Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных систем.
Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных систем. - раздел Информатика, ЭТАПЫ ОБРАЩЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
Замечательная Особенность Линейных Систем – Справедливость Пр...
Замечательная особенность линейных систем – справедливость принципа суперпозиции – открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического представления позволяет представить сигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удаётся тем или иным способом найти реакцию на выходе, возникающую под действием элементарного импульса на входе, то окончательным этапом решения задачи явится суммирование таких реакций.
Такой анализ основан на временном представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преобразования элементарных гармонических сигналов.
Импульсной характеристикой системы называется функция , являющаяся откликом системы на входной сигнал . Это означает, что функция удовлетворяет уравнению
. (1.41)
Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину t0 :
. (1.42)
Импульсная характеристика, так же как и порождающая её дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближённо отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом её собственных колебаний.
Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении сигнала через такую систему. Входной сигнал допускает представление вида
.
Отвечающая ему выходная реакция
. (1.43)
Интеграл – это предельное значение суммы , поэтому линейный оператор T на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т “действует” лишь на величины, зависящие от текущего времени , но не от переменной интегрирования . Поэтому из выражения (1.43) следует, что
. (1.44)
Эта формула называется интегралом Дюамеля и свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свёртку двух функций – входного сигнала и импульсной характеристики системы.
Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до появления импульса на входе.
Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик:
. (1.45)
Для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменён на текущее значение времени:
. (1.46)
Физически реализуемая система должна быть устойчивой. Это означает, что её импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости
. (1.47)
Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый функцией Хевисайда . Выходную реакцию
(1.48)
принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига:
.
Между импульсной и переходной характеристикой имеется тесная связь. Действительно, так как
,
то на основании (1.41)
.
Оператор дифференцирования и линейный стационарный оператор T могут меняться местами, поэтому
, (1.49)
или
. (1.50 )
Функция - частотный коэффициент передачи между j-м входом и i-м выходом. Она имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой и комплексной амплитудой , то комплексная амплитуда выходного сигнала
. (1.51)
Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме:
. (1.52)
Обе входящие сюда вещественные функции носят специальныеназвания: - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), - фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.
1.11 Частотная характеристика и импульсный отклик свободного пространства.
Как колебательные так и волновые процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями и совершаются в так называемых “линейных системах”. Для того чтобы система была линейной, необходимо, чтобы выполнялся так называемый принцип суперпозиции, который состоит в следующем: если входное воздействие представлено в виде некоторой суммы воздействий x1+x2+…+xn ,то и выходной сигнал системы должен быть представлен в виде суммы выходных сигналов y1+y2+…+yn таких , что каждое слагаемое yi является результатом воздействия на систему соответствующего слагаемого xi , действующего независимо от других. Кроме принципа суперпозиции необходимо выполнение ещё одного принципа – принципа транспозиции. Принцип транспозиции состоит в том, что форма выходного сигнала не зависит от момента начала входного воздействия и он смещается во времени на такой же интервал, на который смещается момент начала входного сигнала.
На основании этих двух свойств можно реакцию (называемую также откликом) линейной системы на какое-либо входное воздействие представить в виде суммы реакций на какие-либо более простые входные воздействия.
В радиотехнике употребительны два типа входных воздействий, по реакциям на которые обычно разлагаются реакции на любое произвольное воздействие. Это функция вида и функция. Реакция линейной системы на входное воздействие вида называется частотной характеристиской системы , а реакция на функцию называется импульсной характеристикой . C помощью этих характеристик реакция линейной системы на некоторое входное воздействие выражается следующим образом:
, (1.53)
, (1.54)
где Cx(ω) - спектр входного воздействия, определяемый выражением
, (1.55)
. (1.56)
Соотношение (1.53) является простым следствием принципов суперпозиции, транспозиции и соотношения (1.56). В самом деле, соотношение (1.56) представляет входной сигнал в виде суммы воздействий вида с амплитудами и фазами, определяемыми комплексным множителем Cx(ω). На каждое слагаемое exp(iωt) во входном воздействии следует отклик вида . Изменение амплитуды и фазы входного воздействия , описываемое множителем , должно, согласно принципу транспозиции, передаваться на выходной сигнал в виде таких же изменений.
В результате суммирования выходных сигналов, являющихся откликами на члены суммы (1.56) получается выражение (1.53).
Выражение (1.54) получается при применении принципов суперпозиции и транспозиции к входному сигналу, записываемому в виде следующей суммы
.
В выходном сигнале каждая δ-функция входного воздействия заменяется на h(t) . При этом согласно принципу транспозиции аргументом этой функции служит аргумент δ-функции. Если в качестве входного воздействия x(t) взять δ(t), то из (1.53) мы получим связь между импульсной и частотной характеристиками в виде
(1.57)
Обращая этот интеграл Фурье, получаем
. (1.58)
Рассмотрим следующее выражение
(1.59)
и сравним его с выражением (1.53).
