Интегрирование по частям

Этот метод основан на использовании формулы

, (1)

которая называется формулой интегрирования по частям. В этой формуле и - любые две дифференцируемые функции, для которых существуют и и .

Докажем эту формулу. Опираясь на формулу для дифференциала произведения двух функций

и интегрируя обе части этого равенства, получим:

Применяя теперь свойство 3 неопределенных интегралов к интегралу слева, получим:

откуда

В правой части даст, после своего вычисления, некоторую функцию плюс неопределенную константу. Вместе с уже имеющейся там неопределенной константой С этих констант в правой части окажется две. Поэтому одну из них (а именно, константу С) можно отбросить, так как эти две константы все равно объединятся в одну. В итоге как раз и получим формулу (1)

Примечание . При вычислении по формуле интегрирования по частям (1) нам придется вычислить два неопределенных интеграла (выполнить работу, состоящую из двух частей). Сначала по имеющемуся дифференциалу функции нужно будет найти саму функцию . Для этого используем формулу (8):

если , то (2)

Таким образом, получаем: То есть, получаем не одну, а множество функций . Но нам нужна лишь одна из них (любая). Проще всего получить ее, отбросив в (2) константу С:

== F(x) (3)

По этой схеме находится функция . Затем, в соответствии с формулой (1), нужно выполнить вторую часть работы - вычислить интеграл .

Формулу (1) для вычисления по частям есть смысл применять, если можно вычислить оба интеграла: и , и .

Пример 8. Вычислить .

Решение.

=

Пример 9. Вычислить .

Решение.

= =

====

==.

В примере 9 применены и подстановка, и интегрирование по частям.

В заключение укажем следующее. Проблема вычисления неопределенных интегралов – гораздо более сложная, чем проблема вычисления производных. Среди неопределенных интегралов и много неберущихся. Однако доказана теорема: если функция непрерывна на некотором промежутке оси ох (например, на отрезке оси ох), то на этом промежутке существует и , то есть существует множество первообразных F(x)+C для подынтегральной функции f(x). Но только не всегда эти первообразные можно выразить через элементарные функции. В этих случаях (случаях неберущихся интегралов) применяют приближенное интегрирование. О приближенном интегрировании мы поговорим позже.