Получим формулу, которой удобно пользоваться для интерполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый интерполяционный многочлен Рп (х) в виде
Рп(х)= a0 + a1 (x – xn) + a2 (x – xn) (x – xn–1) + a3 (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2) + …
+ an (x – xn) (x – xn–1) …(x – x1). | (3.18) |
Коэффициенты a0, a1, … an определяем из того же условия (3.2): Рn(xi) = f(xi) = yi (i = 0, 1, 2, ..., п).
Положим в (3.18) x = xn . Тогда a0 = yn .
Теперь пустьx = xn–1 . Учитывая, что Рn(xn–1) = yn-1 , a0 = yn , xn–1 – xn = –h, можем записать:
y n–1 = yn – a1h.
Отсюда
a1 = .
Далее, полагая в (3.18)х = xn—2 и заменяя найденные коэффициенты a0, а1 их значениями, получим
a2 = .
Продолжая аналогичные вычисления, получим выражения для остальных коэффициентов:
a3 = ,… ak = ,… an = .
После подстановки в (3.18) найденных значений коэффициентов формула примет вид
Рп(х)= yn + (x – xn) + (x – xn) (x – xn–1) + (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2) +
+…+ (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2)… (x – x1). | (3.19) |
Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Запишем ее в виде, более удобном для практического использования. Обозначив = q , получим:
= q + 1;
= q + 2; … = q + n – 1.
После подстановки этих значений в (3.19) формула приобретает вид
Рп(х) = yn + qDyn–1 + D2yn–2 + D3yn-3 + …+
+…+ Dny0 . | (3.20) |
Пример 3.2. Вязкость воды h зависит от температуры Т следующим образом(табл.3.5):
Таблица 3.5
Зависимость вязкости воды h от температуры Т
Т, К | 283,15 | 286,15 | 289,15 | 292,15 | 295,15 |
h, мПа × с | 1,308 | 1,203 | 1,111 | 1,030 | 0,958 |
Определить, какова вязкость воды при: а) T = 293,15 К; б) T = 285,15 К; в) T = 282,15 К.
Решение. Построим горизонтальную таблицу конечных разностей (табл. 3.6), обозначив: Т = х,h = у.
Таблица 3.6.