Далее будем считать, что (D, ⊑, ⊥) – полная решетка с наименьшим элементом, т. е. "a Î D. ⊥⊑ a.
Пусть F: D→D - произвольная тотальная (т. е. всюду определённая) функция на D. Функция F называется монотонной, если "a,b Î D. a ⊑ b Þ F(a) ⊑ F(b). Последовательность {am}m³0 является возрастающей цепью, если a0 ⊑ a1 ⊑ … ⊑ am ⊑ … . Для натурального n и x Î D определим: F0(x) = x, Fn+1(x) = Fn(F(x)).
Лемма 3.2. {Fn(⊥)}n≥0 – для монотонной функции F определяют возрастающую цепь: ⊥⊑ F(⊥) ⊑ F2(⊥) ⊑ … ⊑ Fn(⊥) ⊑ … .
Лемма 3.3. Если F монотонна и a0 ⊑ a1 ⊑ a2 ⊑ … – возрастающая цепь, то F(a0) ⊑ F(a1) ⊑ F(a2) ⊑ … – также возрастающая цепь.
Для наименьшей верхней грани цепи будем использовать обозначение: Èm³0am @ lub {am}m³0. Здесь верхняя грань играет роль предела цепи.
Тотальная функция F: D→D называется непрерывной, если для любой возрастающей цепи {am}m³0 выполняется равенство F(Èm³0am) = Èm³0 F(am).
Лемма 3.4. Непрерывная функция является монотонной.
Неподвижной точкой функции F называется решение уравнения x = F(x).
Теорема 3.1 Клини. Пусть F – непрерывная функция. Тогда Èn³0{Fn(⊥)} является наименьшей неподвижной точкой F.