“Исследование задач целочисленного программирования”

Санкт-Петербургский Государственный университет

Аэрокосмического приборостроения

 

РУКОВОДСТВО

К лабораторной работе

“Исследование задач целочисленного программирования”

 

Санкт-Петербург

 

 

Введение

В рамках изучения учебной дисциплины «Системы поддержки принятия решений» обучаемыми выполняется цикл из 7 лабораторных работ, в ходе проведения которых студенты приобретают необходимые умения в построении и исследовании математических моделей, описывающих различные классы задач выбора в сложных технико-экономических системах (ТЭС), а также получают навыки решения указанных задач с использованием современных технических и программных средств, разработанных на базе новых информационных технологий.

При этом в ходе последовательного выполнения лабораторных работ предполагается постоянное усложнение решаемых задач выбора, заключающееся в переходе от линейных математических моделей выбора с линейной целевой функцией и ограничениями к нелинейным моделям, от детерминированных моделей к стохастическим моделям, от статических моделей выбора к динамическим моделям выбора, от задач выбора с одним отношением предпочтения к задачам выбора с многими отношениями предпочтения. Главная особенность исследования всех перечисленных математических моделей, описывающих процессы подготовки и принятия решений, заключается в том, что их рассмотрение осуществляется с единых позиций, базирующихся на методологических и методических основах системного анализа и теории принятия решений. Вместе с тем, для облегчения понимания студентами в ходе проведения лабораторных работ особенностей применения изучаемых методов и алгоритмов, в качестве основной математической модели, описывающей процессы подготовки и принятия решений, была выбрана модель с линейной целевой функцией и ограничениями. Традиционно указанные математические модели применяются для описания и исследования задач линейного и целочисленного программирования. Однако существуют специально разработанные подходы (методики), позволяющие, используя методы декомпозиции, релаксации, детерминизации и скаляризации, сводить сложные задачи многокритериального выбора в условиях неопределённости воздействия внешней среды к задачам математического программирования.

 

 

Цель лабораторной работы

- закрепление теоретических знаний, получаемых студентами на лекционных и самостоятельных занятиях по решению задач целочисленного… - развитие практических навыков в постановке задач целочисленного… - ознакомление с особенностями применения современных пакетов прикладных программ для решения задач целочисленного…

Теоретические основы работы

Общая характеристика задач подготовки и принятия решений в сложных технико-экономических системах

Среди системных направлений науки ведущее место занимают системный анализ и системотехника. Системный анализ может рассматриваться как развитие,… К настоящему времени в мировой и отечественной литературе опубликовано… Одной из актуальных проблем, связанных с активной человеческой деятельностью всегда была и будет оставаться проблема…

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В Древней Греции Диофант (II-III в.) формулирует уравнения, в которых искомые переменные – целые. Например, для уравнения первой степени, а0+а1х1=0,… Для уравнения с двумя неизвестными: а1х1+а2х2=0, где а1, а2 – целые, решение… 10х1–5х2 = 0 или х1=0,5х2. (2.2.1)

Методические указания по выполнению лабораторной работы

Каждый студент получает у преподавателя индивидуальное задание на выполнение лабораторной работы. В процессе лабораторной работы необходимо: 1) подготовить исходные данные для решения задачи целочисленного программирования с использованием ППП QSB и ТП Excel…

Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий на выполнение лабораторной работы

