Двойной интеграл в полярной системе координат.

В полярной системе координат двойной интеграл имеет вид .

Если область интегрирования D ограничена лучами, выходящими из полюса и образующими с полярной осью углы , и кривыми, определяемыми уравнениями, то двойной интеграл, распространённый на эту область, вычисляется по формуле .

Формулы перехода от декартовых к полярным координатам..

В Matlab для преобразование декартовой системы координат в полярную используют команды:

[phi, ro] = cart2pol(x,y). Размеры массивов х, у должны быть одинаковыми. Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

 

Пример: Вычислить интеграл

syms x y >> ezplot(x^2+y^2-1) >> hold on,grid on >> ezplot(x^2+y^2-3) >> ezplot(y-x) >> ezplot(sqrt(3)*x)

figure >> x=0:0.01:1.5; y=x; >> [theta,rho]=cart2pol(x,y); >> plot(rho,theta,'r','LineWidth',2) >> hold on,grid on >> y=sqrt(3).*x; >> [theta,rho]=cart2pol(x,y); >> plot(rho,theta,'r','LineWidth',2) >> y=sqrt(1-x.^2); >> [theta,rho]=cart2pol(x,y); >> plot(rho,theta,'r','LineWidth',2) >> y=sqrt(3-x.^2); >> [theta,rho]=cart2pol(x,y); >> plot(rho,theta,'r','LineWidth',2)

 

 

>> syms r phi

>> x=r*cos(phi);

>> y=r*sin(phi);

>> z=1/sqrt(16-x^2-y^2) z =1/(16-r^2*cos(phi)^2-r^2*sin(phi)^2)^(1/2)

>> z=simplify(z) z =1/(16-r^2)^(1/2)

>> syms r phi;

I=int(int(z*r,r,1,sqrt(3)),phi,atan(1),atan(sqrt(3))) I =-1/12*13^(1/2)*pi+1/12*15^(1/2)*pi

>> pretty(I)