Тема 10. Аксиоматические начала математики

Изучив данную тему, студент должен знать:

1. Понятие множества, подмножества. Обозначения и изображения множеств. Способы задания множеств.

2. Операции над множествами и свойства операций. Степень множества, формулы числа подмножеств.

3. Основные свойства множеств. Ограниченные и неограниченные множества. Максимум и минимум множества. Грани множества.

4. Основные числовые множества.

5. Определение функции. Области определения и значений функции. Способы задания функции.

6. Основные свойства функций. Возрастание и убывание функции.
Периодическую функцию.

7. Основные элементарные функции.

Уметь:

8. Выполнять операции над множествами и подмножествами.

9. Анализировать элементарные функции и их композиции.

10. Строить и анализировать графики функций.

Решение задач по теории множеств, доказательство формул удобно проводить, пользуясь не только определениями и объектным представлением
о множестве, но и с помощью диаграмм Эйлера. Рассмотрим примеры решения ряда типовых задач.

1. Определить множество А решений уравнения х² – 25 = 0.

x² – 25 = 0 х² = 25 х₁ = –5; х₂ = 5.

Отсюда: А={x | x² – 25 = 0}={–5; 5}.

2. Определить множество В решений неравенства 2х + 9 ³ 0.

2х + 9 ³ 0 Þ 2x ³ – 9 Þ x ³ – 4,5.

Отсюда: В={x | 2х+9 ³ 0}={х | x ³ – 4,5}=.

3. Заданы множества и . Определить результаты операций .

Изобразим эти множества диаграммами Эйлера и решим задачу:

 

 

4. Определить результаты тех же операций, если

Кружками в этом рисунке обозначим точки, которые являются концами нестрогого неравенства, крестиком – строгого неравенства.

5. Определить все подмножества множества А={0; 1; 3}.

Несобственные: Æ и А; одноэлементные: {0}, {1}, {3}; двухэлементные: {0; 1}, {0; 3}, {1; 3}.

Следовательно, степень множества Р(А), т.е. множество всех подмножеств, имеет вид Р(А)={Æ; {0}; {1}; {3}; {0; 1}; {0; 3}; {1; 3}; {0; 1; 3}}.

Для проверки используем теорему: если множество А состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2ⁿ.

Для нашего примера n=3, следовательно, число подмножеств 2³=8, что совпадает с числом объектов в Р(А).

(Для оценивания множеств удобно использовать дополнительные
характеристики. Пусть А – произвольное, но не пустое множество. Число m = max A называется максимумом множества А, если mÎA и
любые другие элементы множества не превосходят этого числа: a_i £ m. Аналогично определяется и минимум множества l = min A.

Множество А называется ограниченным сверху, если существует
число k такое, что для всех элементов множества справедливо a_i £ k. Это число назовем верхней гранью множества А. Минимально возможное значение k называется точной верхней гранью множества А и обозначается
k = sup A (supremum A).

Множество А называется ограниченным снизу, если существует число p такое, что для всех элементов множества справедливо a_i ³ p. Это число назовем нижней гранью множества А. Максимально возможное значение
р называется точной нижней гранью множества А и обозначается p = inf A (infimum A)).

6. Оценить множество А={2; 6; 1; 8}.

В этом множестве легко найти: max A=8; min A=1; sup A=8;
inf A=1.

7. Оценить множество N={1; 2; 3;…}, т.е. натуральный ряд.

Здесь min N=1; max N – не существует; sup N – не существует; inf N=1.

8. Оценить множество А={х| 2 £ x < 5}.

Из рисунка следует: min А=2; max A – не существует, так как 5ÏА; sup A=5;
inf A=2.

 

9. Оценить множество А={х | 3< x < ¥}.

Здесь min A – не существует, так как 3ÏА; max A – не существует; inf A=3; sup A – не существует.

 

 

Функция – основной описатель различных процессов. Рассмотрим ряд примеров, раскрывающих важные стороны этого базового понятия.

10. Найти область определения (ОДЗ) функции .

На множестве R следует выполнить условие:

, т.е. или х < 0,2.

Отсюда: .

11. Найти ОДЗ функции .

Так как на ноль делить нельзя, то следует выполнить условие .

Отсюда: .

12. Исследовать на четность функцию .

Положим х₁ = 2, х₂ = –2. Тогда и. Так как корреляции типов или не устанавливаются, следовательно, заданная функция – общего вида.

13. Исследовать на четность функцию .

Принимая те же значения, что и в примере 12, имеем:

и.

Так как , то заданная функция – нечетная.

14. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

15. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 10.1. Найти (A È B) Ç С , если A={x | –p₁ £ x < p₂}; B={x | 0 £ x < p₁} и C={x | –p₂ £ x <p₃}.

Задание 10.2. Оценить множество , где nÎN.

Задание 10.3. Оценить множество A={x | –p₁ < x £ p₃}.

Задание 10.4. Оценить множество С=АÇВ, если А={x| x > –p₁}
и B={x| –2´p₁ £ x < p₂}.

Задание 10.5. Найти ОДЗ функции .

Задание 10.6. Исследовать на четность функцию: .

Задание 10.7. Исследовать на четность функцию: .

Задание 10.8. Построить по точкам график функции