1) 2x1 + 1x2 ® max 1x1 + 1x2 £ 13 3x1 + 2x2 ³ 12 3x1 - 1x2 ³ 3 3x1 - 2x2 £ 12 x1 , x2 ³ 0, целое 3) 2x1 + 3x2 ® max 1x1 - 1x2 £ 2 2x1 + 1x2 ³ 10 -1x1 - 2x2 £ 10 3x1 + 2x2 £ 31 x1 , x2 ³ 0, целое 5) 1x1 + 3x2 ® max 4x1 - 1x2 ³ 4 3x1 - 1x2 £ 12 1x1 + 4x2 £ 35 1x1 + 3x2 ³ 14 x1 , x2 ³ 0, целое 7) 3x1 + 1x2 ® max 2x1 + 1x2 £ 22 3x1 - 2x2 £ 16 6x1 - 5x2 ³ 2 1x1 + 4x2 ³ 14 x1 , x2 ³ 0, целое 9) 1x1 + 2x2 ® max 3x1 + 1x2 £ 24 2x1 - 1x2 £ 6 -1x1 + 1x2 £ 3 2x1 + 3x2 ³ 14 x1 , x2 ³ 0, целое 11) 1x1 + 3x2 ® max 1x1 - 1x2 £ 2 -1x1 + 3x2 £ 12 1x1 + 3x2 £ 22 2x1 + 1x2 ³ 4 x1 , x2 ³ 0, целое 13) 3x1 + 1x2 ® max -1x1 + 3x2 £ 15 3x1 - 1x2 £ 16 1x1 + 4x2 ³ 14 3x1 - 1x2 ³ 3 x1 , x2 ³ 0, целое

2) 1x1 + 3x2 ® max 1x1 + 1x2 £ 13 2x1 + 3x2 ³ 18 -1x1 + 1x2 £ 6 2x1 - 1x2 £ 2 x1 , x2 ³ 0, целое 4) 3x1 + 1x2 ® max 2x1 - 1x2 £ 10 2x1 + 2x2 ³ 10 3x1 - 1x2 ³ 4 2x1 + 1x2 £ 16 x1 , x2 ³ 0, целое     8) 2x1 + 1x2 ® max 3x1 + 1x2 £ 23 3x1 - 1x2 £ 13 -3x1 + 2x2 £ 4 1x1 + 1x2 ³ 7 x1 , x2 ³ 0, целое 10) 3x1 + 1x2 ® max 2x1 + 3x2 £ 35 3x1 - 2x2 £ 13 3x1 - 1x2 ³ 3 2x1 + 3x2 ³ 13 x1 , x2 ³ 0, целое 12) 1x1 + 2x2 ® max 3x1 - 1x2 £ 11 -3x1 + 2x2 £ 9 1x1 + 1x2 £ 13 1x1 + 2x2 ³ 13 x1 , x2 ³ 0, целое 14) 1x1 + 2x2 ® max 1x1 + 3x2 £ 17 2x1 - 1x2 £ 6 1x1 + 2x2 ³ 6 -1x1 + 1x2 £ 3 x1 , x2 ³ 0, целое

 

 

15) 1x1 + 1x2 ® max 4x1 - 1x2 £ 20 -1x1 + 3x2 ³ 6 -1x1 + 2x2 ³ 10 2x1 + 3x2 £ 15 x1 , x2 ³ 0, целое 17) 1x1 + 2x2 ® max 2x1 + 3x2 ³ 12 -2x1 + 3x2 £ 12 1x1 + 1x2 £ 13 -1x1 + 3x2 ³ 3 x1 , x2 ³ 0, целое 19) 3x1 + 2x2 ® max 1x1 + 2x2 ³ 10 -1x1 + 1x2 £ 2 2x1 + 3x2 £ 31 2x1 - 1x2 £ 10 x1 , x2 ³ 0, целое 21) 3x1 + 1x2 ® max 3x1 + 1x2 ³ 14 -1x1 + 3x2 £ 12 4x1 + 1x2 £ 35 -1x1 + 4x2 ³ 4 x1 , x2 ³ 0, целое

16) 1x1 + 2x2 ® max 1x1 + 1x2 £ 9 3x1 - 1x2 £ 15 -3x1 + 1x2 £ 4 2x1 + 1x2 ³ 4 x1 , x2 ³ 0, целое 18) 3x1 + 1x2 ® max 3x1 + 2x2 ³ 18 -1x1 + 2x2 £ 2 1x1 + 1x2 £ 13 1x1 - 1x2 £ 6 x1 , x2 ³ 0, целое 20) 1x1 + 3x2 ® max 2x1 + 2x2 ³ 10 -1x1 + 2x2 £ 10 1x1 + 2x2 £ 16 -1x1 + 3x2 ³ 4 x1 , x2 ³ 0, целое

 

 

Приложение 2

Использование пакета прикладных программ qsb в процессе принятия решений

П.2.1. Общие сведения о QSB

При изложении данного материала воспользуемся материалом учебного пособия [10].

