ТЕПЛОВЫЕ ШУМЫ

Проведем теперь расчет величины спектральной плотности Su шумовой ЭДС на сопротивлении R, вызванной тепловым движением электронов в проводнике, находящемся при температуре Т. Докажем теорему Найквиста.

 

 

Доказательство см. рис. 7.1.

Тепловой шум может быть описан с помощью среднеквадратичной ЭДС [S_U(0)Df]^1/2, включенной последовательно с сопротивлением R. Это генератор шумового напряжения, который является источником ЭДС всех частот. Такой генератор называется генератором белого шума. Его принято характеризовать спектральной плотностью напряжения S_U(0)Df, которую нужно найти. Если шум белый, т. е. его спектральная плотность не зависит от частоты, то S_U(f) = const. Если рассмотреть цепь RC, показанную на рис. 7.1, то можно заметить, что напряжение Uс на конденсаторе С .при U=U_oe^iwt будет

 

 

Отсюда видно, что частотный интервал df дает вклад

 

 

в средний квадрат напряжения U²_С на конденсаторе С. Следовательно,

 

 

где x=wRC.

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы

 

 

Следовательно,

 

 

Если бы шум был представлен среднеквадратичным током [S_I(0)Df]^1/2 эквивалентного генератора тока, включенного па­раллельно схеме, то

 

 

где g=l/R.

Уравнения (7.15) и есть формула Найквиста. Здесь Df — полоса частот, пропускаемая схемой или измерительным прибором; k — постоянная Больцмана; U — действующее значение составляющих напряжения шума на сопротивлении R, частоты которых заключены в полосе Df; T — абсолютная температура. Из формулы следует, что спектр флуктуации равномерный и что тепловой шум является примером идеального белого шума. Однако, строго говоря, эта формула годится не для всех частот. Она справедлива вплоть до частот инфракрасного диапазона при комнатных температурах. Если hf/kT становится сравнимо с единицей, то необходима квантовая модификация этой формулы, которая приводит к

 

где h — постоянная Планка, h = 6,62×10^-34 Дж-с.

 

При нормальной комнатной температуре даже для миллиметровых волн неравенство hf/kT<1 практически выполняется

Tак как l = 3 см соответствует частоте f=1010 Гц, то условие применимости формулы Найквиста выполняется на этих частотах при температуре жидкого гелия, но не выполняется на частотах, соответствующих длинам волн миллиметрового диапазона для гелиевых температур.

Квантовая поправка возникает потому, что колебательная цепь, настроенная на частоту f, может рассматриваться как гармонический осциллятор с частотой f. Для низких частот hf<kT средняя энергия гармонического осциллятора равна kT, а на более высоких, когда hf>kT, средняя энергия равна

 

 

так как гармонический осциллятор может принимать лишь определенные значения энергии

 

 

 

Таким образом, средняя энергия шума, рассчитанная на низших частотах, должна умножаться на планковский множительи, следовательно, на этот же коэффициент надо умножить выражение (7.13).

 

39-------------------------Мощность тепловых шумов

 

Мощность тепловых шумов определяется по формуле

 

 

Она получается следующим образом. Рассмотрим схему рис. 7.2, где шумящее сопротивление R — источник тепловых флуктуации — отдает мощность шумов в .нагрузку R₁. Как следует из схемы,

 

 

Мощность Р, поступающая в нагрузку R₁., будет

 

 

 

Максимальная величина мощности для данных U и R дости­гается при R = R₁ Поэтому

 

Если взять сопротивление при стандартной температуре Т = 290 К, сопротивление R выразить в КОм, а Df в кГц, то получим действующее шумовое напряжение в микровольтах:

 

 

При изучении шумов сложных схем, состоящих из нескольких связанных цепей, удобно пользоваться эквивалентными шумовыми схемами, которые составляются по такому принципу. Реальное шумящее сопротивление представляется в виде последовательного соединения генератора шумового напряжения и нешумящего сопротивления или генератора шумового тока и сопротивления, включенных параллельно. Схемы эквивалентны

 

Рис. 7.3. Схема шумящего сопро­тивления: а) с генератором шу­мового напряжения; б) с генера­тором шумового тока

Рис. 7.4. Цепь из со­противления R, шун­тированного реактив­ным сопротивлением у

(см. рис. 7.3).

Для цепи из сопротивления R, зашунтированного реактивным сопротивлением X (рис. 7.4), можно написать выражение для среднего квадрата шумового напряжения

 

 

где R_a - активная составляющая комплексного сопротивления рассматриваемой цепи:

 

 

т. е. «шумит» активная составляющая комплексного сопротивления. Следовательно, для спектральной плотности тепловых шумов такой цепи можно написать

 

 

Например, если необходимо определить спектральную плотность напряжения шумов на частоте w = R/2L и сопротивлении R=10⁶ Ом в цепи, приведенной на рис. 7.4, то находят

 

 

 

а затем вычисляют