Графический метод решения задач линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования - раздел Информатика, РАЗДЕЛ 1.МЕСТО И РОЛЬ ПРОЦЕССОВ ПОДГОТОВКИ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕЙ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ (СОТС Вспомним Построение Линейных Зависимостей. Начнём С Уравнений...
Вспомним построение линейных зависимостей. Начнём с уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными может быть записано a1x1+a2x2 =b. Чтобы построить это уравнение, найдём точки пересечения с осями координат. При х1 = 0 получаем a2x2 =b, откуда х2 = b/a2. При х2 = 0 получаем a1x1 =b, откуда х1 = b/a1 (рис.2.3.2).
Разделим теперь левую и правую части уравнения на b и перепишем уравнение , или , или , которое называют уравнением прямой в отрезках. Такое представление уравнения удобно для построения прямой, так как величины a1 и a2 – это отрезки, отсекаемые прямой на тех осях, которые указаны в числителе. Например, 2х1+х2=2 или в форме уравнения в отрезках: , т.е. a1 =1, a2 =2(рис.2.4.2).
Теперь вспомним неравенства. Если линейное уравнение с двумя переменных 2х1+х2=2 может быть представлено прямой на плоскости, то неравенство a1x1+a2x2 £ b изображается как полуплоскость.
Так неравенство 2х1+х2£ 2 представляет собой заштрихованную полуплоскость, координаты всех точек которой, т.е. х1 и х2 удовлетворяют заданному равенству. Значит, эти значения составляют область допустимых решений (ОДР).
Рассмотрим построение системы линейных неравенств:
или в форме, аналогичной уравнениям в отрезках:
Построим каждое неравенство в системе координат х1 и х2 в виде соответствующих полуплоскостей (рис.2.4.3).
Решение этой системы неравенств – координаты всех точек, принадлежащих ОДР, т.е. АВСДО. Так как в ОДР бесчисленное множество точек, значит рассматриваемая задача имеет бесчисленное множество допустимых решений.
Не любая система линейных неравенств имеет ОДР, т.е. допустимые решения.
Например, построим системы (рис.2.4.4):
Из рис.2.4.4 видно, что нет таких точек, которые бы удовлетворяли всем неравенствам системы.
До сих пор рассматривали линейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Если перейти к линейным зависимостям с тремя переменными, то тогда они будут описывать плоскость в трёхмерном пространстве; линейное неравенство характеризует полупространства, а система линейных неравенств – многогранник как ОДР в трёхмерном пространстве.
С увеличением числа переменных выше трёх, геометрическая интерпретация невозможна, но система неравенств – ОДР в k-мерном пространстве.
При этом мерность пространства определяют как: если ограничения заданы неравенствами, то k = п, где п – число переменных; если ограничения в виде уравнений, то k = n–т, где т – число уравнений.
Если мы хотим найти оптимальное решение, то должны принять ЦФ. Допустим, мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации выпуска в целом. Тогда ЦФ: max L = x1+x2.
Положим L равной какому-либо числу (любому), например 2, и построим уравнение ЦФ: .
Так как нам требуется найти оптимальное решение, при котором достигается maxL, будем перемещать линию ЦФ в направлении увеличения L. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С, равные . При этом L = L*.
Отсюда можно сделать исключительно важный вывод: оптимальное решение – координаты вершины ОДР.
Из этого вывода следует метод решения задач ЛП, который заключается в следующем.
1. Найти вершины ОДР как точки пересечения ограничений.
2. Определить последовательно значения ЦФ в вершинах.
3. Вершина, в которой ЦФ приобретает оптимальное (max или min) значение, является оптимальной вершиной.
4. Координаты оптимальной вершины есть оптимальные значения искомых переменных.
Концептуальная модель принятия решений
Анализ многочисленных публикаций по различным аспектам проблемы выбора показывает, что в настоящее время наметилась прогрессивная тенденция к интеграции различных научных направлени
Постановка задачи линейного программирования
Значительная часть задач принятия решения – это задачи распределения ресурсовмежду объектами.