QSB – это набор программ (русифицированный авторами пособия), с помощью которого можно «проигрывать» различные варианты решения экономических и производственных задач, выявлять оптимальные из них и анализировать полученные результаты, используя различные методы.

Запуск QSBосуществляется вводом команды: progl и, после появления функционального меню, нажатием цифры 9 . Далее на экране появится главное менюсистемы:

QSB - Количественные Системы для бизнеса!
Код программа	Код программа
1 Линейное программирование 2 Целочисленное программирование 3 Транспортная задача 4 Задача о назначениях 5 Сетевое моделирование (NET) 6 Сетевое моделирование (СРМ) 7 Сетевое моделирование (PERT 8 Динамическое программирование)	9 Управление запасами А Теория очередей (расписаний) В Имитационное моделирование С Вероятностные модели D Марковские модели Е Экстраполяция тенденций F Определение типа принтера G Выход из QSB

Линейное программирование решает задачи ЛП, включающие от 40 переменных (без учёта дополнительных и искусственных) и 40 ограничений (без учёта граничных условий), используя симплекс-метод.

Целочисленное программированиереализует алгоритм метода ветвей и границ для решения смешанных задач целочисленного программирования размерностью до 20 переменных и 20 ограничений.

Транспортная задача решает транспортные задачи, содержащие до 50 пунктов отправления и до 50 пунктов назначения, используя для получения начального допустимого решения метод северо-западного угла и метод аппроксимации Фогеля, а для оптимального плана – метод потенциалов.

Задача о назначениях предназначена для решения Венгерским методом задач о назначении, включающих до 60 работ и 60 кандидатов.

Сетевое моделирование (NET)содержит три алгоритма для анализа сетей размерностью до 150 ветвей и до 75 узлов: алгоритм кратчайшего пути (определяет кратчайший путь от начального узла сети до любого другого), алгоритм максимального потока (находит максимальный поток от начального узла до конечного) и алгоритм минимального размаха дерева (устанавливает минимальную длину полного пути.

Сетевое моделирование (СРМ) определяется раннее и позднее время начала и окончания работ методом критического пути для сетей, включающих до 200 работ.

Сетевое моделирование (PERT)анализирует сети объёмом до 200 работ методом PERT.

Динамическое программирование решает три задачи ДП размерностью до 20 этапов с 50 пунктами в каждом: задачу о дилижансе, задачу о рюкзаке, задачу управления запасами.

Теория очередей (расписаний) анализирует работу одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с ограниченной и неограниченной длиной очереди и различными законами распределения времени обслуживания.

Имитационное моделированиеиспользует метод Монте-Карло для анализа систем очередей с 20 каналами обслуживания, 20 очередями, 100 заявками в очереди максимум.

Вероятностные модели обеспечивает проведение дисперсионного и байесовского анализа, анализа платёжной матрицы и дерева решений. При дисперсионном анализе по заданным исходным и вероятностям вычисляется среднее и дисперсия. При байесовском анализе по априорным вероятностям состояний природы и условным вероятностям исходов определяются совместные, безусловные и апостериорные вероятности. При анализе платёжной матрицы размерностью до 40 состояний природы и до 40 альтернатив рассчитываются различные критерии. Программа анализирует деревья решений, включающие до 80 ветвей с заданной вероятностью.

Марковские модели позволяют найти вероятность нахождения системы в заданном состоянии в заданное время с помощью марковских моделей (общее число состояний – не более 50).

Экстраполяция тенденций вычисляет простое и скользящее среднее, производит простое и двойное экспоненциальное сглаживание, а также линейную регрессию.

