Итерационные методы решения нелинейных уравнений

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом про-стых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифициро-ванный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных урав-нений с помощью ЭВМ указанными методами. 3. Составить программу (программы) на любом языке программирова-ния и с ее помощью решить уравнение с точностью и . Сде-лать вывод о скорости сходимости всех трех методов. 4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о точности полученных результатов. 5. Составить отчет о проделанной работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения (1) на отрезке . 2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Нью-тона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке. 3. Составить программу (программы) на любом языке программирова-ния, реализующие построенные итерационные процессы.

Решение. 1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции на Рис.1 видно, что функ-ция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным зна-чением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитиче-ский вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является прибли-женным значением корня. Заметим, что графический метод показывает коли-чество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Рис.1 Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки ( ), а производ-ная функции не меняет знак на отрезке ( ). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке един-ственный корень. 2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы пере-пишем уравнение (1) в виде: . Проверим, выполняется ли дос-таточное условие сходимости на отрезке: (2) Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по фор-муле Заметим, что в точке из отрезка , значение . Построим функцию . Константа выбирается из усло-вия (2). Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интер-вала . Так как всюду положительна на отрезке, то, конкре-тизируя значение производной в любой точке отрезка (например ), зна-чение определяется из интервала . Выбрав значение , за-пишем рабочую формулу метода простых итераций: (3) Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное началь-ное приближение . Процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значе-ние является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке . Метод Ньютона.

В качестве начального приближения здесь выбира-ется правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором вы-полняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида: (4) Заметим, что в точке условие (4) не выполняется, а в точке - выполняется.

Следовательно в качестве начального приближения выбирает-ся точка . Рабочая формула метода Ньютона для данной задачи запишется так: (5) Условия выхода итерационного процесса (5) аналогичны условиям ме-тода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона.

Начальное приближение вы-бирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифи-цированного метода Ньютона для данной задачи запишется так: (6) Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям ме-тода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости ме-тодов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное при-ближение. 3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифици-рованного метода Ньютона приведена на рисунке 3. Ниже в качестве примера приведены программы на языках программи-рования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.

ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ Program Pr_iter; Uses Crt; var n:integer; x0,x,eps,d,y,z,c:real; begin clrscr; n:=0;x0:=-1;c:=-0.1;x:=x0;eps:=0.001;d:= 0.01; repeat y:=x+c*(exp(x)+x);z:=x; n:=n+1; writeln(n:3,x:9:5,y:9:5,abs(y-x):9:5,abs (exp(y)+y):9:5); x:=y; until (abs(z-x)<=eps) and (abs(exp(x)+x)<=d); end. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ С #include <stdio.h> #include <math.h> main() { int n=0; float x,y,z,x0=-1,c=-0.1,eps=0.001;d=0.01; x=x0; clrscr(); do { y=x+c*(exp(x)+x);z=x; printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4f ”,n++,x,y,fabs(y-x), fabs(exp(y)+y)); x=y; } while(fabs(z-x)>e || fabs(exp(x)+x)>d; getch(); } Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указан-ном отрезке тремя методами при начальном приближении с точно-стью и получены следующие результаты: методом простых итераций ; методом Ньютона ; модифицирован-ным методом Ньютона . 4. Содержание отчета. Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название ла-бораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) про-грамм(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2). 2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке. 3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифици-рованным методом Ньютона. 4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реали-зующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм ме-тодов, приведенный на рисунке. Печать результатов должен осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Составить отчет о проделанной работе.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ № варианта Нелинейное уравнение Отрезок 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.