Пусть имеется т видов ресурсов, каждый i
Двойственные задачи линейного программирования
Каждой задаче ЛП можно некоторым образом сопоставить другую задачу ЛП, называемую двойственной по отношению к исходной (прямой):
Прямая задача (ПЗ)
Обобщенный алгоритм решения задач НЛП
Эффективное решение различных задач нелинейного программирования может быть осуществлено на основе учета конкретных особенностей этих задач. При этом под эффективностью того или иного алгоритма, ка
Аналитические методы решения задач НЛП
В некоторых случаях задачи НЛП удается решить аналитически. Это, в частности, удается в том случае, если ЦФ и ОДА являются выпуклыми. Обобщенный алгоритм решения задачи НЛП включает в себя следующи
Численные методы решения задач НЛП
В качестве r(xk) используется направление, в котором наиболее сильно возрастает целевая функция. Это направление задается градиентом функции ÑF(xk). Суть метода состоит
Постоянный шаг.
Задается hk = h = const, при этом должно выполняться условие
F(xk+1) = F(xk + hkÑF(xk)) > F(xk).
Пусть
Наискорейший подъем.
Если подставить в выражение для F(x) значение x=xk+1 в соответствии с (1), то получим выражение F(xk+hkÑF(xk)), как функцию от величины шага. След
Функции Лагранжа
Исторически первым способом сведения задачи с ограничениями к задаче безусловной оптимизации явилось использование функции Лагранжа L(x,m)
L(x, m) = f(x) + mт(b - j(x)) = f(x) +
Штрафные функции
Исходная задача условной оптимизации сводится к последовательности задач безусловной оптимизации функций
Fk(x, m) = f(x) - Sk(x, mk), k = 1,2,3,....
Методы прямой условной оптимизации
Методы прямой условной оптимизации предназначены для непосредственного решения задачи выпуклого программирования в условиях ограничений, описывающих множество допустимых решений D.
Итак, п
Метод условного градиента
Существо метода условного градиента состоит в том, что, если известна некоторая точка xkÎD, то направление возрастания целевой функции может задаваться некоторой внутренней или кра
Постановка задачи целочисленного программирования
Первые упоминания о линейных уравнениях возникли ещё за несколько веков до нашей эры.
В Древней Греции Диофант (II-III в.) формулирует уравнения, в которых искомые переменн
Характерные особенности задач многокритериального выбора
Реальные задачи выбора, возникающие на практике, чрезвычайно разнообразны, но всех их объединяет общая схема поиска решения, суть которой состоит в формировании совокупности операци
Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
В п. 4.1 было установлено, что для корректного решения задач многокритериального выбора необходимо в исходную постановку задачи (4.1)‑(4.2) привнести дополнительную информацию
Методы построения множества Парето
Приведенные в п.4.2.2 свойства множества Парето могут быть использованы для построения (исследования) данного множества (либо его подмножеств) или определения его характеристик в ко
Принятие решений в условиях стохастической среды
Постановка задач принятия решений в условиях стохастической среды имеет вид
(D(w), f(w)), wÎW,
где D(w) - множество допустимых альтернатив, f(w) - целевая функция.
Методы детерминизации.
При решении конкретных задач выбора на вероятностных структурах часто вводится предположение о том, что задание целевой функции f(w) и ограничивающих отношений ri(w), i=1,...,m, определя
Методы имитационной оптимизации.
В методах имитационной оптимизации (прямых методах стохастического выбора) не производится преобразование задачи к ее детерминированному эквиваленту. Суть данных методов заключается в том, что гене
Принятие решений в условиях целенаправленной среды
Принятие решений в условиях целенаправленной среды связано с тем, что известна цель среды, в соответствии с которой она выбирает свои состояния и которую преследует в своих действиях. Эти действия
Постановка задач игрового выбора.
Рассмотрим формализованное представление задачи принятия решений в условиях целенаправленной среды. Обобщенную задачу принятия решения в условиях неопределенности можно записать в виде
(D
Матричные игры. Чистые и смешанные стратегии.
Простейшим вариантом игры является антагонистическая игра, в которой противодействуют две оперирующих стороны (2 игрока), при этом множества различных альтернатив из которых они выбирают решения ко
Методы нахождения оптимальных смешанных стратегий.
Процедура нахождения оптимальных чистых или смешанных стратегий соответствует выявлению рациональной линии поведения противников в конфликтной ситуации, описываемой игровой моделью. Поэтому такую п
Принятие решений в условиях неизвестной среды
В случае неизвестной среды нет достаточных оснований для предположений о том, какие значения будут принимать параметры, характеризующие состояние среды на рассматриваемом временном интервале. При э
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов