Элементарная теория процесса обучения нейросетей Аннотация Задача представимости функции многих переменных в виде суперпозиции нескольких функций меньшего числа переменных поставленная еще Гильбертом получила новую жизнь благодаря теореме Хехт-Нильсена “об аппроксимации функции многих переменных двухслойной однородной нейросетью”. Нейросети на сегодняшний день являются важным инструментом при решении многих прикладных задач, а потому представляет большой интерес процесс обучения сетей.В работе сделана попытка анализировать этот процесс и представить его максимально просто и наглядно.
Искусственные (формализованные) нейросети построены по схеме близкой к естественной нервной системе человека, т.е. достаточно простые структурные единицы, объединяясь в определенной последовательности, образуют сложную систему, способную решать огромные классы задач. Формализованный нейрон – это математическая модель естественного нейрона человека.Он включает в себя невырожденные линейные преобразования, а также некоторую нелинейную функцию, называемую функцией активации, как правило, сигмоидального типа:  =1/(1+ ехр(-)) , (1) где  - непрерывная, всюду дифференцируемая возрастающая ограниченная функция.
Графически формализованный нейрон (далее просто нейрон) показан на рис.1: Рис.1 Схема формализованного нейрона. Х1, Х2,…, Хn - координаты входного вектора – исходная информация.Числа 1, 2,…, n – так называемые веса синапсов (входов нейрона) или сила связи данного входа с нейроном, b – дополнительный вход, называемый сдвигом, его значения, как правило, +1, 0. Знак  означает операцию линейных преобразований.
Каждый вход умножается на соответствующий ему вес и все суммируется, далее полученная величина рассматривается как аргумент функции (1), значение значение которой является выходом нейрона.Искусственная нейросеть представляет из себя группу связанных определенным образом нейронов.
Простейший случай – это однослойная нейросеть. Аналитически ее можно записать следующим образом: У= (ХW), (2) где Х, Y – вектор-строки. Активационная функция многослойной сети должна быть нелинейной. Если эта функция будет линейной, легко показать, что любую многослойную сеть можно свести к однослойной. В однородной нейросети все нейроны по отдельности выполняют одинаковые функции.Основным существенным отличием их друг от друга являются веса синапсов, которые и играют главную роль в работе нейросетей.
От правильного подбора весовых коэффициентов зависит, корректность работы сети. Процесс их подбора и называется обучением. Процесс обучения можно сравнить с настройкой. Известно 2 класса обучающих методов: детерминистские и стохастические.Детерминистский метод состоит в том, что шаг за шагом осуществляется процедура коррекции весов сети, основанная на использовании их текущих значений, а также величин входов и выходов (фактических и ожидаемых). Стохастические методы по определению предполагают выполнение псевдослучайных изменений, которые ведут к улучшению результата.
Наиболее распространенным алгоритмом обучения нейросетей является алгоритм обратного распространения ошибки, основанный на методе градиентного спуска. Обучение при этом проходит в два этапа. Вначале сеть работает в обычном режиме, т.е. прямым потоком: на вход подаются начальные данные, и вычисляется вектор выхода.Затем находят функцию ошибки: , (3) где yj,p – реальная, а tj,p – ожидаемая j-тая координата выхода, при подаче на вход р-го образа.
А уменьшают ее, напрявляя данные по сети в обратном порядке, работа проходит через определенные этапы следующим образом: 1. Подача на вход сети один из возможных образов и в режиме обычного функционирования нейросети, когда сигнал распространяется от входа к выходу, рассчет значения последнего. 2. Рассчет ошибок N и N слоя N. 3. Рассчет ошибок n и n для всех остальных слоев, n=N-1,…,1. 4. Корректировка всех весов в сети. 5. Проверка ошибки сети и переход на шаг 1 или в конец.
Сети на шаге 1 попеременно в случайном порядке предъявляются все образы из обучающего множества, чтобы сеть не “забывала” одни по мере “запоминания” других.Этот алгоритм, после предварительной подготовки, может быть представлен более наглядно и интерпретирован геометрически.
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство. Множества Х, Y, Т – области пространства Еn – множества векторов. Причем, такие что  Х  соответствующий ему вектор T. Y такое что = G , (4) где G принадлежит пространству непрерывных операторов.Пусть W - пространство матриц nn dim=2, где W рассматривается как совокупность вектор-строк, составляющих матрицу : (11 12 …1n) (21 22 …2n) (5) ……… (n1 n2 …nn) Это делается для геометрической представимости.
Определим вид оператора G G: XY. Этот оператор есть ни что иное как суперпозиция двух операторов G = S. Рассмотрим подробнее каждый из составляющих операторов: 1. Первый оператор: S = х (6) Оператор линейных преобразований, где W, x – вектор-столбец из X, S – результат умножения – вектор-строка.
