Понятие о конечных разностях различных порядков

Для таблицы функцииY = f(X) с постоянным шагом h (т.е. с равноотстоящими узлами интерполяции):

Xk = X0 + k.h, Yk = f(Xk) (k = 0, 1, 2, ... )

(3.9)

построение интерполяционного многочлена удобнее всего производить по формулам, использующим табличные разности функции.

Табличные (конечные) разности функции (разности первого порядка) определяются так:

DYk = Yk+1 – Yk (k = 0, 1, 2, ... )

(3.10)

Разности второго порядка определяются как разности разностей первого порядка:

D2Yk = DYk+1 - DYk = Yk+2 - 2Yk+1 + Yk

(3.11)

Разности порядка n определяются:

DmYk = Dn—1Yk +1 – Dn–1Yk

(3.12)

Разности различных порядков могут быть выражены не­посредственно через значения функции:

Dyi = yi+1 – yi; D2yi = Dyi+1 — Dyi = (yi+2 – yi+1) — (yi+1 – yi) = yi+2 – 2 yi+1 + yi ; D3yi = D2yi+1 — D2yi = (yi+3 – 2 yi+2 + yi+1) — (yi+2 – 2 yi+1 + yi) = yi+3 – 3 yi+2 + 3 yi+1 – yi .

(3.13)

Нетрудно доказать, что для любого m

	Dm yi = yi+m — m yi+m–1 + y i+m–2 — y i+m–3 + ××××	(3.14)
	+ (—1)m–1 m yi+1 + (—1)m yi .

Конечные разности различных порядков удобно распола­гать в форме таблиц: горизонтальной (табл.3.3) и диагональной (табл.3.4). Если данные расположены в таблицах через равные интервалы ΔY, то критерием выбора показателя степени n модели в виде полинома Y = b₀ + b₁*Х + b₂*Х² + ... + b_n*Xⁿ является постоянство значений n-ой последовательной разности Δ⁽ⁿ⁾Y_i табличных данных.

 

 

 

Таблица 3.3

Горизонтальная таблица разностей

 

X	Y	Dy	D2y	D3y
X0	y0	Dy0	D2y0	D3y0
X1	y1	Dy1	D2y1
X2	y2	Dy2
X3	y3

 

 

Таблица 3.4

Диагональная таблица разностей

 

X	y	Dy	D2y	D3y
X0 X1 X2 X3	y0 y1 y2 y3	Dy0 Dy1 Dy2	D2y0 D2y1	D3y0

 

В начале таблицы, где наращивание узлов интерполяции можно производить только вперед от начальной точки X₀, применяется первая интерполяционная формула Ньютона. В конце таблицы, где наращивание узлов интерполяции можно производить только назад от начальной точки X₀, применяется вторая интерполяционная формула Ньютона,.