Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

 

Получим формулу, которой удобно пользоваться для ин­терполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый интерполяционный многочлен Рп (х) в виде

Рп(х)= a0 + a1 (x – xn) + a2 (x – xn) (x – xn–1) + a3 (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2) + …

  + an (x – xn) (x – xn–1) …(x – x1). (3.18)

Коэффициенты a0, a1, … an определяем из того же условия (3.2): Рn(xi) = f(xi) = yi (i = 0, 1, 2, ..., п).

Положим в (3.18) x = xn . Тогда a0 = yn .

Теперь пустьx = xn–1 . Учитывая, что Рn(xn–1) = yn-1 , a0 = yn , xn–1 – xn = –h, можем записать:

y n–1 = yn – a1h.

Отсюда

a1 = .

Далее, полагая в (3.18)х = xn—2 и заменяя найденные коэффициенты a0, а1 их значениями, получим

a2 = .

Продолжая аналогичные вычисления, получим выражения для остальных коэффициентов:

a3 = ,… ak = ,… an = .

После подстановки в (3.18) найденных значений коэффи­циентов формула примет вид

Рп(х)= yn + (x – xn) + (x – xn) (x – xn–1) + (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2) +

  +…+ (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2)… (x – x1). (3.19)

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Запишем ее в виде, более удобном для практического использования. Обозначив = q , получим:

= q + 1;

= q + 2; … = q + n – 1.

После подстановки этих значений в (3.19) формула приоб­ретает вид

Рп(х) = yn + qDyn–1 + D2yn–2 + D3yn-3 + …+

  +…+ Dny0 . (3.20)

Пример 3.2. Вязкость воды h зависит от температуры Т следующим образом(табл.3.5):

Таблица 3.5

Зависимость вязкости воды h от температуры Т

Т, К 283,15 286,15 289,15 292,15 295,15
h, мПа × с 1,308 1,203 1,111 1,030 0,958

Определить, какова вязкость воды при: а) T = 293,15 К; б) T = 285,15 К; в) T = 282,15 К.

Решение. Построим горизонтальную таблицу конечных раз­ностей (табл. 3.6), обозначив: Т = х,h = у.

Таблица 3.6.