Метод выбранных точек

Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35) Требуется найти значение коэффициентов а и b.

Наносим на координатную плоскость опытные точки (Xi,Yi). Как можно ближе к этим точкам проводим прямую (приближающая прямая). На этой прямой выбираем две (по числу параметров) произвольные точки N₁(X₁,Y₁) и N₂(X₂,Y₂), не обязательно совпадающими с точками (X_i,Y_i) и как можно дальше удаленными друг от друга. Координаты этих точек подставляем в уравнение (2.35), получаем систему:

Y1 = a∙X1 + b Y2 = a∙X2 + b

(2.39)

Решая ее, находим а и b.

 

Пример 2.5: По опытным данным (табл. 2.11) определить коэффициенты эмпирической зависимости (2.37).

Для определения коэффициентов формулы (2.37) используем ее линейный вид (2.38). Значения переменных Y= ln(y) и t берутся из табл. 2.11 (строки 1 и 5). График зависимости Y=f(t) приведен на рис.4. Выберем на прямой произвольные точки N₁(X₁,Y₁) и N₂(X₂,Y₂). Координаты этих точек N₁(3; 4.054), N₂(24; 1.872) подставим в уравнение (2.38) и получим следующую систему:

	4.054 = ln(a) + b∙3	(2.40)
	1.872 = ln(a) + b∙24

Решив систему уравнений (2.40), найдем значения коэффициентов формулы (2.38):

ln(a) = 4.3657 b = – 0.1039

Переходя к исходному виду формулы (2.37) и определив коэффициент а(а=78.705), получим окончательный видэмпирической формулы:

y = 78.705∙exp(–0.1039∙b)

(2.41)

Сравнение значений , вычисленных по формуле (2.41), с опытными данными y_i (табл. 2.11, строка 2) приведено в табл.2.12.

Таблица 2.12

Оценка точности формулы (2.42)

I	ti	yi		D Y = – yi	D Y 2
1	3	57.6	57.628	–0.0280	0.000784
2	6	41.9	42.195	0.295	0.087025
3	9	31.0	30.895	–0.105	0.011025
4	12	22.7	22.622	–0.0784	0.006147
5	15	16.6	16.564	–0.0364	0.001325
6	18	12.2	12.128	–0.0721	0.005198
7	21	8.9	8.880	–0.020	0.00040
8	24	6.5	6.502	0.002	0.000004
S		S D Y 2 = 0.11191