Покер интереснее, если в игре участвуют несколько человек. Базовый протокол мысленного покера легко может быть распространен на трех и более игроков . В этом случае криптографический алгоритм также должен быть коммутативным.
(1) Алиса, Боб и и Кэрол создают пары открытый ключ/закрытый ключ.
(2) Алиса создает 52 сообщения, по одному для каждой карты колоды. Эти сообщения должны включать н е-которую уникальную случайную строку, чтобы Алиса могла проверить их подлинность на последующих этапах протокола. Алиса шифрует все сообщения своим открытым ключом и посылает их Бобу в прои з-вольном порядке.
Еа(М„)
(3) Боб, который не может прочитать не одно сообщение, случайным образом выбирает пять из них. Он ши ф-
рует их своим открытым ключом и посылает обратно Алисе.
Ев(ЕА(Мп))
(4) Боб отправляет Кэрол оставшиеся 47 сообщений.
ЕА(Мп)
(5) Кэрол, которая не может прочитать не одно сообщение, случайным образом выбирает пять из них. Она
шифрует их своим открытым ключом и посылает Алисе.
ЕС(ЕА(М„))
(6) Алиса, которая не может прочитать ни одно из полученных сообщений, расшифровывает их своим закр ы-
тым ключом и посылает обратно Бобу или Кэрол (в соответствии с тем, от кого она их получила).
DA(EB(EA(Mn)))= EB(Mn)
DA(Ec(EA(Mn)))= ЕС(М„)
(7) Боб и Кэрол расшифровывают сообщения своими ключами, чтобы узнать свои карты
DB(EB(Mn))
Dc(Ec(Mn))
(8) Кэрол случайным образом выбирает пять из оставшихся 42 сообщений и п осылает Алисе. ЕА(Мп)
(9) Алиса расшифровывает сообщения, чтобы узнать свои карты. DA(EA(Mn))
(10) В конце игры Алиса, Боб и Кэрол раскрывают свои карты и пары ключей, чтобы каждый мог убедиться в
отсутствии мошенничества.
Дополнительные карты раздаются подобным же образом. Если карта нужна Бобу или Кэрол, любой из них берет зашифрованную колоду и повторяет протокол с Алисой, Если карта нужна Алисе, то тот, у кого сейчас находится зашифрованная колода, посылает ей случайную карту.
В идеале, этап (10) является обязательным. Свои "руки" в конце протокола должны открывать не все игроки, а только те, которые не спасовали. Так как этап (10) в протокол только для контроля мошенничества, возможны какие-нибудь улучшения.
В покере интересно только, не смошенничал ли победитель. Все остальные могут мошенничать сколько влезет, раз уж они все равно проигрывают. (В действительности это не совсем верно. Кто-то, проигрывая, может собирать данные о стиле игры в покер других игроков.) Итак, взглянем на случаи выигрыша различных игроков.
Если выигрывает Алиса, она раскрывает свою "руку" и свои ключи. Боб может использовать закрытый ключ Алисы для проверки правильности действий Алисы на этапе (2), то есть проверить, что каждое из 52 сообщений соответствует отдельной карте. Кэрол может проверить, что Алиса не лжет о своей "руке", шифруя карты открытым ключом Алисы и проверяя, что они соответствуют шифрованным сообщениям, которые она послала Алисе на этапе (8).
Если выигрывают Боб или Кэрол, победитель раскрывает свои карты и ключи. Алиса может убедиться в правильности карт, проверив свои случайные строки. Она может также убедиться, что сданы были именно эти карты, шифруя их открытым ключом победителя и проверяя, что они совпадают с зашифрованными сообщ е-ниями, полученными на этапах (3) или (5).
Этот протокол не защищен от сговора игроков-мошенников. Алиса и другой игрок могут объединиться и безнаказанно вместе надувать третьего игрока. Следовательно, важно проверять все ключи и случайные строки каждый раз, когда игроки раскрывают свои карты. И если вы сидите за виртуальным столом с двумя игроками, которые никогда одновременно не раскрывают свои карты, причем один из них сдает (в предыдущем протоколе это Алиса) кончайте игру.
Все это красиво в теории, но реализовать все это на компьютере весьма непросто. В реализации для трех и г-роков на трех различных Sparc-станциях восемь часов требуется только для тасования колоды, так что лучше поиграть в настоящий покер [513].