Определение типа принтера. В начале каждого сеанса работы необходимо задать тип принтера (если планируется его использование), для чего и предусмотрена эта опция.

Выход из QSB служит для окончания работы пользователя с системой.

Для выбора пункта меню нужно выделить его курсором с помощью клавиш ¯ , ­ , ¬ , ® , и нажать Enter ; или нажать «горячую клавишу», соответствующую коду программы.

При работе с пунктами 1-Е на экране появляется функциональное меню:

Добро пожаловать в линейное программирование! Варианты работы с LP: Если вы работаете с системой впервые, то выберите опцию 1.
Опция	Функция Помощь по LP Ввод новой задачи Чтение задачи с диска Просмотр/Печать исходных данных Решение задачи Запись задачи на диск Изменение задачи Просмотр/Печать итогового решения Возврат в главное меню Выход из QSB

Функция 1 – выводит краткое описание используемой программы (в данном случае ЛП); 2 – служит для ввода исходных данных новой задачи непосредственно с клавиатуры; 3 – предназначена для ввода исходных данных задачи из файла; 4 – осуществляет вывод исходных данных на экран и/или принтер; 5 – обеспечивает решение задачи и просмотр этого процесса по шагам; 6 – сохраняет исходные данные задачи в файле; 7 – производит корректировку исходных данных путём изменения количества переменных, ограничений или значений коэффициентов задачи; 8 – выводит на экран и/или принтер итоговое решение; 9 – обеспечивает выход в главное меню системы; 0 – позволяет окончить работу с системой.

Процедура принятия решения с использованием QSB сводится к четырём этапам: постановке задачи, подготовке исходных данных, решению задача и анализу полученных результатов. Рассмотрение этих этапов для различных видов задач будет изложено далее.

П.2.2. Порядок решения задач целочисленного программирования с помощью QSB

Подготовьте ЭММ задачи для решения на ЭВМ, исключив условия неотрицательности переменных: В нашей задаче: ЦФ на максимум, 10 переменных и 9 ограничений.

Приложение 3

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ EXCEL 7.0

3.3.1. Блок-схема решения задачи

Последовательность необходимых работ, выполняемых при решении задач линейного программирования с помощью Excel, приведена на блок-схеме (рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1

Подробное описание этих работ и составляет содержание данной главы.

3.3.2. Ввод условий задачи

Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:

1.Создание формы для ввода условий задачи.

2.Ввод исходных данных.

3.Ввод зависимостей из математической модели.

4.Назначение целевой функции.

5.Ввод ограничений и граничных условий.

Последовательность работ рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов, исходные данные которой приведены на рис. 3.1.6, а математическая модель имеет вид (3.1.8).

Алгоритм 3.3.1. Ввод данных для решения задачи
линейного программирования

1.Для задачи, приведенной на рис. 3.1.6, сделать форму для ввода условий задачи (рис. 3.3.2).

Рис. 3.3.2

Весь текст на рис. 3.3.2 (и в дальнейшем) является комментарием и на решение задачи не влияет.

Рис. 3.3.3

2.Ввести исходные данные в форму (рис. 3.3.2).

 

Необходимые исходные данные приведены на рис. 3.1.6.

Переход от рис. 3.1.6 к рис. 3.3.2 показан на рис. 3.3.3.

3.Ввести зависимости из математической модели (3.1.8).

Для наглядности (но не обязательно!) можно перейти к режиму представления формул (алг. 2.1.12). При этом ввод данных приводится на рис. 3.3.4, а режим представления формул ¾ на рис 3.3.5.

Рис. 3.3.4

Рис. 3.3.5

3.1. Ввести зависимость для целевой функции:

Ø Курсор в F6.

Ø Курсор на кнопку Мастер функций.

Ø М1.

На экране: диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.

Ø Курсор в окно Категорияна категорию Математические.

Ø М1.

Ø Курсор в окноФункции на СУММПРОИЗВ.

