Кодирование отрицательных чисел.

Отрицательные числа в ЭВМ представляются в прямом, дополнительном и обратном кодах.

При представлении числа в прямом коде код числа в разрядной сетке из n разрядов совпадает с самим числом.

В двоичной системе счисления знаки кодируются следующим образом: «+» цифрой 0, «-« цифрой 1. Знаковый разряд располагается слева от значащих цифр числа, то есть это крайний левый разряд в представление числа. При таком подходе введение знакового разряда уменьшает диапазон представления положительных и отрицательных чисел. Вес знакового разряда соответствует весу старшего разряда разрядной сетки. Значащие разряды числа занимают n-1 разряд. Диапазон представления положительных чисел 0X2^n-1 –1, а отрицательных 0X-(2^n-1 – 1).

 

X, при X ³ 0

[X] _пр = (7)

q ^n-1 +lXl, при X £ 0

 

где q ^n-1 величина, равная весу старшего разряда (для дробных чисел q ^n-1 =1).

Обратите внимание на то, что запись числа в форме (7) приводит к двум равнозначным формам записи нуля – «положительной» и «отрицательной».

 

Примеры: представить в прямом коде следующие числа:

1. а) Х1 = +11011₂; б) Х3 = +0.11011₂

Х2 = -11011₂; Х4 = -0.11011₂

 

2. а) Х1 = +731₈; б) Х3 = +0.731₈

Х2 = -731₈; Х4 = -0.731₈

 

3. а) Х1 = +В13; б) Х3 = +0.В13

Х2 = -В13 ; Х4 = -0.В13

Ответы:

1. q^n-1 = 2⁵ = 100000

а) [X1] _пр = 011011 , [X2] _пр = 111011

Здесь и далее знаковый разряд будет отмечаться подчёркиванием.

б) [X3] _пр = 0.11011

[X4] _пр = 1.11011

Точка в результате используется нами только для указания того, что число представлено правильной дробью и, следовательно, всегда меньше 1. Этот знак не является частью числа и в машинном представлении опускается.

2. q^n-1 = 8³ = 1000

а) [X1] _пр = 0.731 б) [X3] _пр = 0.731

[X2] _пр = 1.731 [X4] _пр = 1.731

3. q ^n-1 = 16³ = 1000

а) [X1] _пр = 0.B13 б) [X3] _пр = 0.B13

[X2] _пр = 1.B13 [X4] _пр = 1.В13

 

Дополнительный код отрицательного числа представляет собой дополнение модуля исходного числа Х до q ⁿ, где n - количество разрядов целой части числа Х. Для правильной дроби q ⁿ= 10 в соответствующей системе счисления.

Поэтому для целого числа:

Х, при Х>=0

[X] _доп = (8)

q ⁿ -X, при X<0

 

 

Для правильной дроби:

 

Х, при Х>=0

[X] _доп = (9)

1- X, при X<0

 

Дополнительный код очень удобен при сложении чисел со знаком и вычитании. Действительно, если для трёхразрядного положительного числа B в любой системе счисления дополнение равно B_доп= 1000 -B , то разность

A – B = A+ {1000 -B } – 1000 = A+B_доп –1000.

Таким образом, вычитание сводится к сложению с дополнением вычитаемого. Единица , возникающаая за пределами разрядной сетки за счёт вычитания 1000 должна быть отброшена.

Старший разряд двоичного числа в дополнительном коде имеет смысл знакового разряда. Его нулевое значение соответствует положительному числу, а единичное – отрицательному.

Перевод в дополнительный код для двоичной системы счисления может быть выполнен по следующему правилу: все разряды двоичного числа, включая знаковый, инвертируются и к результату прибавляется единица младшего разряда.

Примеры: перевести в дополнительный код следующие числа:

1. а) Х1 = +11011; Х2 = -(X1); б) Х3 = +0.11011; Х4 = -(X3);

 

2. а) Х1 = +731; Х2 = -(X1); б) Х3 = +0.731; Х4 = -(X3);

 

3. а) Х1 = +В13; Х2 = -(X1); б) Х3 = +0.В13; Х4 = -(X3);

 

 

Ответы:

1. q ⁿ = 2⁶ = 1000000

а) [X1]_доп= 011011; [X2] _доп =1000000 – 011011= 100101;

или [X2] _доп = 100100 + 000001 = 100101;

б) [X3] _доп = 0.11011 [X4] _доп = 10.00000 – 0.11011 =1.00101;

или [X4] _доп = 1.00100 + 0.000001 = 1.00101

 

2. q ⁿ = 84 = 10000

а) [X1] _доп = 0731; [X2] _доп =10000 – 0731= 7047;

б) [X3] _доп = 0.731 [X2] _доп =1.0000 – 0.731= 7.047;

 

3. q ⁿ⁺¹ = 16⁴ =1 0000

а) [X1] _доп = 0.0В13

[X2] _доп = 1.F4ЕС + 0.0001 = 1.F4ED

б) [X3] _доп = 0.B13

[X4] _доп = 1.4ЕС + 0.001 = 1.4ED

 

Обратный код отрицательных чисел представляется как дополнение модуля исходного целого числа Х до q ⁿ⁺¹ и модуля исходной правильной дроби до 1 0 в соответствующей СС без единицы младшего разряда числа.

Если к представлению исходного числа в обратном коде прибавить единицу младшего разряда, то получим исходное число в дополнительном коде.