рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

“Исследование задач нелинейного программирования”

“Исследование задач нелинейного программирования” - раздел Программирование, Санкт-Петербургский Государственный Университет...

Санкт-Петербургский Государственный университет

Аэрокосмического приборостроения

 

РУКОВОДСТВО

К лабораторной работе

“Исследование задач нелинейного программирования”

 

Санкт-Петербург

 

 

Введение

В рамках изучения учебной дисциплины «Системы поддержки принятия решений» обучаемыми выполняется цикл из 7 лабораторных работ, в ходе проведения которых студенты приобретают необходимые умения в построении и исследовании математических моделей, описывающих различные классы задач выбора в сложных технико-экономических системах (ТЭС), а также получают навыки решения указанных задач с использованием современных технических и программных средств, разработанных на базе новых информационных технологий.

При этом в ходе последовательного выполнения лабораторных работ предполагается постоянное усложнение решаемых задач выбора, заключающееся в переходе от линейных математических моделей выбора с линейной целевой функцией и ограничениями к нелинейным моделям, от детерминированных моделей к стохастическим моделям, от статических моделей выбора к динамическим моделям выбора, от задач выбора с одним отношением предпочтения к задачам выбора с многими отношениями предпочтения. Главная особенность исследования всех перечисленных математических моделей, описывающих процессы подготовки и принятия решений, заключается в том, что их рассмотрение осуществляется с единых позиций, базирующихся на методологических и методических основах системного анализа и теории принятия решений. Вместе с тем, для облегчения понимания студентами в ходе проведения лабораторных работ особенностей применения изучаемых методов и алгоритмов, в качестве основной математической модели, описывающей процессы подготовки и принятия решений, была выбрана модель с линейной целевой функцией и ограничениями. Традиционно указанные математические модели применяются для описания и исследования задач линейного и нелинейного программирования. Однако существуют специально разработанные подходы (методики), позволяющие, используя методы декомпозиции, релаксации, детерминизации и скаляризации, сводить сложные задачи многокритериального выбора в условиях неопределённости воздействия внешней среды к задачам математического программирования.

 

 

Цель лабораторной работы

- закрепление теоретических знаний, получаемых студентами на лекционных и самостоятельных занятиях по решению задач нелинейного программирования; … - развитие практических навыков в постановке задач нелинейного… - ознакомление с особенностями применения современных пакетов прикладных программ для решения задач нелинейного…

Теоретические основы работы

Общая характеристика задач подготовки и принятия решений в сложных технико-экономических системах

Среди системных направлений науки ведущее место занимают системный анализ и системотехника. Системный анализ может рассматриваться как развитие,… К настоящему времени в мировой и отечественной литературе опубликовано… Одной из актуальных проблем, связанных с активной человеческой деятельностью всегда была и будет оставаться проблема…

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

5.1.1. Основные понятия Согласно определению признака экстремума функция f(x) имеет максимум (минимум)…

Рис. 5.1.2

 

Максимум и минимум функции объединяются понятием экстремум, который может быть как локальным, так и глобальным. На рис. 5.1.2 функция f(x) принимает максимальные значения в вершинах В и D. При этом B > D. В таком случае говорят, что точка В является глобальным максимумом, а точка D — локальным. Аналогично функция f(x) принимает минимальные значения в точках А, С, Е, причем С < A < E. В этом случае С будет глобальным минимумом, а А и Е — локальными минимумами. Из приведенных примеров видно, что глобальным максимумом (минимумом) называют такой максимум (минимум), который больше (меньше) всех остальных.

Рис. 5.1.3

Достаточно часто при введении граничных условий типа х Ј b, показанных на рис. 5.1.3, наибольшее значение функции находится на границе в точке х = b. При этом величина f(b) не удовлетворяет приведенному выше признаку экстремума.

В таких случаях говорят, что в точке х = b находится оптимум функции f(b) = B.

Наибольшее или наименьшее значение функции без учета того, где находится такое значение, — внутри заданного интервала или на его границе — называют оптимумом. Оптимум — более широкое понятие, чем экстремум. Если экстремум есть не у всех функций, то в практических задачах оптимум, как правило, есть всегда. Так же как и экстремумы, оптимумы могут быть локальными и глобальными.

