КИШИНЁВ- 2003

 

1.Введение.

Одной из основных проблем при проектировании систем автоматического управления является расчёт устойчивости систем, так как устойчивость есть необходимое условие работоспособности любой системы.

Согласно математической оценке необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем является отрицательность вещественных частей всех корней их характеристических уравнений. Следовательно, для определения устойчивости системы придётся решать ее характеристическое уравнение, чтобы определить знаки корней последнего. Аналитическое решение алгебраических уравнений 3-го и 4-го порядков требует много времени, а уравнения 5-го и более высоких порядков аналитически вообще не решаются.

Поэтому возникает вопрос, как определить знаки вещественных частей корней характеристического уравнения, а, следовательно, и определить устойчивость системы, не решая характеристического уравнения.

Этим вопросом занимались многие учёные. В результате исследований были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости. Существует несколько критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают вопрос, лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости корней или нет. Практическое использование того или иного критерия для конкретной задачи определяется характером самой задачи:

- алгебраические - а) критерий Рауса, б) критерий Гурвица

- частотные - а) критерий Михайлова б) критерий Найквиста

Ниже приводятся краткие сведения по всем перечисленным критериям и примеры их практического использования.

Приводятся также задания для контрольных работ, нацеленных для усвоения материала по устойчивости систем.

 

 

2. Критерий устойчивости Рауса

 

Пусть характеристическое уравнения системы имеет вид

(1)

Раус предложил свой критерий в виде неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения (1) замкнутой системы [л.1], применяется в виде таблицы.

 

Таблица 1

Значения	Номер строки	Номер столбца
I	II	III	…..
		an	an-2	an-4	…..
		an-1	an-3	an-5	…..
r0=		c13= an-2-r0 an-3	c23= an-4-r0 an-5	c33= an-6-r0 an-7	…
r1=		c14= an-3-r1 c23	c24= an-5-r1 c33	c34= an-7-r1 c43	……
r2=		c15= c23-r2 c24	c25= c33-r2 c34	c35= c43-r2 c44	……
….	….	…..	…..	…..	…

 

 

Правила составления таблицы видны из приведенного примера (Табл. 1).

 

Критерий Рауса формулируется так:

для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все

величины (элементы) первого столбца таблицы Рауса были положительными при

положительном коэффициенте ап характеристического уравнения.

Пример.

Определим, устойчива ли система с характеристическим уравнением

результаты расчётов по алгоритму Рауса предоставлены в таблице 2.

 

Таблица 2

Значения	Номер строки	Номер столбца
I	II	III	IV
--		an=a6=5	a4=20	a2=15	a0=1
--		an-1=a5=12	a3=25	a1=6
r0= =0,417		c13= 20-0,417*25=9,6	c23= 15-0,417*6=12,5	c33=1
r1= =1,25		c14= 25-1,25*12,5=9,4	c24= 6-1,25*1=4,75	c34=0
r2= =1,02		c15= 12,5-1,02*4,75=7,66	c25= 1
r3= =1,23		c16=4,75-1,23*1=3,52
r4= =2,18		c17=1

 

Так как все величины первого столбца таблицы 2 положительные, то эта система будет устойчивой.

 

3.Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz).

 

Пусть задана характеристическое уравнения системы (1).

Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицу Гурвица.

an-1	an-3	an-5	.	.	.
an	an-2	an-4	.	.	.	.
	an-1	an-3	.	.	.	.
	an	an-2	.	.	.	.
		an-1	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
	.	.	.	a4	a2	a0

 

Таблица Гурвица составляется по следующему правилу.

Первая строка образуется из коэффициентов уравнения с индексами n-1, n-3, т.д. Вторая – из коэффициентов уравнения с индексами n, n-2, n-4, и т.д. Каждая последующая строка образуется коэффициентами уравнения с индексами на единицу больше индексов предшествующей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями. Таблица содержит n строк, где n – степень характеристического уравнения.

Из таблицы Гурвица составляются определители к-го порядка отчёркиванием в таблице к строк и к столбцов:

			an-1	an-3
	;				;
			an	an-2
	an-1	an-3	an-5
	an	an-2	an-4	и т. д.
	0	an-1	an-3

 

Критерий Гурвица формулируется следующем образом:

Система устойчива, если ап>0 и все определители Гурвица больше нуля, т.e. >0,

где .

Для уравнения 5-й степени и выше пользоваться критерием Гурвица нецелесообразно, так как процесс раскрытия определителей высокого порядка становится неоправданно трудоёмким и громоздким. При неоднократных попытках предложить более простые методы раскрытия Гурвицевых определителей авторы приводили к алгоритму Рауса или очень близкому к нему алгоритму.

 

Пример.

Характеристическое уравнения системы имеет вид

определитель устойчивости системы.

Решение.

Составим таблицу Гурвица.