В развернутом виде матричное умножение выглядит следующим образом: (11 12 … 1n) х1 (21 22 …2n)  х2 =||(11x1+…+1nxn) …(n1x1+…+nnxn)|| =S (7) ……… : (n1 n2 …nn) хn Т.е. , i=1,…,n. (8) 2. Второй оператор - нелинейная функция. Функция  (см. формулу (1)) называется также сжимающей.
Для последующих операций нормализуем вектора множества Х: х = х/|х|, где |х| = , х - нормализованный вектор.Аналогичную операцию произведем над множеством Т. Поскольку W совокупность вектор-строк, нормализуем и эти вектора: i : i = (i1 i2 … in ), i = i /|i|. После нормализации векторов х и i, вектор S изменит свой вид: = ij  xj = ij /|i| * хj/|х| = ij хj * 1/ |i||x|, где 1/ |i||x| = ki =Const. Таким образом, нормализация векторов х и i лишь сжимает вектор S, но не меняет его направления.
Для простоты обозначений, заменим вновь полученные вектора х, t, i и S* соответственно на х, t,  и S. В результате всех преобразований будем иметь радиус-векторы единичной n-мерной сферы.
Пусть для наглядности n =2, тогда весь процесс можно представить геометрически.Т т s 1 1 х х 2 2 a. b. Рис.2 Радиус-векторы единичной n-мерной сферы, полученные после нормализации векторов из множеств X, W, T (a). Векторы S и Y, полученные после всех преобразований (b). Х и t – взаимнооднозначная пара векторов из множеств Х и Т соответственно, эта пара называется обучающей.
Кроме того, вектору х соответствует также вектор уY, полученный “экспериментально”, путем применения изложенных выше преобразований.Задача обучения состоит в том, чтобы преобразования эти были таковы, что у = t, уY, tT. А это значит, что все координаты уj вектора у должны быть равны одноименным коорданатам вектора t. Теперь, после того как все вектора нормализовали линейное преобразование (6) будет иметь вид: Si = ij xj, i=1,…,n, где ij и xj – координаты новых векторов. Но Si – это фактически скалярное произведение векторов i и x: Si =(i,х)=|i||х| Cos i , (9) где i – плоский угол между х и i. Поскольку, |i|=|х|=1, то Si= Cos i (10) Таким образом, вектор S – это вектор, все координаты которого Cos i, i=1,…n, а |S| n. Получили вектор S, подставим его в (1) покоординатно в функцию . Покажем, что векторы S и у лежат на одной прямой.
Имеем у= 1/ (1+exp(-s)), Ехр(-s)=1+(-s)+1/2!(-s)² +1/3!(-s)² (-s)+… т.е. разложили экспаненту в ряд по степеням (-s). Этот ряд сходится, разобьем его на два подряда, которые также будут иметь предел, как части сходящегося ряда: Ехр(-s)= /(2k)!+ /(2k+1)! (11) Первое слагаемое есть Const=C0(s) (за счет четных степеней), а второе слагаемое –C2(s)s. Получили ехр(-s)=C0(s)-C2(s)s, поскольку в знаменателе есть еще единица, прибавим ее к C0, получим C0(s)+1=C1(s). Итак, имеем: Y=1/(C1(s)-C2(s) ) (12) Вектор, находящийся в знаменателе -  = C1(s)-C2(s) , лежит на одной прямой с вектором S. Получили (у, )=1, а это (в случае, если оба вектора имеют единичную длину, либо длины их взаимнообратные величины, что также возможно) озночает, что вектора у и  совпадают по направлению, т.е. вектор у лежит на одной прямой с вектором S. Таким образом процесс обучения нейросети сводится к “подгону” вектора S под вектор T за счет измнения углов между векторами х и i (рис.2 (b)), поскольку было показано, что координаты вектора S есть ни что иное, как косинусы этих углов. На сегодняшний день аппарат нейросетей используется практически во всех областях науки, экономики и т.д. Программа нейротомографии была применена к эксперсс-томографии осесимметричных объектов, которые были изучены с помощью дискретного моделирования.
Результаты работы нейротомографии сравнивались с результатами, полученными в ходе вычислительного эксперимента.
Соответствие между экспериментом нейротомографии и прямого вычислительного эксперимента оценивались по различным параметрам правдоподобия. Рис.3 В данном случае нейротомография используется для реконструкции различных осесимметричных объектов (b) по единственной радоновской проекции R(s). На (c) дано сравнение истинного (a) с восстановленным (b). Было установлено, что нейротомография может быть использована эффективно для решения различных задач томографии.