Однослойные сети. Персептрон

Однослойные сети. Персептрон.

В соответствии с [3] персептрон представляет собой модель обучаемой распознающей системы. Он содержит матрицу светочувствительных элементов (S-элементы), ассоциативные элементы (А-элементы) и реагирующие элементы (R-элементы). По сути персептрон состоит из одного слоя искусственных нейронов, соединенных с помощью весовых коэффициентов с множеством входов. В 60е годы персептроны вызвали большой интерес.

Розенблатт [3] доказал теорему об обучении персептрона и тем самым показал, что персептрон способен научиться всему, что он способен представлять. Уидроу [12-15] дал ряд убедительных демонстраций систем персептронного типа. Исследования возможности этих систем показали, что персептроны не способны обучиться ряду простых задач. Минский [2] строго проанализировал эту проблему и показал, что имеются жесткие ограничения на то, что могут выполнять однослойные персептроны, и, следовательно, на то, чему они могут обучаться.

Один из самых пессимистических результатов Минского показывает, что однослойный персептрон не может воспроизвести такую простую функцию как ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Это - функция от двух аргументов, каждый из которых может быть нулем или единицей. Она принимает значение единицы, когда один из аргументов равен единице (но не оба). Если проблему представить с помощью однослойной однонейронной системы, то легко видеть, что при любых значениях весов и порогов невозможно расположить прямую линию, разделяющую плоскость (пространство образов) так, чтобы реализовывалась функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Имеется обширный класс функций (наряду с функцией ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ), не реализуемых однослойной сетью.

Об этих функциях говорят, что они являются линейно неразделимыми, и они накладывают определенные ограничения на возможности однослойных сетей. Линейная разделимость ограничивает однослойные сети задачами классификации, в которых множества точек (соответствующих входным значениям) могут быть разделены геометрически.

В случае двух входов разделитель является прямой линией. В случае трех входов разделение осуществляется плоскостью, рассекающей трехмерное пространство. Для четырех или более входов визуализация невозможна и необходимо мысленно представить n-мерное пространство, рассекаемое ‘‘гиперплоскостью’’ - геометрическим объектом, который рассекает пространство четырех или большего числа измерений. Как показано в [11], вероятность того, что случайно выбранная функция окажется линейно разделимой, весьма мала. Так как линейная разделимость ограничивает возможности персептронного представления, то однослойные персептроны на практике ограничены простыми задачами.

Чтобы сеть представляла практическую ценность, нужен систематический метод (алгоритм) для вычисления значений весов и порогов. Процедуру подстройки весов обычно называют обучением. Цель обучения состоит в том, чтобы для некоторого множества входов давать желаемое множество выходов.

Алгоритм обучения персептрона был предложен в [3] и имеет множество модификаций. В настоящей работе реализованна модель одного из вариантов. 1.2 Многослойные сети. Серьезное ограничение представляемости однослойными сетями можно преодолеть, добавив дополнительные слои. Многослойные сети можно получить каскадным соединением однослойных сетей, где выход одного слоя является входом для последующего слоя, причем такая сеть может привести к увеличению вычислительной мощности лишь в том случае, если активационная функция между слоями будет нелинейной. Многослойные сети способны выполнять общие классификации, отделяя те точки, которые содержаться в выпуклых ограниченных или неограниченных областях.

Если рассмотреть простую двухслойную сеть с двумя нейронами в первом слое, соединенными с единственным нейроном во втором слое, то каждый нейрон первого слоя разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя в пространстве образов V-образную область, а нейрон второго слоя реализует различные функции при подходящем выборе весов и порога.

Аналогично во втором слое может быть использовано три нейрона с дальнейшим разбиением плоскости и созданием области треугольной формы. Включением достаточного числа нейронов во входной слой может быть образован выпуклый многоугольник любой желаемой формы. Точки, не составляющие выпуклой области, не могут быть отделены о других точек плоскости двухслойной сетью. Трехслойная сеть является более общей. Ее классифицирующие возможности ограничены лишь числом искусственных нейронов и весов.