 

Определитель

 

			=1*2-1*1=1>0

Определитель

 

Так как определители >0, то данная система устойчива.

 

 

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Пусть задано характеристичекое уравнение n-го порядка

Заменив p=jω, получим функцию

, (2)

График, которой в комплексной плоскости называется кривой Михайлова (или годографом Михайлова).

Вещественная U(ω) и мнимая V(ω) части кривой

(3)

(4)

называются соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.

В соответствии с принципом аргумента [л..1,2] угол поворота вектора D(jω) вокруг начала координат при изменении ω от нуля до бесконечности равен

Отсюда найдём число правых корней характеристичекого полинома D(p)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы m=0.

Из последней формулы видно, что m обращается в нуль при одном единственном условии

(5)

условие (5) – необходимое, но недостаточное условие устойчивости.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней были левыми, иначе говоря, среди них не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексной полином D(jω), то есть.

. (6)

Формулы (5) и (6) представляют собой математическое выражение критерия Михайлова.

Сформулировать его можно так:

 

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой

Михайлова D(jω) при изменении ω от 0 до ¥ повернулся, нигде не обращаясь в нуль,

вокруг начала координат против часовой стрелки на угол .

При а_n>0 все коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы положительны и D(0)=а₀>0, то есть кривая Михайлова начинается на вещественной положительной полуоси.

Нетрудно видеть, что аргументы устойчивой системы изменяется монотонно и D(jω) при возрастании ω вращается только против часовой стрелки. Учитывая это, критерий Михайлова можно сформулировать так:

Вектор кривой Михайлова D(jω) устойчивой системы при изменении ω от 0 до ¥, начав

своё движение на вещественной положительной полуоси, и вращаясь только против часовой

стрелки, проходит последовательно (т.e в порядке 1-2-3-4→1…) n квадрантов координатной

плоскости.

Функция D(jω) на комплексной плоскости изображается вектором, начало которого расположено в точке 0, а конец определяется координатами U(ω) и V(ω) по выражениям (3) и (4). С увеличением ω модуль (длина) и фаза вектора изменяются, и конец его описывает кривую, называемую годографом (или кривой) Михайлова.

Кривую Михайлова строят по точкам, задаваясь различными значениями ω в уравнениях (3) и (4); в числе точек должны быть все точки пересечения кривой с осями координат, получаемые как корни уравнении U(ω)=0 и V(ω)=0.

 

 

 

На рисунке 1_a показан годограф устойчивых систем для различных значений n. Все они охватывают соответствующее число квадрантов в положительном направлении. На рисунке 1_бпоказаны годографы неустойчивых систем. Все они не удовлетворяют условию обхода n квадрантов в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).

Пример.

Используя критерии устойчивости Михайлова, определить устойчивость электромеханической следящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна

,

 

где к=58 - общий коэффициент усиления разомкнутой системы, T_m=0.57 сек – постоянная времени двигателя, T_y=0.01 сек – постоянная времени усилителя.

Решение.

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Для построения кривой Михайлова определяем вещественную U(ω) и мнимую V(ω) части функции D(jω):

 

 

Вычислим U(ω) и V(ω) для ряда значений частоты ω. Результаты вычислений сведём в таблицу:

, сек-1
				- 40	- 70	-
			4,5		- 5	-

 

По данным таблицы построим кривую Михайлова (рис.2).

 

 

Кривая Михайлова последовательно проходит через три квадранты, следовательно, система устойчива.

 

5.Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазной характеристики разомкнутой системы W(jω) [л.1;2].

Возможны три случая состояния разомкнутой системы:

Устойчива, неустойчива, нейтральна.

Приведём здесь формулировку критерия Найквиста для более распространённого первого случая.

 

Замкнутая система устойчива (при устойчивой разомкнутой системе), если

амлитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) не охватывает точку (-1,j0).

 

Задание 1.

Характеристическое уравнение замкнутой автоматической системы имеет вид

C помощью критерия Пауса определить устойчивость данной системы, используя численные значения коэффициентов, заданны в таблице.

Таблица.

 

Номер варианта	Численные значения коэффициентов
а6	а5	а4	а3	а2	а1	а0
	0,05	0,1	1,5
	0,005	0,15	1,25
	0,1	0,2	2,5
	0,005	0.1	2,5
	0,15
	0,015	0,2	2,1
	2*10-4	80*10-4	3*10-1	1,24

 

Номер выбранного варианта согласуется с преподавателем.

 

Задание 2.

 

Характеристическое уравнение системы имеет вид

0

C помощью критерия Гурвица определить устойчивость данной системы, используя численные значения коэффициентов, заданных в таблице.

Таблица.

Номер варианта	Численные значения коэффициентов
а3	а2	а1	а0
		10

 

 

Номер выбранного варианта согласуется с преподавателем.

 

Задание 3.

 

C помощью критерия Михайлова определить устойчивость системы, Характеристическое уравнение которой имеет вид.

