Действия и преобразования, применяемые в обычной алгебре, в которой буквами обозначаются числа, основываются на небольшом числе определений и формул.
• Существует арифметическое действие, называемое сложением и обозначаемое знаком +. Устанавливается, что для каждой пары данных двух чисел а и b существует единственное определенное число с, называемое суммой чисел а и Ь. Действие сложения обладает переместительным и сочетательным свойствами. Отсюда формулы:
1) a + b = с (существование единственной суммы чисел а и b)
2) a + b = b + а (переместительное свойство);
3) a + (b + с) = (a + b) + с (сочетательное свойство).
• Существует второе арифметическое действие, называемое умножением и обозначаемое знаком х или * (последний знак при употреблении буквенных обозначений обычно не ставится). Действие умножения обладает теми же свойствами, что и сложение: для каждых двух чисел а и b существует определенное единственное произведение ab, и действие умножения обладает переместительным и сочетательным свойствами, которые дают формулы:
4) ab = d (существование произведения);
5) ab = ba (переместительное свойство);
6) a(bc) = (ab)c (сочетательное свойство).
Сложение и умножение обладают распределительным свойством: чтобы умножить сумму двух слагаемых на третье число, можно умножить каждое слагаемое отдельно на это число, и полученные произведения сложить;
7) (a + b)c = ac + bс (распределительное свойство).
• Существует такое число, обозначаемое знаком 0 (нуль), при сложении которого с любым числом а получается в сумме то же число а, а при перемножении его (т. е. нуля) с любым числом а получается в произведении 0. Отсюда формулы:
8) a + 0 = 0 + a = a;
9) a – 0 = 0 – a = 0.
• Существует еще число, обозначаемое знаком 1 и называемое единицей, при перемножении с которым любого числа а получается в произведении то же число а:
10) а х 1 = 1 х а = а.
Отмеченные десять формул являются основными законами обычной арифметики и алгебры.
Джордж Буль, давший в 1847 г. первое изложение алгебры логики, сделал предположение, что буквы в записанных десяти формулах обозначают не числа, а высказывания, и показал, что можно выбрать такие определения действий сложения и умножения, при которых все десять формул остаются в силе.