Существующие методы дают возможность находить только локальные оптимумы. Если же есть подозрение, что в заданном интервале аj Ј xj Ј bj целевая функция f(xj) может иметь несколько оптимумов, то этот интервал следует разбить на n интервалов, в каждом интервале определить свои локальные оптимумы, а затем из всех локальных оптимумов выбрать глобальный. В таком случае задача нахождения глобального оптимума сводится к решению ряда задач, в которых ищется локальный оптимум.

В дальнейшем мы будем рассматривать нахождение только локального оптимума. Следует отметить, что в подавляющем большинстве практических экономических и технических задач оптимизации существует только один оптимум. Задачи нелинейной оптимизации с точки зрения методов решения делятся на два класса:

r задачи безусловной оптимизации;

r задачи условной оптимизации.

Задача безусловной оптимизации представляет собой поиск оптимума целевой функциибез всяких дополнительных условий, что записывается:

f(x) ® max(min).

Такие задачи на практике встречаются крайне редко, но метод их решения служит основой для решения практических задач оптимизации.

Задача условной оптимизации в общем случае записывается в уже известном виде (1.1.9):

Такая задача оптимизации кроме целевой функции включает дополнительные условия в виде ограничений и граничных условий.

5.1.2. Поиск решения
при безусловной оптимизации

Задачи нелинейной оптимизации могут решаться различными методами. Методы, реализованные в Excel, относятся к методам поиска, который рассмотрим на таком примере. Представим себе человека, находящегося у подножия горы и стремящегося покорить вершину. Для этого ему нужно идти все выше, выше и выше. Но как идти? Каким маршрутом? Чтобы составить маршрут, нужно, во-первых, знать начальную точку, во-вторых, выбрать путь движения и, наконец, определить, достижение какой точки следует считать достижением цели.

Путь движения можно представить как последовательность шагов, а каждый шаг при этом определяется направлениемдвижения и расстоянием, которое следует пройти в данном направлении. Очевидно, что из любой точки к вершине есть много путей: один пологий, но длинный, другой короткий, но крутой, и между ними бесчисленное множество промежуточных.

Если считать, что гора — это поверхность в трехмерном пространстве, то рассматриваемый пример иллюстрирует идею поиска максимума функции двух переменных. Поиск экстремума функции произвольного числа переменных производится аналогично и ведется следующим образом.

Прежде всего надо задаться координатами начальной точки поиска хj0, . Желательно, чтобы выбранная начальная точка хj0 была как можно ближе к искомому экстремуму, что сократит время поиска. Но как же такую точку выбрать? Если решается реальная задача, то специалист всегда знает ожидаемую область нахождения экстремума, в которой и следует задать начальную точку.

Рис. 5.1.4

Если решающий задачу не является специалистом в данной области, то это к добру не приведет и не только потому, что начальная точка поиска будет выбрана неудачно. Некоторые рекомендации по выбору начальной точки приведены ниже при рассмотрении решения задачи в Excel. Но не будем впадать в пессимизм, будем считать, что задачами оптимизации занимается специалист, знающий свое дело.

Итак, хj0, выбрана. Блок-схема алгоритма поиска приведена на рис. 5.1.4. Графическое изображение такого движения для случая поиска максимума при j = 1,2 показано на рис. 5.1.5.

 

Идея поиска экстремума заключается в следующем:

1.Задать начальную точку хj0, .

2.В заданной точке хj0 определить направление движения на первом шаге b1.

3.Принять величину шага t1.

4.Определить координаты конца первого шага хj1.

Рис. 5.1.5

5.Вычислить значения признака экстремума на первом шаге.

6.Проверить выполнение признака экстремума.

Если условие признака выполняется, то принимается что экстремум находится в точке хj0, если нет — аналогично выполняется второй шаг и так далее до выполнения условия, характеризующего достижение экстремума.

Важный вопрос поиска ¾ признак достижения экстремума, т. е. вершины. В Excel таким признаком является величина относительного приращения функции на каждой итерации:

.

Экстремум считается достигнутым, если выполняется условие

DFk £ DFзад,

где DFзад — точность, назначаемая при решении задачи.

В приведенном алгоритме мы ничего не сказали о том, как же выбирать направление и длину шага на каждой итерации.
А этот вопрос является исключительно важным, т. к. именно он определяет точность полученных результатов и быстроту сходимости, т. е. число итераций, за которое будет достигнут экстремум. Методы выбора направления и длины шага бывают различных типов. Рассмотрим некоторые из них, реализованные в Excel.