Эти выражения имеют аналогичный вид. Функция представляет собой комплексную амплитуду поля, прошедшего путь z в свободном пространстве. Естественно считать её откликом свободного пространства на входной сигнал, действующий в начале этого участка при . Под знаком интеграла (1.59) стоит функция , которая аналогично является спектром входного сигнала. Переменную интегрирования , являющуюся аргументом в разложении в интеграл Фурье входного пространственного распределения, назовём пространственной частотой. Наконец функция
является аналогом функции - частотной характеристики линейной системы.
Таким образом, запись решения волнового уравнения в форме (1.59) позволяет установить основные характеристики свободного пространства как линейной системы.
Для более удобного рассмотрения введённых аналогий обратимся к рисунку 5, где изображены эквивалентные схемы линейного четырехполюсника и свободного пространства.
Входным сигналом линейного четырехполюсника, изображённого на рисунке 5,а, является функция времени . Линейный четырехполюсник имеет частотную характеристику и импульсную характеристику .
СИСТЕМА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Совокупность средств информационной техники и людей, объединенных для достижения определенных целей или для управления, об
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
Передача информации инициируется либо самим источником информации, либо осуществляется по запросу. Она диктуется желанием устранить неопределенность относительно последовательности состояний, реали
Передача информации от дискретного источника.
Выясним, насколько будет изменяться неопределенность относительно состояния источника сообщения при получении адресатом элемента сообщения с выхода канала связи. Алфавиты передаваемых и принимаемых
Передача информации от непрерывного источника.
Количество информации, получаемой от непрерывного источника по каналу с помехами, определяется так же, как в случае, рассмотренном выше, но с использованием понятия дифференциальной энтропии.
Свертки
В одном измерении интеграл свертки двух функций f(х)и g(х) определяется как:
Свойства фурье-преобразований
Если не использовать комплексную экспоненту, то выражение (2.12)
можно переписать следующим образом:
Умножение и свертка
Добавим теперь два важных соотношения, представляющих теорему умножения:
(2.29)
&
Пространство и время
Кроме связи между пространственными распределениями f(r) и амплитудами дифракции F(u), фурье-преобразование также связывает изменение функции во вр
Точечный источник или точечная апертура
Распределение амплитуды при рассеянии от очень малого источника или при прохождении через очень малую апертуру (или щель) в одном измерении можно описать с помощью функции
Трансляция объекта
Трансляция объекта описывается выражением
(2.37)
здесь и
Функция щели
Функция прохождения для щели шириной a в непрозрачном экране дается выражением:
Другая форма функции щели
Проиллюстрируем использование выражения (2.27). Заметим при этом, что для функции щели, которая была определена в разд. 2.3.4, справедливо выражение:
Прямолинейный край
Для прямолинейного края функция прохождения имеет вид:
Обобщение преобразований Фурье. Преобразования Лапласа
Некоторые колебания не могут быть представлены интегралом (1.21), так как для них не существует или не определена спектральная функция. Это происходит потому, что колебание не удовлетворяет условию
Энергия взаимодействия двух колебаний
Пусть сумма колебаний напряжения s1(t) и s2(t), действует на единичном сопротивлении. Найдем выделяющуюся при этом энергию.
На основании (1.53) и теорем
Равномерное распределение.
Пусть некоторая случайная величина X может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку x2 ³ x ³ x1, причем вероятности попадания в любые внутренние интерва
Плотность вероятности функции от случайной величины.
Пусть Y — случайная величина, связанная с X однозначной функциональной зависимостью вида у = f(x). Попадание случайной точки х в интервал шириной dx и попадание случайной точки
Функция распределения и плотность вероятности.
Пусть даны случайные величины {Х1 Х2,…,Хn}, образующие n-мерный случайный вектор X. По аналогии, с одномерным случаем функция распределения этого вектора
&
Корреляция.
