Представление чисел в позиционной СЧ.

 

Числа бывают беззнаковые – всегда положительные, и знаковые – как положительные так и отрицательные (которые вычитаются при добавлении).

Для отделения целой и дробной части натуральных чисел используют запятую (точку). Если дробная часть отсутствует, то число целое и запятая справа от последней цифры целой части. Если целая часть отсутствует (ноль), то число дробное и запятая слева от первой цифры (если ноль не указан). В зависимости от формата записи числа бывают натуральные с фиксированной точкой (запятой), или вещественные с плавающей точкой, которые состоят из двух чисел – натуральной мантиссы и целого порядка со знаком.

 

Основание системы счисления q – количество цифр, используемое для записи чисел.

В вычислительной технике основной является двоичная СЧ, но при программировании используется десятичная, восьмеричная и 16-ричная СЧ. Последние позволяют сократить записи двоичных кодов с возможностью легкого преобразования из одной СЧ в другую.

 

Параметры СЧ

Сч	Цифры	Основание q	Знаки
Десятичная (10-я)	0, 1, 2,…, 9		, (.) + -
Двоичная (2-я)	0, 1		, (.) 1(+) 0 (–)
Восьмиричная (8-я)	0, 1, 2, …, 7		, (.) + -
Шестнадцатиричная (16-я)	0, 1, 2,…, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)		, (.) + -

 

Для различения чсел в недесятичной системе счисления после их записи будем приписывать основание q в нижнем регистре

 

Таблица чисел в раличных СЧ (надо помнить)

 

10-я	Двоичная	8-я	16-я
			A
			B
			C
			D
			E
			F

 

 

Общая форма записи числа с фиксированной точкой из m-цифр в целой части и f – цифр дробной части

 

A_q = ± a_m-1 a_m-2 ….. a₁ a₀ , a_-1 a_-2 ….. a_-(f-1) a_-f. (1)

 

Общее количество цифр в записи n = m + f. Плюс знак, если есть. Незначащуе нули в начале записи приводить обычно не принято.

Полиноминальное представление числа с фиксированной точкой

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+a_-1 q^-1+ a_-2 q^-2…+ a_-(f-1)q^-(f-1)+ a_-f q^-f) (2)

 

Избавимся от отрицательных степеней, заменив умножение на деление

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ +

+a_-1/ q+ a_-2 / q²…+ a_-(f-1) /q^f-1+ a_-f /q^f) (3)

 

Другая форма записи

A_q =. (4)

Вариант представления

 

A_q = ± (((…(a_m-1 q+a_m-2 )q … +a₁) q +a₀) +

+ q^-1(a_-1 + q^-1( a_-2 +…+ q^-1(a_-(f-1) + q^-1a_-f)…))). (5)

 

Другая форма записи (2)

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+ q^-f( a_-1 q^f-1+ a_-2 q^f-2…+ a_-(f-2)q² + a_-(f-1)q+ a_-f)). (6)

 

Избавимся в (6) от отрицательных степеней

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+ ( a_-1 q^f-1+ a_-2 q^f-2…+ a_-(f-2)q² + a_-(f-1)q+ a_-f) / q^f). (7)

 

 

Формулы (2)…(7) используются для перевода недесятичных чисел в десятичные.