Рассмотрим интеграл ( интеграл первого типа ). Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:
где . Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительное или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.
Таким образом, исходный интеграл принимает вид:
т.е. мы пришли к табличным интегралам.
Пример 10. Вычислить интеграл .
Решение:
Рассмотрим интеграл более общего вида ( интеграл второго типа ). Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:
Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим:
второй интеграл мы только что научились вычислять. Это интеграл первого типа. В первом интеграле сделаем замену переменного .
Следовательно, . Таким образом, окончательно получаем: .
Пример 11. Вычислить интеграл .
Решение:
Перейдем к усложненному варианту интеграла первого типа и рассмотрим интеграл ( интеграл третьего типа ). Выполним преобразования, аналогичные преобразованиям проведенным с интегралом первого типа. Интеграл сведется, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида или .
Пример 12. Вычислить интеграл .
Решение: Выделив в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получим
И наконец, интеграл (интеграл четвертого типа). Он вычисляется с помощью преобразований, аналогичных проведенных в случае интеграла второго типа.
Применим к первому из полученных интегралов подстановку , получим
Второй же интеграл является уже рассмотренным интегралом третьего типа.
Пример 13. Вычислить интеграл .
Решение: Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов, предварительно выделив в числителе подынтегральной функции слагаемое, равное производной подкоренного выражения из знаменателя: