Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания.
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдений, с типичными графиками формул. Такие графики приведены в справочниках. Иногда оказывается, что эмпирическая кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны. Изменение численных коэффициентов, входящих в формулу, часто резко меняет вид ее графика. Выбор масштаба координатных осей отражается на форме построенной кривой, что также может привести к кажущемуся отличию экспериментальной кривой от графика вполне соответствующей ей формулы.
Поэтому, прежде чем определять численные значения коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить возможность ее использования. Лишь после этого можно перейти к отысканию тех значений постоянных коэффициентов, которые дадут наилучшее приближение опытных и вычисленных величин.
Метод выравнивания заключается в преобразовании функции y = F(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию. Достигается это путем замены переменных х и у новыми переменными X=q(x,y) и Y=g(x,y), которые выбираются так, чтобы получилось уравнение прямой линии:
| Y = a + bX | (2.35) |
Вычислив значение Xi и Yi по заданным xi и yi, наносят их на график (диаграмму) с прямоугольными координатами (X,Y). Если построенные таким образом точки располагаются вблизи прямой линии, то выбранная эмпирическая формула y=F(x) подходит для характеристики зависимости y=f (x).
Пример 2.4: При изучении скорости химической реакции получены следующие данные, характеризующие количество вещества в реакционной смеси (y) в моменты времени (t) (табл. 2.11, строки 1 и 2). Необходимо определить вид эмпирической формулы, отвечающей опытным данным.
Таблица 2.11
Экспериментальные данные
| t | ||||||||
| y | 57.6 | 41.9 | 31.0 | 22.7 | 16.6 | 12.2 | 8.9 | 6.5 |
| Y∙102 | 1.74 | 2.39 | 3.23 | 4.41 | 6.02 | 8.20 | 11.2 | 15.4 |
| X∙102 | 33.3 | 16.7 | 11.1 | 8.33 | 6.7 | 5.6 | 4.8 | 4.2 |
| Y=ln(y) | 4.054 | 3.735 | 3.434 | 3.122 | 2.809 | 2.501 | 2.186 | 1.872 |
Рис.2. График зависимости y=f(t) Рис.3. График зависимости Y=f(X) Рис.4. График зависимости Y=f(t)
|
По экспериментальным данным строим график (рис. 2.). Сравнивая вид полученной зависимости с известными (по справочникам) можно предположить, что для описания данной зависимости можно использовать следующие эмпирические формулы:
| y = t / (a + b/t) | (2.36) | |
| y = a ∙ exp(b∙t) | (2.37) |
Проверим возможность использования эмпирической формулы (2.36). Введя новые значения переменных X = 1/t и Y = 1/y, приведем ее к линейному виду Y = a∙X + b. Рассчитаем новые значения переменных X и Y (табл. 2.11. строки 3 и 4) и построим график в координатах X, Y (рис.3). Как видно, полученные точки не укладываются на прямую, следовательно, данной эмпирической формулой нельзя описать экспериментальные данные.
Теперь проверим возможность использования эмпирической формулы (2.37). Прологарифмировав ее и введя новую переменную Y=ln(y), приводим эту формулу к линейному виду
| Y = ln(a) + b∙t. | (2.38) |
Вычисляем значения переменной Y (табл.2.11, строка 5). Строим график в координатах (t, Y) (рис.4). Видно, что точки хорошо укладываются на прямую, что доказывает возможность применения формулы (2.38) для описания экспериментальных данных.