А от времени не зависит? Дело в том, что во времени может меняться само состояние |y>. Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как |y(t)>. Теперь мы хотим показать, что скорость изменения <A>ср
дается новым оператором, который мы обозначим. Напомним, что это оператор, так что точка над А вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи
нового оператора, определяемого равенством
Задачей нашей будет найти оператор.
Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,
Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана
Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно
Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по t. Поскольку каждое y зависит от t, мы имеем
Наконец, заменяя производные ихвыражениями (18.78) и (18.80), получаем
а это то же самое, что написать
Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что
Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А.
Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили
Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует х? Мы утверждаем, что это должно быть
Что это такое? Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором
. В этом представлении коммутатор равен
Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию y(х) и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите
Но это то же самое, что и
так что мы обнаруживаем, что
или что
Прелестный результат. Он означает, что если среднее значение х меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу т. Точно как в классической механике.
Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости равен
Опять все можно подсчитать в x-представлении. Напомним, что р^ обращается в d/dx, а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию V (в), но только во втором слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете
или
Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните — это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, что происходит внутри атома.
Существенное отличие квантовой механики в том, что р^х^ не равно х^р^. Они отличаются на самую малость — на маленькое число h. Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что х^р^-р^х^ не совсем нуль.
История этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию y(х) и нашел уравнение для нее, а Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, лишь бы хр-рх было равно h/i, чего можно было добиться, определив их с помощью особого вида матриц. На нашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое — и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера — объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать, что обе теории эквивалентны — мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Операторы"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Изменение средних со временем
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов