Ценовой анализ

Изменение оптимального плана может быть связано с изменением цен на продукцию (коэффициентов при переменных в целевой функции). В рассматриваемой модели цены считаются неизменными. При небольших изменениях цен оптимальный план обычно сохраняет свою оптимальность. При существенных изменениях цен оптимальным становится другой план. Важно разобраться в этом, рассчитать критические ценовые границы. Такое изучение воздействия ценовых изменений на оптимальный план и оптимум относят к ценовому постоптимизационному анализу.

Обратимся к нашему примеру. Цена изделия А составляет 3 руб. за ед. Предположим, что отпускная цена изменилась, и теперь изделие А продается по другой цене. Следует ожидать, что при этом изменится выручка от продаж. Однако изменится ли оптимальный план?

Предположим, что цена Изделия А изменились на Δс₁. Тогда прибыль в соответствии с целевой функцией будет равна:

F =(2+ Δc₁) х1 + 3х2.

Заменяем переменные х1 и х2 их выражениями через неосновные переменные оптимального БР:

х1= 6 + 1/5 х3 - 3/5 х4

х2= 4 - 2/5 х3 + 1/5 х4,
подставляем в целевую функцию F и после преобразования получаем:

F =(24 + 6 Δc₁) – (4/5 – 1/5 Δc₁) х3 – (3/5 + 3/5 Δc₁) х4.

Для того, чтобы сохранилось оптимальное решение Х* =(6; 4; 0; 0; 1; 3),
достаточно, чтобы коэффициенты при неосновных переменных в последнем выражении оставались неотрицательными, т.е.

Откуда:

–1 <= Δс₁ <= 4

2 - 1 <= с₁ + Δс₁ <= 2 + 4 или 1 <= с₁ + Δс₁ <= 6 ,

т.е. оптимальное решение будет неизменно при изменении цен на Изделие А в пределах от 1 до 6 рублей.

Можно определить графическим способом.

Небольшое изменение цены приведет к незначительному повороту градиента (вместе со всей системой перпендикулярных ему линий уровня целевой функции). В результате оптимальный план останется в прежней точке. При более значительном изменении цены он перейдет в другую вершину области допустимых планов.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Предположим, что цена Изделия А увеличивается. Это соответствует повороту наклона прямой целевой функции по часовой стрелке. При небольшом повороте оптимальный план остается в первоначальной точке C. При достаточно большом повороте оптимальный план перейдет в точку D, находящуюся на пересечении границ по II и IV видам сырья.

Критическая величина цены, при которой происходит переход оптимального плана из одной точки в другую, соответствует положению, когда линия уровня целевой функции параллельна прямой, которой принадлежит отрезок СD. Условием параллельности прямых является пропорциональность коэффициентов при переменных в двух уравнениях: линии уровня целевой функции и границы по II виду сырья. Составим пропорцию с неизвестной ценой c1 изделия А:

F = 2x1 + 3х2

2х1 + х2 <= 16

Отсюда получаем c1= 6. Таким образом, при увеличении цены Изделия А с первоначальных 2 до 6 руб. за ед. (и при сохранении ценыИзделия В) оптимальный план остается неизменным, по-прежнему следует производить 6 ед. Изделия А и 4 ед. Изделия В. Если же цена поднимется выше 6 руб., то оптимальным планом станет точка D, находящаяся на пересечении границ по II и IV видам сырья. Ее координаты можно определить решением системы соответствующих уравнений.

При цене Изделия А, в точности равной 6 руб., оптимальным является как первоначальный план С, так и новый план D, а также и все точки, лежащие на отрезке СD. В этом случае задача имеет бесконечно много оптимальных планов. Разумеется, все эти разные планы производства обеспечивают в точности одну и ту же величину выручки от продаж.

Верхняя критическая граница цены Изделия А равна 6. Отсюда следует, что допустимое увеличение первоначальной цены равно 4.

Аналогичным образом рассчитывается нижняя граница цены Изделия А, и верхняя и нижняя критические границы цен Изделия В.

Критические границы цен соответствуют границам устойчивости оптимального плана при изменении коэффициентов целевой функции.