Ø M1.

Ø Далее.

На экране: диалоговое окно (рис. 3.3.6).

Рис. 3.3.6

Ø В массив 1 ввести В$3:E$3.

Заметим, что во все диалоговые окна адреса ячеек удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести.

Ø В массив 2 ввести В6:Е6.

Ø Готово.

На экране: рис. 3.3.4, рис. 3.3.5 (в F6 введены значения целевой функции).

3.2. Ввести зависимости для левых частей ограничений:

Ø Курсор в F6.

Ø Копировать в буфер.

Ø Курсор в F9.

Ø Вставить из буфера.

На экране: в F9 введена функция, как это показано на рис. 3.3.5.

Ø Скопировать F9 в F10:F11.

На экране: в F10:F11 введены функции, как это показано на рис. 3.3.5.

На этом ввод данных в таблицы (рис. 3.3.4, рис. 3.3.5) закончен.

Алгоритм 3.3.2. Работа в диалоговом окне Поиск решения

Сервис, Поиск решения...

На экране: диалоговое окно Поиск решения (рис. 3.3.7).

Рис. 3.3.7

2.Назначить целевую функцию:

Ø Курсор в окно Установить целевую ячейку.

Ø Ввести адрес: F6.

Ø Ввести направление целевой функции: Максимальному значению.

3.Ввести адреса искомых переменных:

Ø Курсор в поле Изменяя ячейки.

Ø Ввести адреса: B3:E3.

Добавить...

На экране: диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 3.3.8).

Рис. 3.3.8

5.Ввести граничные условия на переменные (Прод1 ¾ Прод4) ³ 0:

B3 >= B4, C3 >= C4, D3 >= D4, E3 >= E4.

Ø В окне Ссылка на ячейку ввести B3.

Ø Курсор на стрелку.

Ø М1.

На экране: знаки для ввода в ограничения.

Ø Курсор на знак >=.

Ø М1.

Ø Курсор в правое окно.

Ø ВвестиB4.

Ø Добавить...

На экране: опять диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 3.3.8).

Аналогично ввести граничные условия для остальных переменных.

6.Аналогично ввести ограничения:

F9 <= H9, F10 <= H10, F11 <= H11.

Ø После ввода последнего ограничения вместо Добавить... ввести ОК.

На экране: диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 3.3.7).

Если при вводе задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делается с помощью командИзменить...,Удалить.

На этом ввод условий задачи заканчивается. На очереди следующий шаг ¾ решение задачи.

3.3.3. Решение задачи

Решение задачи производится сразу же после ввода данных по алг. 3.3.2, когда наэкране находится диалоговое окно Поиск решения (рис. 3.3.7).

Алгоритм 3.3.3. Решение задачи линейного
программирования

Параметры...

На экране: диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 3.3.9).

Рис. 3.3.9

С помощью команд, находящихся в этом диалоговом окне, можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. С наиболее важными командами, применимыми при решении конкретных задач, мы будем знакомиться по мере необходимости. Вместе с тем, команды, используемые по умолчанию, подходят для решения большей части практических задач.

Начнем знакомство с командами, которые могут вводиться при решении задач всех классов.

Максимальное время

Служит для назначения времени в секундах, выделяемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32767 с (более 9 часов!). Значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства задач.

Предельное число итераций

Служит для назначения числа итераций. Используемое по умолчанию значение 100 подходит для решения большинства задач.

После этих пояснений продолжим решение задачи.

2.Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.

3. ОК.

На экране: знакомое уже диалоговое окно Поиск решения (рис. 3.3.7).

4. Выполнить.

На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения. Решение найдено (рис. 3.3.10) и результат оптимального решения задачи приведены в таблице (рис. 3.3.11).

Рис. 3.3.10

Рис. 3.3.11

На рис. 3.3.11 видно, что в оптимальном решении

Прод1 = В3 = 10,

Прод2 = С3 = 0,

Прод3 = D3 = 6,

Прод4 = Е3 = 0.