Методами поиска называются такие методы, которые для определения направления b и величины шага t используют только значение целевой функции. Такие методы называют такжеметодами нулевого порядка.

Градиентные методы или методы первого порядка — это такие методы, в которых для определения направления b и шага t используются значения первых производных целевой функции и определяется ее градиент.

Методами Ньютона или методами второго порядка называются такие методы, в которых для определения направления b и шага t используются значения вторых производных целевой функции.

Чем выше порядок методов, тем больше вычислений на каждой итерации, но тем меньше требуется итераций. И, естественно, наоборот. Наиболее распространенными являются градиентные методы. Такое положение объясняется тем, что с одной стороны, они не требуют на каждой итерации очень больших вычислений, т. к. вычисляется только целевая функция и ее первые производные, а с другой — у этих методов достаточно хорошая сходимость, т. е. они обеспечивают нахождение экстремума за небольшое число итераций.

Градиентные методы по способу определения направления b и шага t имеют много разновидностей. Заметим, что для практического решения задачи суть этих методов знать совершенно не обязательно.

Таковы основные идеи поиска решения в задачах безусловной оптимизации.

5.1.3. Решение задачи условной оптимизации

Общий случай задачи оптимизации (1.1.9)

как мы уже знаем, является задачей условной оптимизации. Есть целый ряд методов решения таких задач. Рассмотрим реализованный в Excel метод множителей Лагранжа, идея которого заключается в преобразовании задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации, что производится следующим образом.

1.Преобразовать ограничения-неравенства в уравнения

vi(xj) = gi(xj) - bi,

.

2.Записать ограничения в виде

vi(xj) = 0,

.

Аналогично преобразовать граничные условия.

Тогда задача условной оптимизации будет иметь вид:

(5.1.1)

3.Задачу (5.1.1) представить в виде функции Лагранжа

(5.1.2)

где li — множитель Лагранжа.

Физический смысл множителей Лагранжа поясним чуть позже при рассмотрении примера.

4.Определить частные производные и составить систему уравнений

(5.1.3)

5.Решая систему (5.1.3), определить значения li.

6.Подставить значения li в (5.1.2). При этом (5.1.2) будет представлять собой задачу безусловной оптимизации.

7.Полученную задачу безусловной оптимизации решить методами, рассмотренными выше.

Проиллюстрируем метод множителей Лагранжа следующим примером:

(5.1.4)

1.Запишем систему (5.1.4) в форме (5.1.1):

(5.1.5)

тогда

Рис. 5.1.6

 

Графическое представление задач линейного программирования было рассмотрено в главе 2. Те же подходы применимы и для задач нелинейного программирования. Графическая интерпретация задачи (5.1.5) приведена на рис. 5.1.6.

 

2.Составим функцию Лагранжа

(5.1.6)

В (5.1.6) видно, что множитель Лагранжа определяет, как изменится целевая функция при изменении правой части в данном ограничении на единицу. Следовательно, множитель Лагранжа в нелинейной задаче — это аналог двойственной оценки в линейной задаче.

3.Запишем систему уравнений

(5.1.7)

4.В результате решения системы (5.1.7) найдем

. (5.1.8)

5.Подставим (5.1.8) в функцию Лагранжа (5.1.6):

(5.1.9)

Задача (5.1.9) является задачей безусловной оптимизации, решение которой производится методами, рассмотренными выше.

5.2. Решение задач нелинейного
программирования в Excel

5.2.1. Пример задачи
нелинейного программирования

Решение задачи нелинейного программирования рассмотрим на следующем примере. Требуется определить размеры бака, имеющего форму параллелепипеда (рис. 5.2.1) заданного объема.

Рис. 5.2.1

Объем бака

V = abh.

Полная поверхность

S = 2(ab) + 2(a + b)h = 2(ab + (a + b)h). (5.2.1)

Принимаем, что стоимость материала

С = kS, (5.2.2)

где k - стоимость единицы площади материала.

Подставив в (5.2.2) значение (5.2.1), получим

C = 2k(ab + (a + b)h). (5.2.3)

После введения рассмотренных величин сформулируем задачу оптимизации следующим образом:

(5.2.4)

В этой постановке требуется определить размеры бака а, b, h, стоимость которого не должна превышать Сзад, чтобы его объем V был максимальным.

