Элементарные средства решения систем линейных алгебраических уравнений

При решении инженерных задач достаточно часто приходится сталкиваться с решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Как известно, обычная СЛАУ может быть представлена в матричном виде как АХ=В, где А — матрица коэффициентов уравнений размера m x n, X — искомый вектор неизвестных с n компонентами и В — вектор свободных членов, также содержащий n компонент. Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

СЛАУ называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Таким образом, решить СЛАУ – значит определить, является ли она совместной или нет.

Существуют точные и приближенные (итерационные) методы решения СЛАУ. К точным относятся методы, которые дают точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций. К указанным методам относятся, например, матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса и т. д. К приближенным – метод Якоби, метод Гаусса – Зейделя и др.

Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера-Капелли, согласно которой для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Напомним, что расширенная матрица получается после дополнения матрицы коэффициентов столбцом свободных членов. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решение.

На рис. 5.1 представлен пример исследования на совместность следующей системы уравнений: