Логические основы компьютера

Формальная логика — наука о законах и формах мышления, изучает совокупность правил, которым подчиняется процесс познавательной деятельности. Формы мышления: понятие; суждение; умозаключение.

Понятие — это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект или признак объекта.

Суждение — это форма мышления, которая состоит из понятий, связанных между собой и что-либо утверждает или отрицает.

Умозаключение — это форма мышления, в которой из двух или нескольких исходных суждений вытекает новое суждение или вывод.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывания бывают простые и сложные. Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы определить истинность или ложность сложного высказывания на основании истинности или ложности простых высказываний, из которых состоит сложное высказывание. Простые высказывания заменяют логическими переменными, которые обозначаются большими латинскими буквами. Если высказывание истинно, то записывают А = 1, а если ложно, то А = 0.

Логическая операция — действие, позволяющее построить сложное высказывание из простых высказываний. К основным логическим операциям относятся: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Инверсия (от лат. inversio — переворачивание),или логическое отрицание.

Свойство инверсии: инверсия высказывания истинна, если высказывание ложно, и, наоборот, инверсия высказывания ложна, если высказывание истинно. Обозначение:

Конъюнкция (от лат. conjunction — связываю),или логическое умножение.

Свойство конъюнкции: конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Обозначение: &, ×, Ù, И, AND.

Дизъюнкция (от лат. Disjunctio — различаю), или логическое сложение.

Свойство дизъюнкции: дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначение: +, Ú,ИЛИ, OR.

Импликация (от лат. Implicatio — тесно связываю),или логическое следование.

Свойство импликации: импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное следствие. Обозначение: ®, Þ

Эквивалентность (от фран. Aequivalens — равноценное), или логическое равенство.

Свойство эквивалентности: эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Обозначение: «, º, Û, ~

Инверсия	Конъюнкция	Дизъюнкция	Импликация	Эквивалентность
А F 0 1 1 0	А B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1	A B F 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0	A B F 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1	A B F 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Порядок выполнения действий: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквивалентность.

Законы логики:

Закон тождества А = А

Закон непротиворечия А Ù ØA=0

Закон исключения третьего АÚØА=1

Закон двойного отрицания ØØА=А

Ø0=1 Ø1=0 АÚ0=А А Ù 0=0 АÚ1=1 А Ù 1=А

Идемпотентность АÚА=А А Ù А=А

Коммутативность А Ú В=В Ú А А Ù В=В Ù А

Ассоциативность А Ú (В Ú С)= (А Ú В) Ú С А Ù(В Ù С)= (А Ù В) Ù С

Дистрибутивность А Ú (В Ù С)= (А Ú В) Ù (AÚ С) А Ù (В Ú С)= (А Ù В) Ú (A Ù С)

Поглощение А Ú (А Ù В)=А А Ù (А Ú В)=А

Законы де Моргана Ø(А Ú В)= ØА Ù ØВ Ø(А Ù В)= ØА Ú ØВ

Импликации АÞ В = ØА Ú B АÞ В = Ø BÞ A

Эквивалентности АÛВ = (А Ù B) Ú (ØA Ù ØB) АÛВ = (А Ú Ø B) Ú (ØA Ú B)

АÛВ = (А Þ B) Ù (B Þ A)