Для решения задачи (5.2.4) принимаем следующие конкретные значения:

k = 10 т.руб./м2,

Cзад = 100 т.руб.

Тогда (5.2.4) будет иметь вид

(5.2.5)

Система (5.2.5) и будет той задачей, на примере которой мы рассмотрим решение задач нелинейного программирования в Excel.

5.2.2. Решение задачи нелинейного
программирования в Excel

Решение задачи нелинейного программирования отличается от решения задачи линейного программирования следующим:

r назначаются начальные значения искомых переменных хj0;

r в диалоговом окне Параметры поиска решения не надо вводить Линейная модель.

Второе отличие пояснения не требует, а о первом необходимо сказать следующее.

Начальные значения хj0, как отмечалось ранее, желательно назначать близкими к ожидаемым оптимальным значениям, что ускорит решение задачи. Но это — пожелание. А обязательные требования заключаются в том, чтобы целевая функция в начальной точке не была равна нулю.

F(хj0) ¹ 0.

Это необходимо, чтобы не было деления на ноль при вычислении DFk.

Решение задачи нелинейного программирования рассмотрим на примере задачи (5.2.5), сформулированной в разделе 5.2.1.

Алгоритм 5.2.1. Ввод данных для задачи
нелинейного программирования

1.Сделать форму для ввода условий задачи (рис. 5.2.2).

2.Ввести:

Ø зависимости для объема и стоимости;

Ø начальные значения хj0;

Ø в ячейки B3, С3, D3, E3 ввести 1 для обеспечения требования F(хj0) № 0.

Рис. 5.2.2

3.В ячейках, в которых будет представлен результат, назначить число знаков после запятой. В нашем примере назначаем в ячейках 2 знака после запятой.

Сервис, Поиск решения...

На экране: диалоговое окно Поиск решения (рис. 5.2.3).

Рис. 5.2.3

5.Ввести:

Ø целевую функцию C8; максимизировать,

Ø изменяемые ячейки B3:D3,

Ø граничные условия B3 >= B4; C3 >= C4; D3 >= D4,

Ø ограничения C9 <= E9.

6.Перейти к решению задачи.

Алгоритм 5.2.2. Решение задачи нелинейного
программирования

Параметры...

На экране: диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 5.2.4).

Рис. 5.2.4

В этом окне назначаются параметры поиска решения.

Отметим следующее:

Ø При поиске оптимального решения смысл этих параметров знать не обязательно, т. к. их значения, применяемые по умолчанию, обеспечивают нормальное решение практических задач.

Ø Все необходимые сведения о параметрах и командах, вводимых в этом диалоговом окне, можно получить, вызвавСправку.

Ø Основные параметры, смысл которых очевиден, а их назначение не требует специальных знаний, приведены ниже.

Максимальное время (в секундах). По умолчанию принимается 100.

Предельное число итераций. По умолчанию принимается 100.

Если этих значений для нахождения решения окажется недостаточно, то на экране появится соответствующее сообщение, после чего вычисление можно повторить при тех же параметрах без их повторного назначения.

Относительная погрешность обеспечивает назначение величины DFзад в признаке достижения оптимального решения

.

Используемая по умолчанию величина 0,000001, обеспечивает достаточно высокую точность решения. Заметим, что снижение точности уменьшает число итераций и сокращает время поиска решения.

Говоря о назначении метода решения, можно отметить, что нет методов лучших и худших, т. к. применение того или иного метода поиска оптимального решения зависит от типа нелинейности. При этом, как мы уже отмечали, в методе Ньютона используются вторые производные, что требует больших вычислений на каждой итерации, но оптимальное решение находится за меньшее число итераций, чем в градиентных методах, в которых используются первые производные.

После этого небольшого отступления продолжим работу по рассматриваемому алгоритму.

2.Если нужно, назначить необходимые значения перечисленных выше параметров.

ОК.

Выполнить.

Рис. 5.2.5 Получено решение В3 = С3 = D3 = 1,29, т. е. а = b = h = 1,29.

ОК.

На экране: вызванный отчет на новом листе, на ярлычке которого указано название отчета.

3.Курсор на ярлычок с названием отчета.

М1.

На экране: отчет по устойчивости (рис. 5.2.6), который состоит из двух таблиц.

