Двойной интеграл в декартовой системе координат.

Определение: конечный предел интегральной суммы функции области Д при условии, что максимальный диаметр области стремиться к нулю, число частичных областей стремиться к бесконечности называется двойным интегралом от этой функции по этой области.

Теорема существования: если функция непрерывна в каждой точки замкнутой области Д, то предел её интегральной суммы не зависит ни от способа разбиения области на частичные, ни от выбора точек в каждой частичной области.

Основные свойства аналогичны свойствам определённого интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла – двойной интеграл выражает объём цилиндрического тела.

Определение правильной области – замкнутая область Д называется правильной в направлении оси ОУ, если любая прямая параллельная оси ОУ, и проходящая через внутреннюю точку области пересекает её границу только в двух точках.

Правильная область в направлении оси ОХ Правильная область в направлении оси ОУ

Пределы внутреннего интеграла являются переменными и зависят от той переменой, которая при этом рассматривается как постоянная. Пределы внешнего интеграла всегда постоянны.

Оба они будут постоянны, если область интегрирования - прямоугольник.

Пример: Вычислить интеграл

syms x y

>> ezplot(y-x/2) % строим область интегрирования

>> hold on,grid on

>> ezplot(y-x+1)

>> plot([-6 6],[0 0])

>> axis([-1 3 -1 2])

Область правильная в направлении оси ОХ, точки входа лежат на прямой х = 2у, точки выхода – х = 1+у

>> [x,y]=solve('y-x+1','y-x/2') x =2 y =1 %точка пересечения линий

>> syms x y;I=int(int(x*y,x,2*y,1+y),y,0,1) I =5/24

>>z=x*y;ezsurf(z) % строим подынтегральную функцию