При этом максимальная прибыль будет составлять F6 = 1320, а количество использованных ресурсов равно

трудовых = F9 =16,

сырья = F10 = 84,

финансов = F11 = 100.

Таково оптимальное решение рассматриваемой задачи распределения ресурсов. Однако решение задачи находится не всегда. Если условия задачи несовместны, на экране появляется диалоговое окно (рис. 3.3.12).

Рис. 3.3.12

Необходимые действия в этом случае рассматриваются в 3.3.5.

Если целевая функция не ограничена, то на экране появится диалоговое окно (рис. 3.3.13).

Рис. 3.3.13

Необходимые действия в этом случае рассматриваются в 3.3.6.

 

Приложение 4

Поиск оптимальных решений задач целочисленного программирования с использованием программных средств excel 7.0

Задачи целочисленного программирования решаются аналогично задачам линейного программирования. Основное отличие заключается во вводе требования… Алгоритм 1. Обычное решение задачи целочисленного программирования При выполнении в главе 3 ( см.[11].стр113-136) параметрического анализа для величины располагаемых финансов, равной…

Сервис, Поиск решения...

На экране: диалоговое окно Поиск решения.

3.Ввести:

Ø условия, которые были введены для задачи линейного программирования, решенной в главе 3, по алг. 3.3.2;

Ø требованияцелочисленности:

· Добавить...

На экране: диалоговое окно Добавление ограничений.

· Курсор в окно Ссылка на ячейку.

· Ввести адрес ячейки B3.

· Курсор на стрелку.

· Ввести целое.

· Повторить ввод требования целочисленности для всех целочисленных переменных.

Ø После окончания ввода требований целочисленности вместо Добавить... нажать кнопку ОК.

На экране: диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями.

Параметры...

На экране: диалоговое окно Параметры поиска решения.

5.Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.

6. ОК.

На экране: диалоговое окно Поиск решения.

Выполнить.

8. ОК. На экране: результат решения (рис. 4.2.2).

Литература

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Уч. пособие для студентов экон. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Акулич И.Л., Ворончук И.С. Задачи нелинейного и динамического программирования. – Рига: Изд-во ЛГУ, 1989..

3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели принятия решений в управлении и экономике. – М.: Наука, 1979.

4. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. – М.: Наука, 1979.

5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализ иерархий: Пер. с англ. – М.: Ради и связь, 1989.

6. Князевский Н.В., Князевская В.С. Принятие раскованных решений в экономике и бизнесе: Уч. пособие. – М.: Контур, 1998.

7. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения. – Учебник, М.: ЗАО «Бизнес-школа Интел-Синтез», 1998.

8. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2000.

9. Красников В.С. Разработка управленческих решений. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 1999.

10. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Экономико–математические методы и модели в менеджменте. – Уч. пособие. – СПб.: Изд-во СПб ГТУ, 1999.

11. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. – СПб., ВНV Санкт-Петербург, 1997.

ОГЛАВЛЕНИЕ

введение.............................................................................................. 2

1. цель лабораторной работы.......................................................... 3

2. теоретические основы работы................................................ 3

2.1. Общая характеристика задач подготовки и принятия решений в сложных технико-экономических системах 3

2.2. Постановка и решение задач целочисленного программирования.................................................................... 7

3. Методические указания по выполнению лабораторной работы.............................................................................................. 12

4. форма отчётности по выполненной лабораторной работе 13

Приложение 1. варианты индивидуальных заданий на выполнение лабораторной работы............................................................. 14

Приложение 2. использование пакета прикладных программ qsb в процессе принятия решений............................................. 25

П.2.1. Общие сведения о QSB.............................................................. 25

П.2.2. Порядок решение задач целочисленного программирования с ииспользованием QSB................................................................................... 27

Приложение 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ EXCEL 7.0

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 поиск оптимальных решений задач целочисленного программирования с использованием программных средств excel 7.0

литература................................................................................................ 37