Рис. 5.2.6

В таблице1 приводятся значения для переменных:

r результат решения задачи;

r нормированный градиент¾ величина, приводимая при выборе некоторых методов в диалоговом окне Параметры поиска решения.

В таблице 2приводятся значения для ограничений:

r величина стоимости;

r множитель Лагранжа ¾ аналог двойственной оценки в задаче линейного программирования, рассмотренной в 5.1.3, который показывает, как изменится целевая функция при изменении правой части в ограничении на единицу.

5.2.4. Вариантный анализ

Все задачи, решаемые при вариантном анализе, рассмотренные для задач линейного программирования, могут решаться аналогично и при анализе нелинейных задач. Поэтому посмотрим только, как производится параметрический анализ, под которым, как мы уже говорили, будем понимать решение задачи оптимизации при различных значениях того параметра, который ограничивает улучшение целевой функции.

Параметрический анализ будем проводить для задачи, приведенной на рис. 5.2.5, решая ее при различных значениях заданной стоимости С, равной последовательно 100, 200, 300, 400, 500. Выполнение параметрического анализа было подробно описано в алг. 3.4.2. Здесь же мы рассмотрим лишь основные шаги.

Алгоритм 5.2.4. Выполнение параметрического анализа

1.Подготовительные работы:

1.1. Вызвать на экран результат решения задачи (рис. 5.2.5).

1.2. Удалить результат решения, находящийся в B4:D4.

2.Решить задачу для 1-го варианта (С зад= 100):

2.1. Ввести 100 в ячейку E10.

Сервис, Поиск решения...

2.3. Выполнить.

На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения.

2.4. Сохранить сценарий...

На экране: диалоговое окно Сохранение сценария.

2.5. Ввести имя сценария C=100.

ОК.

На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения.

2.7. ОК.

На экране: результат решения задачи для 1-го варианта.

3.Решить задачу для последующих вариантов:

3.1. Ввести в E10 значения С зад для следующего варианта.

3.2. Выполнить п. 2.2 — п. 2.7, при этом в п. 2.5 вводить имя сценария, соответствующее значению С зад.

4.Представление результатов решения:

Сервис, Сценарии...

На экране: диалоговое окно Диспетчер сценариев.

Отчет...

На экране: диалоговое окно Отчет по сценарию.

4.3. ОК.

На экране: Итоговый сценарий (рис. 5.2.7).

На этом рисунке приведены результаты решения задачи для всех значений С зад.

 

Рис. 5.2.7

Для удобства дальнейшей работы выполним редактирование Итогового сценария, аналогичное описанному в алг. 3.4.3. Тогда отчет Итоговый сценарий будет иметь такой вид, как показано на рис. 5.2.8.

Рис. 5.2.8

Для наглядного представления результатов параметрического анализа построим график на основании Итогового сценария (рис. 5.2.8).

Алгоритм 5.2.5. Построение графиков
для параметрического анализа

1.Выделить A3:F7.

2.Построить графики по алг. 2.2.1.

3.Выполнить форматирование графиков по алг. 2.2.4, 2.2.5.

На экране: рис. 5.2.9.

Рис. 5.2.9

Построенные графики наглядно показывают зависимости между тремя величинами: стороной, объемом и стоимостью. Задавая одну из них, легко найти значения двух остальных. Так например, получение бака объемом V = 15 будет стоить C = 260, при этом сторона бака будет a » 2,5. Заметим, что точное значение стороны а = 2,466212 определено с помощью формулы, введенной в ячейку таблицы.

Из приведенного видно, что параметрический анализ является мощным средством получения информации, которая может быть полезна при принятии оптимальных решений.

5.3. Решение и анализ нелинейных
целочисленных задач

5.3.1. Решение нелинейных целочисленных задач

Решение целочисленных задач нелинейного программирования производится аналогично решению обычных нелинейных задач, но с наложением дополнительного требования целочисленности переменных. Решение таких задач рассмотрим на примере задачи, приведенной на рис. 5.2.2. Будем решать задачу по следующему алгоритму.

Алгоритм 5.3.1. Решение нелинейных
целочисленных задач

1.Вызвать таблицу исходных данных для непрерывной задачи (рис. 5.2.2).

2.Ввести строку 6, в которой отмечается, какие переменные должны быть целыми (рис. 5.3.1).