Предположим, что проведена серия опытов, в результате которых каждый раз наблюдалась двумерная случайная величина {Х1 Х2}. Условимся исход каждого опыта изображать точк
Стационарные случайные процессы
Среди случайных процессов особое место занимают стационарные случайные процессы, имеющие важное значение при рассмотрении большого числа задач. Случайный процесс называется строго
Квазидетерминированные процессы и случайные процессы
Приведенное в настоящей главе описание случайных процессов может быть использовано не только для помех, но и для сигналов в случае, когда параметры сигналов меняются случайным образом на интервале
Предварительные замечания
Высокочастотные колебания, действующие на входе радиоприемного устройства, при достаточно общих предположениях можно представить в виде
Виды помех
Помехи радиоприему имеют весьма разнообразный и сложный характер, что создает определенные трудности при их классификации. Классификацию помех можно проводить по различным признакам, в частности, м
Зависимость уровня помех от частоты
Вразличных диапазонах частот активные помехи проявляют себя неодинаково. Внутриприемные шумы возникают в широком диапазоне частот, однако только на достаточно высоких частотах (при
Законы распределения помех
Рассмотрим применительно к выходу линейной части приемного тракта (УПЧ) модели, определяющие плотности вероятности следующих видов аддитивных помех: флуктуациопных, импульсных, квазиимпульсных и
Случайные процессы как математические модели реальных помех
Реальные помехи, воздействующие на вход радиоприемного устройства, проходя через приемный тракт, включающий линейные и нелинейные элементы, подвергаются существенным преобразованиям. Выбор элемен
Марковские процессы
Удобной идеализацией реальных помех радиоприему являются марковские случайные процессы. Предыдущее рассмотрение показало, что помехи радиоприему могут быть флуктуациоиными и импульсными. Флуктуаци
Флуктуационные помехи
Флуктуационные помехи занимают особое место среди различных видов помех радиоприему. Значительная часть помех, такие, как тепловые шумы в пассивных элементах приемных устройств, шумы в приемной ан
Спектральная плотность флуктуационных помех
Наряду с функцией корреляции для описания случайных процессов широко используется также спектральная плотность g{f), которая характеризует распределение мощности (энергии) помехи или сигна
Белый шум
Флуктуационные помехи, для которых в широкой полосе частот спектральная плотность постоянна, по аналогии с белым светом называют белым шумом. При теоретическом рассмотрении вопросов обнару
ТЕПЛОВЫЕ ШУМЫ
Проведем теперь расчет величины спектральной плотности Su шумовой ЭДС на сопротивлении R, вызванной тепловым движением электронов в проводнике, находящемся при температуре Т. Докажем
ДРОБОВОЙ ШУМ
Шум в лампах в основном создается дробовым эффектом, т. е. беспорядочными флуктуациями анодного тока около среднего значения, которое показывает амперметр постоянного тока. Термин «дробовой» связан
ГЕНЕРАЦИОННО-РЕКОМБИНАЦИОННЫЙ ШУМ
В полупроводниках и в приборах на их основе наблюдается еще один вид шума, создаваемый спонтанными флуктуациями скоростей генерации, рекомбинации и улавливания носителей, что приводит к флуктуациям
ПРИНЦИП ВЫДЕЛЕНИЯ СИГНАЛА ИЗ ШУМА
Методы выделения сигнала из шума основываются на том, что сигнал, несущий информацию, и шумы имеют разные статистические и спектральные характеристики.
Спектр сигнала обычно узкополосный и
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисных для представления радиотехнических сигналов, особое место занимают гармонические функции. Важность
Ряды Фурье.
Зададим на интервале времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:
Преобразование Фурье.
Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Среди последних наибольший интерес для радиотехники предста
Обратное преобразование Фурье.
Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдём сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.
Предположим вновь, что непериодический сигнал получается из
Преобразование Лапласа.
Спектральные методы анализа сигналов основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяет
Прохождение сигналов через линейные системы.
Каждое радиотехническое устройство представляет собой систему независимо от своего назначения и уровня сложности, то есть совокупность физических объектов, между которыми существуют определённые вз
Вход Выход Вход Выход
h(t) H(x)
а) б)
Рисунок 5. Схемы линейных систем: а – линейная колебательная система с сосредоточенными параметрами; б - волновой аналог системы.
Н
ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ ИЗЛУЧАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
Излучающие системы являются преобразующим звеном между электромагнитными волнами, распространяющимися в свободном пространстве, и электромагнитными волнами, распространяющимися в линии передачи. В
Характеристики диаграмм направленности.
Из диаграммы направленности легко определить направление главного максимума, ширину главного лепестка и относительный уровень главных максимумов.
Относительный уровень боковых максимумов е
Графическое изображение диаграммы направленности.
Одним из наиболее распространенных способов изображения диаграммы направленности антенн является вычерчивание так называемых полярных диаграмм направленности.
Представим ряд векторов, исхо
, являющаяся откликом системы на входной сигнал 
. Это означает, что функция 
. (1.41)
. (1.42)
.
. (1.43)
, но не от переменной интегрирования 
. Поэтому из выражения (1.43) следует, что
. (1.44)
. (1.45)
. (1.46)
. (1.47)
. Выходную реакцию
(1.48)
.
,
.
и линейный стационарный оператор T могут меняться местами, поэтому
, (1.49)
. (1.50 )
- частотный коэффициент передачи между j-м входом и i-м выходом. Она имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой 
и комплексной амплитудой 
, то комплексная амплитуда выходного сигнала
. (1.51)
. (1.52)
- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), 
- фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.
и 
функция. Реакция линейной системы на входное воздействие вида 
, а реакция на функцию 
на некоторое входное воздействие 
выражается следующим образом:
, (1.53)
, (1.54)
, (1.55)
. (1.56)
. Изменение амплитуды и фазы входного воздействия 
, должно, согласно принципу транспозиции, передаваться на выходной сигнал в виде таких же изменений.
.
(1.57)
. (1.58)
(1.59)
представляет собой комплексную амплитуду поля, прошедшего путь z в свободном пространстве. Естественно считать её откликом свободного пространства на входной сигнал, действующий в начале этого участка при 
. Под знаком интеграла (1.59) стоит функция 
, которая аналогично 
, являющуюся аргументом в разложении в интеграл Фурье входного пространственного распределения
, назовём пространственной частотой. Наконец функция
Новости и инфо для студентов