Алгебра высказываний

 

Действия и преобразования, применяемые в обычной алгеб­ре, в которой буквами обозначаются числа, основываются на не­большом числе определений и формул.

• Существует арифметическое действие, называемое сложе­нием и обозначаемое знаком +. Устанавливается, что для каждой пары данных двух чисел а и b существует единственное опреде­ленное число с, называемое суммой чисел а и Ь. Действие сло­жения обладает переместительным и сочетательным свойствами. Отсюда формулы:

1) a + b = с (существование единственной суммы чисел а и b)

2) a + b = b + а (переместительное свойство);

3) a + (b + с) = (a + b) + с (сочетательное свойство).

• Существует второе арифметическое действие, называемое умножением и обозначаемое знаком х или * (последний знак при употреблении буквенных обозначений обычно не ставится). Действие умножения обладает теми же свойствами, что и сложе­ние: для каждых двух чисел а и b существует определенное един­ственное произведение ab, и действие умножения обладает пере­местительным и сочетательным свойствами, которые дают фор­мулы:

4) ab = d (существование произведения);

5) ab = ba (переместительное свойство);

6) a(bc) = (ab)c (сочетательное свойство).

Сложение и умножение обладают распределительным свой­ством: чтобы умножить сумму двух слагаемых на третье число, можно умножить каждое слагаемое отдельно на это число, и по­лученные произведения сложить;

7) (a + b)c = ac + bс (распределительное свойство).

• Существует такое число, обозначаемое знаком 0 (нуль), при сложении которого с любым числом а получается в сумме то же число а, а при перемножении его (т. е. нуля) с любым числом а получается в произведении 0. Отсюда формулы:

8) a + 0 = 0 + a = a;

9) a – 0 = 0 – a = 0.

• Существует еще число, обозначаемое знаком 1 и называе­мое единицей, при перемножении с которым любого числа а по­лучается в произведении то же число а:

10) а х 1 = 1 х а = а.

Отмеченные десять формул являются основными законами обычной арифметики и алгебры.

Джордж Буль, давший в 1847 г. первое изложение алгебры логики, сделал предположение, что буквы в записанных десяти формулах обозначают не числа, а высказывания, и показал, что можно выбрать такие определения действий сложения и умно­жения, при которых все десять формул остаются в силе.