Рис. 5.3.1

Подчеркнем, что ввод этих требований в таблицу исходных данных не является необходимым для решения. Он может быть полезен для того, чтобы не забыть ввести требование целочисленности в диалоговом окне Поиск решения.

3.Ввести в ячейки В4:D4 начальные значения переменных: 1.

Сервис, Поиск решения...

На экране: диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями:

Ø целевую функцию С10; максимизировать;

Ø изменяя ячейки В4:d4;

Ø граничные условия В4 >= B5; C4 >= C5; D4 >= D5;

Ø ограничения С11 <= E11.

5.Добавить требование целочисленности: В4 целое, С4 целое, D4 целое.

ОК.

Выполнить.

Рис. 5.3.2 На рис. 5.3.3 приведены результаты решения непрерывной и целочисленной задач.

Методические указания по выполнению лабораторной работы

Каждый студент получает у преподавателя индивидуальное задание на выполнение лабораторной работы. В процессе лабораторной работы необходимо: 1) подготовить исходные данные для решения задачи нелинейного программирования с использованием ТП Excel 7.0;

Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий на выполнение лабораторной работы

3.4. -4x1 + 8x2 - x12 - 3/2 x22 +2 x1x2 ® max,

-x1 + x2 £ 1, x1 £ ,4

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.5. -4x1 + 8x2 - x12 - 3/2 x22 +2 x1x2 ® max,

3x1 + 5x2 £ 15,

x1 - x2 £ 1,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.6. 3x1 - 2x2 –1/2 x12 - x22 + x1x2 ® max,

-x1 + 2x2 £ 2,

2x1 - x2 £ 2,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.7. -x1 + 6x2 - x12 - 3 x22 +3 x1x2 ® max,

4x1 + 3x2 £ 12,

-x1 + x2 £ 1,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

3.8. -x1 + 6x2 - x12 - 3 x22 +3 x1x2 ® max,

x1 + x2 £ 3,

-2x1 + x2 £ 2,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.9. -x1 + 6x2 - x12 - 3 x22 +3 x1x2 ® max,

x1 - x2 £ 0, x2 £ 5,

x 1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.10. 6x2 - x12 - 3/2 x22 +2 x1x2 ® max,

3x1 + 4x2 £ 12,

-x1 + x2 £ 2,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.11. 6x2 - x12 - 3/2 x22 +2 x1x2 ® max,

-x1 + 2x2 £ 2, x1 £ 4,

x 1 ³ 0, x2 ³ 0.

3.12. 6x2 - x12 - 3/2 x22 +2 x1x2 ® max,

3x1 + 4x2 £ 12,

-x1 - 2x2 £ -2,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

3.13. 8x1 + 12x2 - x12 - 3/2 x22 ® max,

-2x1 - 1x2 £ -4,

2x1 + 5x2 £ 10,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

3.14. 8x1 + 12x2 - x12 - 3/2 x22 ® max,

-x1 + 2x2 £ 2, x1 £ 6,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.15. 8x1 + 12x2 - x12 - 3/2 x22 ® max,

-3x1 + 2x2 £ 0,

4x1 + 3x2 £ 12,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.16. 3x1 - 2x2 –1/2 x12 - x22 + x1x2 ® max,

-2x1 - x2 £ -2,

2x1 + 3x2 £ 6,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.17. 6x1 + 4x2 - x12 - 1/2 x22 - x1x2 ® max,

x1 + 2x2 £ 2,

-2x1 + x2 £ 0,

x 1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.18. 6x1 + 4x2 - x12 - 1/2 x22 - x1x2 ® max,

2x1 + x2 £ 2, x2 £ 1,

x 1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.19. 6x1 + 4x2 - x12 - 1/2 x22 - x1x2 ® max,

3x1 + 2x2 £ 6,

-3x1 - x2 £ -3,

x 1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.20. 8x1 + 6x2 -2 x12 - x22 ® max,

-x1 + x2 £ 1,

3x1 + 2x2 £ 6,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.21. 8x1 + 6x2 -2 x12 - x22 ® max,

-x1 + x2 £ 1, x1 £ 3,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.22. 8x1 + 6x2 -2 x12 - x22 ® max,

-x1 + x2 £ 2,

3x1 + 4x2 £ 12,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.23. 2x1 + 2x2 - x12 - 2 x22 +2 x1x2 ® max,

4x1 + 3x2 £ 12, x2 £ 3,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

3.24. 2x1 + 2x2 - x12 - 2 x22 +2 x1x2 ® max,

2x1 + x2 £ 4,

-x1 + x2 £ 2,

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

 

 

Приложение 2

Литература

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Уч. пособие для студентов экон. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Акулич И.Л., Ворончук И.С. Задачи нелинейного и динамического программирования. – Рига: Изд-во ЛГУ, 1989..