Численные значения коэффициентов приведены в таблице.

Таблица.

Номер варианта	Численные значения коэффициентов
а5	а4	а3	а2	а1	а0
	0,005	0,1	2,5
	0,005	0,15	1,25
		0,001	0,02
	0,15*10-2	5*10-2	0,6
	8*10-3	0,3	1,24
	3*10-4	5*10-3	0,1	0,5	0,9
		10-3	62*10-3	610*10-3		9,6
		10-3	62*10-3	610*10-3
		10-3	62*10-3	610*10-3

 

Номер выбранного варианта согласуется с преподавателем.

 

 

Литература

1. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 1. под ред. B. B. Солодовникова, Машиностроение, M:1967.

2. Воронов А. А. Основы теории автоматического регулирования. Часть 1, изд-во “Энергия”, M-Л., 1967, 1980.

3. Теория автоматического регулирования. Часть 1. Под общей редакцией А. B. Нетушила. Изд-во “Высшая школа”, M., 1968.

4. Драгонер B. B. Теория систем. Конспект лекций. Кафедра “Информационные технологии” (электронная форма), 2001.

 

 

7. Частотный критерий устойчивости Михайлова Заменим в полиноме А(р) p на jw, тогда: , где U – вещественная часть полинома A(jw), V – мнимая часть полинома A(jw). На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении w от -бесконечности до +бесконечности вектор A(jw) своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристической кривой. Поскольку функция U(w) является чётной функцией w, а V(w) - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор A(jw) при изменении w от -бесконечности до +бесконечности. Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента вектора при изменении w от -бесконечности до +бесконечности должно быть: Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так: САР устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении w от 0 до -бесконечности последовательно обходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, нигде не обращается в нуль   Частотный критерий устойчивости Найквиста Критерий устойчивости Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Пусть дана система: В разомкнутом состоянии передаточная функция системы: Так как , то порядок полинома C(p)+B(p) и полинома C(p) одинаков. Для получения АФЧХ системы положим где - АФЧХ замкнутой САР, - АФЧХ разомкнутой САР.   Удобно рассматривать ту же кривую, но для вектора - поскольку годограф есть АФЧХ разомкнутой системы, для этого, очевидно, нужно перенести мнимую ось вправо на 1. Таким образом, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом: Если система регулирования устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы в разомкнутом состоянии Wр(jw) не охватывала точку с координатами .

 

4.3.1. Критерий устойчивости Михайлова

ТАУ » 4. Устойчивость систем автоматического управления. Критерии устойчивости » 4.3. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента » 4.3.1. Критерий устойчивости Михайлова

Метки: Рисунок, САУ, система, правило, устойчивость, критерий

Этот критерий устойчивости сформулирован в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым, и является, по существу,геометрической интерпретацией принципа аргумента. Он позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Михайлова.

Подставим в характеристический полином (4.16) чисто мнимое значение , получим комплексный полином

,

где ,

. (4.21)

и называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова. Функции и представляют собой модуль и аргумент (фазу) вектора . Вектор при изменении частоты будет описывать своим концом в комплексной плоскости (пл. ) кривую, называемую годографом Михайлова.

Из выражения (4.20) можно определить число правых корней полинома , т.е.

. (4.22)

Из (4.22) видно, что число правых корней будет равно нулю при одном единственном условии:

. (4.23)

Это условие является необходимым, но недостаточным условием устойчивости. Для устойчивости системынеобходимо и достаточно, чтобы все корней характеристического уравнения были левыми. Не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином , т.е. должно выполняться еще одно условие:

. (4.24)

Формулы (4.23) и (4.24) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Михайлова.

Для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку при все коэффициенты характеристического уравнения положительны и .

Учитывая сказанное выше, критерий устойчивостиМихайлова можно сформулировать так.

Для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где - порядок характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньше, чем .

Анализируя годографы Михайлова, можно установить следующее следствие из критерия Михайлова. При последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно. В точках пересечения кривой Михайлова с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция Михайлова , а в точках пересечения кривой с мнимой осью обращается в нуль вещественная функция . Поэтому значения частот, при которых происходит пересечение кривой с вещественной или мнимой осью, должны являться корнями уравнений

и . (4.25)

Для устойчивой системы эти корни должны обязательно чередоваться, как показано на рис. 4.10, т.е. должно соблюдаться неравенство: . (4.26)

 

Рис. 4.10. К правилу чередования корней X(w) и Y(w)

В связи с указанным следствием можно привести другую формулировку критерия устойчивости Михайлова:

САУ будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем, общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения , и при удовлетворяются условия , .

http://el1504.narod.ru/Charter5/1.htm

http://rudocs.exdat.com/docs/index-241282.html?page=3

http://ait.cs.nstu.ru/tau/book/Sod433.htm

http://www.tehnoinfa.ru/teorijasistempravlenija/27.html