Ограничения на выпуклость отсутствуют. Теперь нейрон третьего слоя принимает в качестве входа набор выпуклых многоугольников, и их логическая комбинация может быть невыпуклой. При добавлении нейронов и весов число сторон многоугольника может неограниченно возрастать. Это позволяет аппроксимировать область любой формы с любой точностью. В добавок не все выходные области второго слоя должны пересекаться. Возможно, следовательно, объединять различные области, выпуклые и невыпуклые, выдавая на выходе единицу всякий раз, когда входной вектор принадлежит одной из них. Для обучения искусственных нейронных сетей широко применяется процедура обратного распространения.

Обратное распространение было независимо предложено в трех различных работах [8, 9, 10]. В работе программно реализованна двухслойная сеть обратного распространения. 1.3 Сети Хопфилда. Сети, рассмотренные выше, не имели обратных связей, т.е. связей, идущих от выходов сети к их входам.

Отсутствие обратных связей гарантирует безусловную устойчивость сетей. Так как сети с обратными связями имеют пути от выходов к входам, то отклик таких сетей является динамическим, т.е. после приложения нового входа вычисляется выход и, передаваясь по сети обратной связи, модифицирует вход. Затем выход повторно вычисляется и процесс повторяется снова и снова. Для устойчивой сети последовательные итерации приводят к все меньшим изменениям выхода, пока в конце концов выход не становится постоянным.

Для многих сетей процесс никогда не заканчивается, такие сети называются неустойчивыми. Проблема устойчивости ставила в тупик первых исследователей. Никто не был в состоянии предсказать, какие из сетей будут устойчивыми, а какие будут находится в постоянном изменении. К счастью, в работе [5] была получена теорема, описавшая подмножество сетей с обратными связями, выходы которых в конце концов достигают устойчивого состояния. Это замечательное достижение открыло дорогу дальнейшим исследованиям.

Дж. Хопфилд сделал важный вклад как в теорию, так и в применение систем с обратными связями. В его работе [7] при имитации поведения ансамбля нейронов использовались переменные, описывающие состояния нейронов (вектор состояния ), и переменные, описывающие связи между нейронами (оператор памяти W),а также два уравнения, определяющие изменение  со временем. Одно из этих уравнений представляет изменение  под действием оператора W (выработка реакции на стимул), а второе - изменение матрицы W, квадратичное по  (запоминание).При этом вектор состояния ансамбля нейронов представляет собой вектор в фазовом пространстве динамической системы, а ‘‘память’’ реализована как система аттракторов. Запоминание новой информации осуществляется путем усложнения по определенному алгоритму структуры аттракторов.

Такой подход допускает простую механическую аналогию, если представить себе вектор состояния как положение частицы, движущейся под действием силы тяжести и трения по некоторому рельефу.

При скатывании с ‘‘горы’’ в одну из ‘‘низин’’ потенциальная энергия системы уменьшается, и в конце концов материальная точка останавливается из-за трения. Положение частицы в конечном состоянии (т.е. та из низин, в которой она останавливается) зависит как от формы рельефа, так и от начального состояния, с которого началось скатывание. Функционирование сети легко визуализируется геометрически.

В случае двух бинарных нейронов в выходном слое каждой вершине квадрата соответствует одно из четырех состояний системы (00,01,10,11). В случае трехнейронной системы пространство образов представлено кубом (в трехмерном пространстве), имеющим 8 вершин, каждая из которых помечена трехбитовым бинарным числом. В общем случае система с n нейронами имеет 2n различных сосояний и представляется n - мерным гиперкубом. Когда подается новый входной вектор, сеть переходит из вершины в вершину, пока не стабилизируется.

Устойчивая вершина определяется сетевыми весами, текущими входами и величиной порога. Если входной вектор частично неправилен или неполон, то сеть стабилизируется к вершине, ближайшей к желаемой. В данной работе представлена программная реализация сети Хопфилда и проиллюстрираваны ряд ее свойств. 2.