3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели принятия решений в управлении и экономике. – М.: Наука, 1979.

4. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. – М.: Наука, 1979.

5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализ иерархий: Пер. с англ. – М.: Ради и связь, 1989.

6. Князевский Н.В., Князевская В.С. Принятие раскованных решений в экономике и бизнесе: Уч. пособие. – М.: Контур, 1998.

7. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения. – Учебник, М.: ЗАО «Бизнес-школа Интел-Синтез», 1998.

8. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2000.

9. Красников В.С. Разработка управленческих решений. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 1999.

10. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Экономико–математические методы и модели в менеджменте. – Уч. пособие. – СПб.: Изд-во СПб ГТУ, 1999.

11. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. – СПб., ВНV Санкт-Петербург, 1997.


ОГЛАВЛЕНИЕ

введение.............................................................................................. 2

1. цель лабораторной работы.......................................................... 3

2. теоретические основы работы................................................ 3

2.1. Общая характеристика задач подготовки и принятия решений в сложных технико-экономических системах 3

2.2. Постановка и решение задач нелинейного программирования.................................................................... 7

3. Методические указания по выполнению лабораторной работы.............................................................................................. 12

4. форма отчётности по выполненной лабораторной работе 13

Приложение 1. варианты индивидуальных заданий на выполнение лабораторной работы............................................................. 14

 

литература................................................................................................ 37

– Конец работы –

Используемые теги: исследование, задач, нели, ного, программирования0.051

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: “Исследование задач нелинейного программирования”

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)
Будем увеличивать , т.к. ее увеличение вызовет большее увеличение функции цели.Предположим, что , тогда Запишем новый опорный план . Все оценки… Теперь базисными переменными являются , а свободными . Для анализа этого плана… Будем увеличивать . Пусть , тогда откуда получаем Все оценки опорного плана должны бытьнеотрицательны, а значит должны…

Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.
Всвязи с развитием техники, ростом промышленного производства и с появлением ЭВМвсе большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений… Именно в силу этого процесс моделированиячасто носит итеративный характер. На… Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важнаи зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной…

Закрепление теоретических знаний, получаемых студентами на лекционных и самостоятельных занятиях по решению задач линейного программирования
На сайте allrefs.net читайте: - закрепление теоретических знаний, получаемых студентами на лекционных и самостоятельных занятиях по решению задач линейного программирования;...

Основы линейного и нелинейного регрессионного И корреляционного анализов
Государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Брянская государственная инженерно технологическая академия...

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: ВЫБОР ЭФФЕКТИВНОГО ПЛАНА ТРАНСПОРТИРОВКИ ДРЕВЕСИНЫ
На сайте allrefs.net читайте: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: ВЫБОР ЭФФЕКТИВНОГО ПЛАНА ТРАНСПОРТИРОВКИ ДРЕВЕСИНЫ.

Решение оптимизационной задачи линейного программирования
Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических… Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например количество продукции…

Методы линейного программирования, двойственность в линейном программировании
Методы линейного программирования двойственность в линейном... Задание Задание Задание...

“Исследование задач целочисленного программирования”
На сайте allrefs.net читайте: “Исследование задач целочисленного программирования”...

- содержательная постановка задачи коммивояжёра, транспортной задачи, задачи распределения ресурсов в ТЭС;
На сайте allrefs.net читайте: - содержательная постановка задачи коммивояжёра, транспортной задачи, задачи распределения ресурсов в ТЭС;...

Решение задач линейного программирования
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Стандартная задача линейногопрограммирования состоит из трех частей целевой функции на максимум илиминимум - формула 1.1 ,… Заметим, что еслибазисные переменные все образуются в результате приведения… Для практической рабо-ты по нахождению решения задачи линейного программирования по варианту простого симплекс-метода…

0.026
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам