Линейное программирование

Содержание

 

 

Введение. 2

1. Общее положение. 3

Задание №1. 3

2. Практическая часть выполнения задания. 4

Заключение. 13

 

Введение

 

 

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе и в финансовой математике. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов;

· задачи оптимального раскроя;

· оптимизации производственной программы предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min) заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств в этом и заключается актуальность данной работы.

Целью данного РГЗ является выполнение расчетно-графической работы, закрепление знаний и навыков, необходимых для математического моделирования социально-экономических процессов. А также, приобретение навыков работы с программными пакетами «Линейное программирование» и «Дискретное программирование».

Общее положение

 

Целью выполнения расчетно-графической работы является закрепление знаний, умения и навыков, необходимых для математического моделирования социально-экономических процессов. А также, приобретение навыков работы с программными пакетами.

 

Задание №1

На фабрике с помощью 5 видов красителей (А1-А5) создается 4 разновидности рисунков для тканей (Р1-Р4). При известной отпускной стоимости 1 м ткани каждого рисунка (руб.), известном расходе каждого красителя на окраску 1 м ткани (г) и известном запасе каждого красителя (кг):

2.1.1 определить план выпуска ткани каждого рисунка, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации тканей;

2.1.2 составить двойственную задачу и найти ее решение;

2.1.3 определить теневые цены на каждый краситель; указать дефицитные и недефицитные красители;

2.1.4. указать на сколько недоиспользуются недефицитные красители;

2.1.5 показать прибыль, план выпуска тканей каждого рисунка и недоиспользование недефицитных красителей при увеличении запасов дефицитных красителей на 1 ед.;

2.1.6 показать допустимые пределы изменения запасов красителей;

2.1.7 показать допустимые пределы изменения цен на выпускаемые виды тканей.

2.1.8 оценить целесообразность введения в план производства выпуск ткани с разновидностью рисунка Р5, если нормы затрат красителей на 1 единицу ткани соответственно равны: 6; 2; 1; 4; 4; и доход, ожидаемый от реализации новой ткани равен 5000 руб;

2.1.9 показать, допустимо ли увеличение всех дефицитных красителей одновременно на 10 кг.

 

 

Практическая часть выполнения задания

 

Вариант 1

 

Исходные данные

 

 

Вид красителей	Разновидность рисунка. Нормы расхода красителей на окраску 1 м2 ткани (г)	Запасы красителей (кг)
Р1	Р2	Р3	Р4
А1
А2
А3
А4
А5
Стоимость 1м ткани (руб.)

 

 

1.Определение плана выпуска тканей каждого вида рисунка, обеспечивающий максимальный доход от реализации тканей

 

 

Составляем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим:

Х₁ – план выпуска ткани рисунка вида Р₁

Х₂ – план выпуска ткани рисунка вида Р₂

Х₃ – план выпуска ткани рисунка вида Р₃

Х₄ – план выпуска ткани рисунка вида Р₄

 

 

F = 49x₁ + 33x₂ + 76x₃ + 109x₄ → max

 

Решаем задачу с помощью симплекс- таблицы:

 

 

 

 

 

 

 

Отрицательных оценок в оценочной строке нет; решение оптимально. Оптимальный опорный план Х_{опт =} (0; 0; 12500; 0; 0; 19900; 67500; 100000; 50000)

F_max = 950000

Для получения max прибыли 950000 руб. необходимо выкупить тканей рисунка Р₃ 12,5 м.

Ткани рисунков Р_1, Р_2, Р₄ являются убыточными, их производство нерентабельно.

 

2. Составление и решение двойственной задачи

 

У₁ – теневая цена рисунка красителя А₁

У₂ – теневая цена рисунка красителя А₂

У₃ – теневая цена рисунка красителя А₃

У₄ – теневая цена рисунка красителя А₄

У₅ – теневая цена рисунка красителя А₅

 

Составляем двойственную задачу

 

F=25000y₁+120000y₂+155000y₃+250000y₄+100000y₅ →max

 

 

3y₁ +4y₂+2y₃+8y₄+2y₅≥ 49

1y₁ +3y₂+3y₃+5y₄+3y₅≥ 33

2y₁ +8y₂+7y₃+12y₄+4y₅≥ 76

10y₁ +6y₂+9y₃+11y₄+y₅≥ 109

 

 

 

 

Y_опт =(38; 0; 0; 0; 0)

F_min = 950000

 

 

3. Определение теневых цен на красители

 

У₁ – 38

У₂ – 0

У₃ – 0

У₄ – 0

У₅ - 0

 

Дефицитным является краситель А1, недефицитными: А2, А3, А4, А5

 

 

4. Недефицитные красители недоиспользуются:

 

Краситель А2 на 19,9 кг

Краситель А3 на 67,5 кг

Краситель А4 на 100 кг

Краситель А5 на 50 кг

 

 

5. При увеличении запасов красителя А1 на 1 ед. ( 25001 г.) можно увеличить прибыль на 38 руб., что составит 950038 руб.

При этом план выпуска ткани рисунка Р3 надо увеличить на 0,5 м., т.е. выпустить ткани х3 12500,5. В этом случае недефицитные красители будут недоиспользованы:

Краситель Р2 – 4; его недоиспользование составит 20004

Краситель Р2 – 3,5; его недоиспользование составит 67503,5

Краситель Р2 – 6; его недоиспользование составит 100006

Краситель Р2 – 2; его недоиспользование составит 50002

 

 

6. Допустимые пределы изменения запасов

 

 

Матрица Р^-1 =

 

 

(b+∆b) =

 

 

Р^-1(b+∆b) = * =

 

7. Допустимые пределы изменения отпускной стоимости тканей каждого рисунка

 

Для выполнения данного пункта решается двойственная задача с помощью симплекс – метода ( программа DVSimp)

 

 

F=25000y₁+120000y₂+155000y₃+250000y₄+100000y₅ →min

 

 

3y₁ +4y₂+2y₃+8y₄+2y₅≥ 49

1y₁ +3y₂+3y₃+5y₄+3y₅≥ 33

2y₁ +8y₂+7y₃+12y₄+4y₅≥ 76

10y₁ +6y₂+9y₃+11y₄+y₅≥ 109

 

 

 

 

 

 

Матрица Р^-1 =

 

 

(с+ ) =

 

Р^-1(с+ )= =

 

8. Оценим целесообразность введения в план производства ткани с новым рисунком

 

Y_Р5 =(38; 0; 0; 0; 0)

 

Р₅ = 12500*38+0*19900+0*67500+0*100000+0*50000 – 5000 = 470000

Т.к. Р₅ – положительно, введение в план производства ткани с новым рисунком нецелесообразно.

 

 

9. Определим, допустимо ли одновременное увеличение запасов дефицитных красителей на 10 кг. каждого

 

Согласно п.6 пределы изменения запасов красителей определяются из условия

 

≥0

Согласно п.2. дефицитным является краситель А1. Значит Остальные =0, тогда

 

12,5+0,5*4=10,5

19,9-4*4=3,9

67,5-3,5*4=53,5

100-6*4=76

-100-2*4=-92

 

 

Увеличение дефицитных красителей не приводит к изменению плана производства тканей

 

Заключение

 

 

В своей работе я исследовала необходимость использования симплекс метода при расчёте оптимального плана производства продукции на предприятии (в частности на производстве тканей и красок). С помощью симплекс метода и действенной задачи был проведён анализ целесообразности производства продукции, а так же выявлены дефицитные и недефицитные виды красок. Так же были проведены аналитические расчёты позволяющие сделать вывод об изменение доходности при увеличение используемых ресурсов на производстве.